李丹金灿刘晓平
合肥工业大学计算机与信息学院可视化与协同计算（VCC）研究室，安徽合肥 230009
摘 要：总结了有限元六面体网格生成方法的研究进展。首先，指出了六面体网格不同于其他网格的优点。其次对当前的主要研究热点——全六面体网格生成进行了阐述。最后简要地探讨了该领域的发展趋势。 关键词：有限元面体网格格生成
Present Situation of Research on Finite Element All-hex
Mesh Generation Methods
Li Dan Jin Can Liu Xiao-ping
VCC Division, School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei,
230009, China
Abstract: This paper presents the advances of research in all-hex mesh generation for finite element computation. Firstly, the advantages of all-hex mesh different from other meshes are presented. Secondly, the main research fields-all-hex mesh generation are discussed in detail. Finally, the trends of this field are presented briefly.
异常蛋>单元音Keywords: Finite Element; all-hex mesh; mesh generation
1 前言
有限元分析是结合工业建模、计算机技术和数值计算而产生的新兴学科。有限元分析的基本过程可以分为三个阶段：有限元模型的建立(工业建模，即前处理)、有限元分析（数值计算）、结果处理和评价(即后处理)。根据专家统计，有限元分析各个阶段所占用的时间分别为：40％~45％的时间用于模型的建立，50％~55％的时间用于结果处理和评定，而
*基金资助：国家自然科学基金(60673028).
作者简介：李丹(1987-), 女, 安徽合肥, 汉族, 硕士研究生, 研究方向为计算机辅助设计; 金灿(1982-), 男, 安徽合肥, 汉族, 博士生, 研究方向为计算机辅助设计; 刘晓平(1964), 男, 山东济南, 汉族, 教授, 博导, 研究方向为建模、仿真与协同计算.
有限元分析只占用5％左右的时间。由此可以看出，有限元分析过程中，大部分的时间用于前处理和后处理，如何有效并合理的进行有限元分析的前后处理是有限元分析的主要研究重点，前后处理过程的复杂性严重地阻碍着有限元分析技术的应用和发展。
吐噶喇海峡>摘取梦想的启明星有限元网格生成是有限元分析前处理部分的关键问题，是有限元法的一个非常重要的研究领域，经历了40多年的发展历程。其本质思想是利用有限元方法对模型中被关注的问题进行求解，即将已建立的模型离散成有限数量的单元，以便使偏微分方程有较好的数值解。网格划分的越细，计算结果就越精确，但是所耗费的时间业越长。因此，如何自动高效准确地将所分析的实体模型划分成具有高质量网格的分析模型是有限元网格生成的关键问题。
一直以来，很多学者及研究人员致力于有限元网格划分算法的研究，取得了很大的进展，但是，有限元网格划分算法研究中的某些难点问题始终未能得到真正意义上的解决，它们的解决对工程问题具有重要的现实价值和理论意义。许多学者对有限元网格生成方法的研究进行了概括和总结，对不同领域的研究进展方面作出了重大的贡献。
近年来，有限元网格生成方法的研究重点逐渐从三角形、四面体网格自动生成转移到四边形、六面体网格自动生成。六面体网格因其所具有的不同于其他网格的优点，使其在有限元仿真领域中得到了广泛应用。许多学者对六面体网格划分算法进行了研究，但因其复杂性的限制使其成为一项艰难的工程，
目前虽然已经取得了很多成就，但是还没有达到较为完美的结果，因此笔者通过阅读和分析大量的文献，对六面体网格自动生成方法的研究进展进行了较全面的阐述，力图对六面体网格自动生成方法的研究做出微薄的贡献。
2 六面体网格的优点
在有限元仿真过程中，单元类型的选择对整个有限元仿真的计算效率、自动化程度、计算精度都将产生重要影响。单元类型选择不当不仅会导致计算时间大幅度增加，计算结果误差变大，有时甚至会导致问题不可解。
同三维四面体网格相比，由于三维六面体网格在计算精度（如极狭长六面体单元的计算精度远远优于极狭长四面体单元）、变形特性（如六面体单元可以在不失精度的情况下进行某方向的伸缩）、划分网格数量、抗畸变程度及再划分次数等方面比三维四面体网格具有明显的优势，另外在有些情况下只能采用六面体单元进行有限元分析。因此，六面体网格成为当今三维模型问题分析的首选网格。
目前，主要的六面体网格生成算法有原型法，映射法，扫掠法，基于栅格法，编须算法等。
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3 不同的六面体网格生成算法综述
原型法是用预先设定的网格剖分模板来剖分可被识别的简单几何形体的一种网格生成方法。六面体网
格原型就是可用网格剖分模板分解为六面体网格的简单几何形体。最基本的六面体原型为四面体，它可被分解为4个六面体。目前，复杂三维实体的全四面体网格全自动生成算法已经很成熟，结合四面体到六面体的网格剖分模板，即可轻易地实现复杂三维实体的全六面体网格生成。但遗憾的是，这种方法的边界拟合能力弱，生成的网格质量较差。左旭等采用十节点曲边四面体代替直边四面体，并采用非线性约束优化算法来提高六面体单元的质量，但只是部分地克服了上述两个缺点。
狮龙音响映射法又被称为映射单元法(Mapped Element Approach)，该方法出现于上个世纪七十年代，是三维网格划分中最早采用的网格生成方法。映射法的主要步骤分为：(1)划分目标区域：将复杂目标区域划分成若干个有利于映射的简单子区域；(2)对划分后的子区域进行映射操作及网格划分操作：根据子区域的边界方程，利用超映射函数，把参数空间内的六面体单元映射到欧氏空间再进行网格划分；(3)组装和修正网格：将各个子区域的网格剖分结果组装起来从而形成目标区域的整体网格，需要讨论子区域之间的网格相容性问题。 对于映射法的几个步骤进行分析可以发现，第一步和第三步是映射法的主要难点。在第一步中，子区域的划分是手工完成的，如何划分复杂目标区域没有一个绝对的衡量标准，而是仅仅要求划分出有利于映射的简单子区域。如何完成目标区域的自动分解是一个热点问题，针对这一问题，Price与Armstrong等提出了利用中面法来划分目标区域，将三维复杂区域划分成有利于映射的子区域。中面是指三维实体内最大球的球心的集合，最大球是指不能被实体内其它球所包含的球。目标区域被中面
分割后可以得到有利于映射的简单子区域。但是，现有的中面算法一般需要大量的几何与代数计算，自动化程度和几何适应能力较差。Lu等提出一种基于特征识别技术的三维实体自动分解方法。由于引入了一些启发式规则，该方法可以在一定程度上模仿人们在处理复杂几何体网格生成问题时的思考过程，加之其可以和CAD系统紧密集成，因此这是一种有前途的自动分解算法。另外，Tam 等提出根据中面将三维目标域分解为预定义的13种类型的简单子区域的方法，该方法已在许多商业软件中得以实现。在第三步中，因为所得到的网格是基于每一个子区域进行划分的，因此在把这些子区域拼接成一个对应于目标区域的网格模型时，这些子区域的边界网格会出现不相容的问题。针对这一问题，李华和程耿东提出了三维组合式模板，一定条件下解决了子区域之间的网格相容性问题。另外，对于第二步中的对子区域进行网格划分问题，也有很多学者给出了不同的方法，王东风等基于等参映射法的六面体网格划分技术进行了详细研究，通过形函数映射技术将物理域映射到参数空间域，对规则参数域进行网格剖分，将参数域的网格反向映射回物理空间，从而得到物理空间六面体网格。利用等参映
射法所得到的六面体网格质量高、密度可控制，但对于曲率较大部位要进行局部网格疏密调整，增加单元数量，提高网格质量。映射法的优点是划分网格速度快、网格密度可控制、并且可以生成质量较高的结构化六面体网格，但其所适用的模型形状范围过于狭窄。
映射法在众多有限元分析软件中占有重要地位，美国Altair公司的HyperMesh软件中的Solid Mesh Panel就是利用映射法来生成六面体网格的。
扫掠法(Sweeping)可以被认为是映射法的一种变体，是一种将二维四边形有限元网格通过旋转、扫掠、拉伸等操作形成六面体网格的一种方法。在扫掠过程中，曲面网格被拉伸为实体网格从而将二维半网格变成六面体网格。
扫掠是指将一个二维曲线（扫掠轮廓）沿一个路径运动或沿一条轴线旋转的运动过程。扫掠法是将四边形网格（二维曲线）沿空间的一条曲线运动，每隔一定的间隔，利用该四边形网格的拓扑关系生成六面体网格的过程。可以被归纳为给定源表面和目标表面划分区域的技术，若源表面和目标表面具有相同的拓扑结构并被划分表面相连接，源表面上的四边形网格扫过体积区域便生成六面体网格。
扫掠体（被成为二维半实体），一般由源表面、目标表面和扫掠面三部分组成。扫掠体按源表面和目标表面的对应数目可以分为：一对一、多对一和多对多这三类扫掠体。通常是将多对一和多对多扫掠体拆分为简单的一对一扫掠体，再分别进行六面体网格划分。
过去10年里扫掠算法得到学者和研究人员的广泛关注：Blacker的“The cooper tool”采用了最小二乘平均的技术来解决变扫掠截面和扫掠方向的问题；Staten等人的“BMSweep”方法利用了背景网格上的重心坐标来将源结点投影到各个扫掠层中；Roca等通过源和目标曲面参数域之间的最小二乘近似仿射变换来将源曲面上的结点投影到目标曲面，并进一步将此算法扩展到三维空间来得到内结点；Knupp则分别通过线性变换和顺滑的方法实现扫掠。
扫掠法是目前最通用、最稳定的六面体网格生成算法之一。其实现难度较低，在当今大多数的商用CAD软件和有限元前置处理软件中均有这种功能。但是，这种方法只能适用于形状简单的三维物体，且主要依靠人机交互来实现，自动化程度低。
基于栅格法(Grid-based Approach)又被称为空间分解法，最早是由Thacker、Ganzaliz 和Putland提出的。由于三维栅格本身就是质量优良的六面体，因此在六面体网格生成方面具有明显的优势。该算法的主要步骤为：(1)用一组互不相交栅格覆盖在目标区域之上：既可以在栅格的规则点处布置节点，也可在栅格单元中随机布置节点；(2)对栅格和物体进行相交检测，删除完全落在目标区域之外的栅格、与目标域边界相交的边界栅格和距离边界非常接近的内部栅格，保留下来的内部栅格称为初始栅格。(3)对于物体边界相交的栅格进行调整、剪裁、再分解等操作，使其更准确地逼近目标区域；(4)对内部栅格和边界栅格进行栅格级的网格剖分，进而得到整个目标区域的有限元网格。
栅格法已取得许多成果，比较有代表性的是Schneiders和Yerry提出的方法。Schneiders 提出了采用同构技术的正则栅格法(Regular Grid Method)，它是采用尺寸相同的正则栅格覆
盖目标区域，栅格越密，网格质量越好。这种方法原理简单，适用于三维物体，对于相对规则的问题区域是一种简单有效的方法。正则栅格法的缺点是，为了剖分带有小尺寸几何特征的目标域，栅格尺寸也要相应缩小，这样就会产生太多的单元。而且利用这种方法所生成的网格与所选择的初始栅格及其取向有关，网格边界单元质量差。
基于上面的理论基础，又有许多学者依次提出了四叉树编码法、八叉树编码法及修正的八叉树法。随着这些算法的改进，可以生成高质量的网格，尽管边界单元需要进一步地处理以免质量太差而不适合有限元分析，但是产生的网格具有阶梯结构和空间可访性，而且易于优化网格质量。不过这种方法也存在边界单元的质量不易控制的缺点。
编须算法(Whisker Weaving Method)是由Tautges和Blacker于1996年首先提出来的，是一种基于空间缠绕连续集(STC)概念的扩展的推进波前法(AFT)。空间缠绕连续集就是在三个方向平分六面体单元的相互交叉表面的组合，是六面体网格的一种对偶表达形式。在空间缠绕连续集上形成的点、线段、多边形面、多边形体分别是真实空间中的六面体单元、单元表面、单元棱边和单元节点的影射，因此与空间中反映的节点关系不同，STC反映的是单元间的拓扑关系。编须算法首先生成的并不是六面体网格，而是它的对偶形式——空间缠绕连续集。一旦得到完整的空间缠绕连续集，六面体单元就可在其指导下安装到待剖分域中。“片(sheet)”是六面体在STC空间三坐标方向的投影，横切六面体两对应面，代表了一层六面体，“弦(chord)”是两个“片”的交线，代表了一串六面体单元，“弦”的最前端被称作“须(Whisker)”，代表了一个没有被缝合的六面体四边形表面，3个“片”或“弦”组成一个“顶点(vertex)”代表了一个六面体单元。编须算法所生成的六面体网格质量是所有算法中最好的，但是程序复杂度较高，实现非常困难。
粘贴算法(Plastering Method)是由Blacker和Meyers首先提出来的，是一种基于局部几何测试来推进网
格的扩展的推进波前法(AFT)，该算法先将单元放在边界处，然后逐层向区域内推进。粘贴算法始终维护网格前沿，即用来描述已剖分区域边界的四边形面片集。剖分器迭代地从网格前沿中选择一个或多个四边形，粘贴上相应的六面体并更新前沿，直到整个域被剖分。然而在实践中，该方法通常会留下一些孔洞，这些未被剖分的区域只能用四面体填充。该方法可以在模型的内部生成高质量的六面体网格，且网格划分时间短，适用于各类复杂形状模型，编程算法清晰简单，但模型表面网格质量较差，往往导致分析精度严重下降。
4 总结与展望
有限元网格生成方法是一个复杂而且宽泛的领域，全面地进行综述是相当困难的。目前有限元网格生成技术已经相当成熟，可以实现三维领域的全自动网格剖分，但是在网格剖分方面依然有很大的研究空间，网格划分的效率、单元质量等有待提高。复杂实体全六
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