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第一节 函数
1.区间(interval)：介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点. .
,,b a R b a <∈∀且}
{b x a x <<；开区间
)
,(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间
],[b a 记作o
x a b
o x
a
b
}{b x a x <≤}
{b x a x ≤<；左闭右开区间左开右闭区间
),[b a 记作]
,(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}
{),(b x x b <=-∞o x a
o
x
b
无穷区间2 邻域
.0,>δδ且是两个实数与设a ，叫做这邻域的中心点a .
叫做这邻域的半径δ.
}{),(δδδ+<<-=a x a x a U x
a
δ
-a δ
+a δ
δ
,
}
{
邻域
的称为点数集δδa a x x <-记作
二、函数的概念1.函数的定义函——信函
单值对应多值函数不是函数
自变量
因变量
对应法则
(
(
)
)
x )
(0
x f f x
y
D
W
------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。 2. 函数的两个要素
w={y │y=f(x), x ∈D}
x
a
δ
- a δ
+ a δ
δ
,
邻域 的去心的 点 δ
a
) , ( δ a U
记作 .
}0{),(δδ<-<=a x x a U
知识归纳整理
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❖定义域的求法
❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。
（即使实际问题故意义的取值范围）。如时光、长度、
分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必
再求。否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的
函数值唯一确定）。
1. 在分式中，分母应不为0；
2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；
3. 在对数式中，真数不能为0和负数；
▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；
▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。
5
lg
1
-
=
x
y
⎩
⎨
⎧
≠
-
≠
-
5
5
lg
x
x
要使原函数故意义，则
例
51
5
x
x
⎧-≠
⎨
≠
⎩
,4,5,6.
x R x
∈≠
且
已知函数定义域分成有限个区间，在各个区间上表示对
应规律的数学表达式不一样，则称这样的函数为分段函数。
（函数不是用一具式子表示。）是定义域上的一具函数，
不是多个函数。
求知若饥，虚心若愚。
千里之行，始于足下。
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❖例2
f (x) = x2sin(1/x) , x≠0
0 , x＝0
例3
f (x) = -x , x<0
x , x≥0
注：
•在不同的范围内用不同的式子表示的一具函数，叫分段函数。
•定义域分成的有限个区间称为分段区间。
•分段区间的公共端点称为分界点。
•分段函数的定义域是各个分段区间的并集。
•计算分段函数的函数值时，应该先观察自变量的取
值属于哪个分段区间，然后再用该分段区间上的数
学表达式来计算函数值。
三、函数的几种特性
1 . 奇偶性（odevity)
f (-x) = -f ( x ), f ( -x )= f ( x )
例 f ( x ) = 2 x-2 -x
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2、单调性(monotonicity )
当x 2
>x 1
时，总有f (x 2
) > f(x 1
)
当x 2
>x 1
时，总有f (x 2
) < f(x 1
)
有些函数在整个定义域上不是单调的，但却存在单调区间。
M
-M
y x o y=f(x)X
有界无界
M
-M
y x
o X 0
x
,)(,,0，成立有若M x f X x M D X ≤∈∀>∃⊂3、有界性(Boundedness):
.
.)(否则称无界上有界在则称函数X x f ❖
例如：正弦函数
❖在定义域内总有界，此有界性与定义域无关。❖再如：函数
在（0，1）无界，而在[1，5]上有界。❖同一具函数在不同区间的有界性可以不一样。❖讲一具函数是有界的或无界的，必须指出其相应的范围。
x
y sin =x
y 1
=求知若饥，虚心若愚。
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四基本初等函数
1 常数函数（c 为常数）
y c =o
x
y
1
1
y c
=思考常数函数的性质
(Basic Elementary Functions )
2 幂函数
)
(是常数μ=μ
x y o
x
y
)
1,1(1
1
2
x y =x
y =x
y 1=
x
y =思考幂函数的性质
3 指数函数(Exponential Function)
)
1,0(≠>=a a a y x x
a y =)
1(>a )1,0(•
x
a y =)
(1<a 思考：指数函数的性质
4 对数函数(Logarithmic Function )
)
1,0(log ≠>=a a x y a
)0,1(
•
x
y a
log =x
y a log =)
(1<a )
1(>a 4 三角函数(Trigonometric Function )正弦函数x
y sin =x
y sin =x
y cos =余弦函数cos =y x
正切函数
x y tan =余切函数
x
y cot =千里之行，始于足下。
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