一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知的定义域，求的定义域
思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。 例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以
解得，故函数的定义域为（1，e）
例2. 若函数，则函数的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由，知
即f的作用范围为，又f对f(x)作用
所以，即中x应满足
即，解得
故函数的定义域为
（2）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即，由此得
所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以
即函数的定义域为
例4. 已知，则函数的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由，知
解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为
（3）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得
的作用范围为
又f对作用，所以，解得
即的定义域为
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习：
1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域。
答案：
2、 已知函数的定义域为，求的定义域。
答案：
3、 已知函数的定义域为，求的定义域。
答案：
4、设，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
解：选C.由得，的定义域为。故，解得。故的定义域为
5、已知函数的定义域为，求的定义域。
［解析］由已知，有
（1）当时，定义域为；
（2）当，即时，有，
定义域为；
（3）当，即时，有，
定义域为.
故当时，定义域为；
当时，定义域为
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
（1）引理证明
已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.
证明：在区间）内任取两个数，使
因为在区间）上是减函数，所以,记, 即
因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，
故函数在区间）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
| 增 ↗ | 减 ↘ |
| 增 ↗ | 减 ↘ | 增 ↗ | 减 ↘ |
| 增 ↗ | 减 ↘ | 减 ↘ | 增 ↗ |
| | | | |
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数的单调性判断步骤：
ⅰ 确定函数的定义域；
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：与。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。
（4）例题演练
例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域
单调减区间是 设 则
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