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单循环赛制安排的数学模型

单循环赛制安排的数学模型
陈晔，祝文康，何荣坚
1．韶关学院2001级数学与应用数学本科1班,广东 韶关 512005;
2．韶关学院2002级计算机科学技术本科3班,广东 韶关 512005
[摘要]: 本文首先通过对５支足球队单场地单循环赛程安排的问题，考虑对各队公平的相隔场次的情况下用排除假设法给出至少相隔一场的赛程安排的方法，遵循小数先走的原则时恰好发现了击剑比赛时n＝５的赛程安排规律，并讨论其不合理性．分奇、偶参赛队的情况给出只考虑相隔场次时的最大均等时相隔场次次数的最小上限证明．在编制n=８，n=９支球队赛程的过程中进一步研究多种循环赛制安排的方法，还给出Matlab编制的一般性的赛程安排程序．同时通过引入对实力的排序、比赛的精彩度、各球队机会最大均等、奇数队参赛必然遇到不公平的情况等展开讨论一些赛程安排方法的不足之处．
关键词: 最大均等; 轮转法; 实力指数; 精彩度
１ 问题的提出
你所在的年级有5个班，每班一支球队在同一块场地上进行单循环赛，共
要进行10场比赛，如何安排赛程使对各队来说都尽量公平？下面是一个随便安
排的赛程：记5支球队为A， B， C， D， E南无拳，在下表左半部分的右上三角的
10个空格中， 随手填上1，2， 10， 就得到一个赛程， 即第1场A对B， 第
2场B对C， ， 第10场C对E． 为方便起见将这些数字沿对角线对称地填
入左下三角． 这个赛程的公平性如何呢， 不妨只看看各队每两场比赛中间得到
的休整时间是否均等． 表的右半部分是各队每两场比赛间相隔的场次数， 显然
这个赛程对A， E有利， 对D则不公平．
A
B
C
D
E
每两场比赛间相隔场次数
A
X
1
9
3
6
1， 2， 2
B
1
X
2
5
8
0， 2， 2
C
9
2
X
7
10
4， 1， 0
D
3
5
7
X
4
0， 0， 1
E
6
8
10
4
X
1， 1， 1
从上面的例子出发讨论以下问题
1)对于5支球队的比赛，给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛程．
2)当n支球队比赛时，各队每两场比赛间相隔的场次数的上限是多少．
3)在达到2）的上限的条件下，给出n=8、n=9的赛程，并说明它们的编制过程．
4)除了每场间相隔场次数这一指标外，你还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣，
并说明3）中给出的赛程达到这些指标的程度．
2  基本假设
1）单循环赛中，n为偶数队参赛时，所有队都安排参加一次后为一轮比赛，轮数为n-1，奇数队参赛时，n-1队安排参赛一次后为一轮比赛，轮数为n ．
2）参赛队A、B、C、D……通过以往比赛成绩的排名或社会评价的排名按
实力从大到小顺序记为1、2、3、……n皇城轶事队．
3 模型的分析、建立与求解
    1）第一轮第一场比赛安排A对B，第二场比赛安排C对D，在各参赛队每两场比赛间至少相隔一场的前提下，第二轮第一场安排除C、D外的任意两支球队比赛，第二场安排前一场没有参赛的任意两队参赛，曾经比赛交战过的队不再安排对决，以此类推，共安排5轮共10场比赛，以下只给出安排过程的部分分支：
                                                              BD       
                                                    CE             
                                              AD          AB （已对战过）
                                        BE          BC（已对战过）
                                AC          CD（已对战过）
                          DE          BD……
                  BC            AB（已对战过）                                         
            AE          AD……                                             
AB—CD          BD……                                                         
            BE……                                             
ANNALS
第一轮        第二轮        第三轮        第四轮      第五轮
可制下表观察结果     
换一种方式飞行
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
A——B
A——E
D——E
B——E
C——E
C——D
B——C
A——C
A——D
B——D
  （E）
（D）
（B）
  （C）
  （A）
                               
A
B
C
D
E
每两场比赛间相隔场次数
A
X
1
6
8
3
1， 2， 1
B
1
X
2
10
7
2， 2， 1
C
6
2
X
2
9
1， 1， 2
D
8
10
2
X
4
2， 2， 1
E
3
7
9
4
X
1， 1， 1
依照题意排出的赛程如上表所示，观察表1，对与上轮轮空队比赛的队会不公平，其中E从第三轮开始就连续遭遇不公平三场，A遭遇一场，其他队在这种安排下则有优势．出现这种情况的原因是由于这种安排方法导致的．观察图1，发现E队遭遇不幸的第四轮和第五轮是在不能选择其他分支的情况下安排E的两场比赛．也就是说这种安排方法必然导致不公平．继续将图中所有分支排列出，会发现不一定能排出十场比赛，能走到最后的16条分支，有两条只能排出八场比赛，有六条排出九场比赛，有八条排出十场比赛．其中，如果
在每一次分支中遵循小数先走的原则，如：第一个分支中有AE和BE供选择，选择AE，BC和BD则选BC，能排出十场比赛，恰好是至今仍没研究出的击剑赛程安排规则中参赛队n=5时赛程安排的规律．然而，当n=6，n=7，n=8时用的就不是这个办法了．
2）可设赛程中某场比赛是i，j两队，i队参加的下一场比赛是i，k两队(kj)．要
使每两场比赛最小相隔场次为r，则上述两场比赛之间必须有除i，j，k以外的2r支球队参加赛，于是n2r+3，注意到r为整数即是．经过计算，当有5支队伍比赛时，各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为，也就是说可以出一种编排赛程的方法，使得各队每两场比赛中间相隔的场次数为1．
或可分参赛队的奇、偶分别证明：
1．设n为奇数， n = 2k + 1． 共比赛 N == k(2k + 1)场． 考察前k + 1场， 有2k +2个队参赛， 于是至少有1个队两次参赛， 这个队在这两场比赛间相隔场次数为．
2．设n为偶数， n = 2k． 共比赛 N = k(2k - 1)场． 同上， 在前k + 1场中，有2k+2个队参赛，其中至少有1个队(记这样的一个队为A)两次参赛， 记A第j场比赛在赛程中是第aj场， 于是．
①  若，即， 则;
②若，但，即，同样有;
③若， 在前k + 1场中除A外有2k个队参赛， 于是至少又有1个队(记这样的一个队为B)两次参赛， 记B第j场比赛在赛程中是第bj场， 则必有， 或 (即不可能)， 故．
3）n=8时，以数字1、2、3、……8记为参赛的八支队，用1号固定左上角逆时针轮转法编排出赛程：
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
第七轮
第一场
1    8
1    7
1    6   
1    5                                     
1    4                               
1    3           
1    2           
第二场
2    7
8    6   
7    5     
6    4                             
5    3                 
4    2         
3    8         
第三场
3    6
2    5   
8    4   
7    3                               
6    2                     
5    8                   
4    7                 
第四场
4    5
3    4
2    3
8    2                                               
7    8                 
6    7             
5    6             
可得出下表：
编号
两场比赛间相隔次数
相隔场次总数
1
3，3，3，3，3，3
18
2
4，4，3，2，2，2
18
3
4，3，2，2，2，4
17
4
3，2，2，2，4，4
17
5
2，2，2，3，4，4
17
6
2，2，4，4，4，3
19
7
陈宇翱
2，4，4，4，3，2
19
8
4，4，4，3，2，2
19
经计算，这种轮转法安排出的赛程满足2）中每两场比赛间相隔的场次数的上限r=2．随着比赛发展，每一轮中所安排的比赛，观察实力越强的的队间的比赛安排，第一轮里实力最接近的比赛是4队与5队间的比赛，第二轮是3队与4队的比赛，第三轮2队与3队，第四轮4队与6队，第五轮7队与8队，第六轮6队与7队，最后一轮有最精彩的，也是实力最强的1队
与2队的比赛．这种安排使比赛进程没有什么规律。随着运动的商业化，为了比赛主办方得到最大的票房收益，也为了满足观众对比赛精彩度的要求，将最后一场集中所有最精彩的比赛，那么我们可以先填第七轮，再用顺时针轮转倒排回第一轮：
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
第七轮
第一场
1    4
1    6
1    8   
1    7                                     
1    5                               
1    3           
1    2           
第二场
2    6
4    8   
6    7     
8    5                             
7    3                 
5    2         
3    4         
第三场
柔性管接头
3    8
2    7   
4    5   
6    3                               
8    2                     
7    4                   
5    6                 
第四场
5    7
3    5
2    3
4    2                                               
6    4                 
8    6             
7    8             
可观察各场比赛，这时发现，虽然比赛越接近结尾越激烈，且可以避免由于单循环赛采取积分制，导致有可能会发生最后几场比赛对个别队积分排名不发生影响的情况，如果这种情况发生的话，胜负已定的这些队可能会不尽力参加最后的比赛，降低比赛的精彩度，且会让一些不法分子有机可乘．不过这确实是一种非常值得考虑的赛程编排方案．再观察其关于相隔场次的情况：

本文发布于:2024-09-22 19:35:44，感谢您对本站的认可！

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