一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的⊇y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题：
(1)、已知的定义域，求的定义域
f x ()[]f
g x ()思路：设函数的定义域为D ，即，所以的作用范围为D ，又f 对作用，作用范f x ()x D ∈f g x ()围不变，所以，解得，E 为的定义域。 D x g ∈)(x
E ∈[]f g x ()例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。f u ()f x (ln )解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）f u ()u ∈()01，f 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得，故函数的定义域为（1，e ）
x e ∈()1，f x (ln )例2. 若函数，则函数的定义域为______________。f x x ()=
+1
1
[]f f x ()解析：先求f 的作用范围，由，知f x x ()=
+1
1
x ≠-1即f 的作用范围为，又f 对f(x)作用所以，即中x
{}x R x ∈≠-|1f x R f x ()()∈≠-且1[]f f x ()应满足即，解得x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1
11
1x x ≠-≠-12
且故函数的定义域为[]f f x (){}
x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知的定义域，求的定义域
[]f g x ()f x ()思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作[]f g x ()x D ∈g x E ()∈用，作用范围不变，所以为的定义域。
x E E ∈，f x ()例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。f x ()32-[]
x ∈-12，f x ()解析：的定义域为，即，由此得f x ()32-[]
-12，[]x ∈-12，[]
3215-∈-x ，所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]
-15，[]
x ∈-15
，
即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为-------f x ()[]-15，f x x x ()lg 2
2
248
-=-f x ()解析：先求f 的作用范围，由，知f x x x ()lg 2
2248-=-x x 2
2
8
0->解得，f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以，x 2
44->()4，+∞x ∈+∞()4，即的定义域为f x ()()
4，+∞（3）、已知的定义域，求的定义域
[]f g x ()[]f h x ()思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对
[]f g x ()x D ∈g x E ()∈f 作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。
h x ()h x E ()∈x F ∈[]f h x ()例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
f x
()2[]
-11，f x (log )2解析：的定义域为，即，由此得f x
()2[]-11，[]
x ∈-11，21
22x
∈⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥
，的作用范围为，又f 对作用，所以，解得f 122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥log 2x log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥，[]
x ∈
24，即的定义域为
f x (lo
g )2[]
24，评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。 （1）引理证明
已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数
))((x g f y =)(x g u =b a ,(在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.
)(u f y =))((x g f y =b a ,(证明：在区间）内任取两个数，使b a ,(21,x x b
x x a <<<21因为在区间）上是减函数，所以，记, 即
)(x g u =b a ,()()(21x g x g >)(11x g u =)(22x g u =)
,(,21,21d c u u u u ∈>且
因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以，即，)(u f y =)()(21u f u f <))(())((21x g f x g f <；故函数在区间）上是增函数.))((x g f y =b a ,(（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
)(u f y =增 ↗
减 ↘
)(x g u =增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘))
((x g f y =增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数的单调性判断步骤：))((x g f y =ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：与。)(u f y =)(x g u =ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函
))((x g f y =数），则复合后的函数为减函数。
))((x g f y =（4）例题演练
例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
)32(log 2
2
1--=x x y 解：定义域 1
30322
-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是 设 则
),3(+∞2121),3(,x x x x <+∞∈且 )32(log 1212
11--=x x y )
32(log 22
22
12--=x x y =---)32(121x x )32(22
2--x x )
2)((1212-+-x x x x ∵ ∴ 312>>x x 012>-x x 0
212>-+x x
∴> 又底数 )32(121--x x )32(22
2--x x 12
1
0<<∴ 即 012<-y y 12y y <∴在上是减函数
y ),3(+∞同理可证：在上是增函数y )1,(--∞［例］2、讨论函数
的单调性.
)
123(log )(2
--=x x x f a
［解］由得函数的定义域为
01232>--x x }.
3
1,1|{-<>x x x 或则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.1>a 1>x 1232--=x x u )123(log )(2--=x x x f a 若，∵为减函数.3
1
-
<x 1232--=x x u ∴为减函数。
)123(log )(2--=x x x f a 当时，若，则为减函数，若，则10<<a 1>x )123(log )(2--=x x x f a 3
1-
<x 为增函数.
)123(log )(2--=x x x f a 例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.a log x
a 解：∵a＞0且a≠1
当a ＞1时，函数t=2->0是减函数
x
a 由y= (2-)在［0，1］上x 的减函数，知y=t 是增函数，a log x
a a log ∴a＞1
由x ［0，1］时，2-2-a ＞0，得a ＜2,∈x
a ≥∴1＜a ＜2
当0<a<1时，函数t=2->0是增函数
x
a 由y= (2-)在［0，1］上x 的减函数，知y=t 是减函数，a log x
a a log ∴0<a<1
由x ［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0<a<1∈x
a ≥综上述，0<a<1或1＜a ＜2
例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设
2)3()2(2-+--=-a x a ax x f a R m m ∈-),0,2(.问是否存在实数使得在区间上是减函
)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==)0(<p p )(x F )]2(,(f -∞数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。)0),2((f ［解析］由已知，得，
0)2(=-m f 02)3(2=-+--a m a am
其中 ∴即，.0,≠∈a R m 0≥∆09232≤--a a 解得
.3
7
213721+≤≤-a ∵为负整数，∴a .
1-=a ∴，
1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f 即 ，.1)(2+-=x x f 2
4
2
2
21)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==∴.
1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数，使得满足条件，设，
)0(<p p )(x F 21x x <∴].12)()[()()(22
21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵，当时，为减函数，
3)2(-=f )3,(,21--∞∈x x )(x F ∴，∴0)()(21>-x F x F .012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵,∴,3,321-<-<x x 1822
21>+x x ∴,11612)(22
21-->-++-p p x x p ∴①
.0116≥--p 当时, 增函数,∴)0,3(,21-∈x x )(x F .
0)()(21<-x F x F ∵,∴,02221>-x x 11612)(22
21--<-++-p p x x p ∴.②
0116≤--p 由①、②可知，故存在161-
=p .16
1
-=p 一．指数函数与对数函数
．同底的指数函数与对数函数互为反函数；
x
y a =log a y x =（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3．比较几个数的大小的常用方法有：①以和为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．01（三）例题分析：
例1．（1）若，则，，从小到大依次为 ；21a b a >>>log b b
a
log b a log a b （2）若，且，，都是正数，则，，从小到大依次为 ；
235x y z ==x y z 2x 3y 5z （3）设，且（，），则与的大小关系是 （ ）0x >1x x a b <<0a >0b >a b （） （） （） （）A 1b a <<B 1a b <<C 1b a <<D 1a b
<<；解：（1）由得，故．
21a b a >>>b a a <log b b
a
<log b a 1<<log a b
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