第1课时 函数的极值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近
的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二 函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
1．导数为0的点一定是极值点．( × )
2．函数的极大值一定大于极小值．( × )
3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )
4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )
一、求函数的极值例1 求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.
当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1(－1,3)3(3，＋∞)
f ′(x )＋0－0＋f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x ＝－1时，函数y ＝f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22.(2) f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a
x
，x >0，知
①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，
从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；
当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的根．
(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．跟踪训练1 (1)求函数f (x )＝2x
x 2＋1－2的极值．
解 函数f (x )的定义域为R .
f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)
(x 2＋1)2.
令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－1)
－1(－1,1)1(1，＋∞)
f ′(x )－0＋0－f (x )
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.(2)已知函数f (x )＝x ＋a
x ＋1，a ∈R .求此函数的极值．
解 函数的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝1－a
x 2＝x 2－a
x
2.
当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．
当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－a )
－a (－a ，0)
(0，a )a (a ，＋∞)
f ′(x )＋0－－0＋f (x )
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
由上表可知，当x ＝－a 时，函数取得极大值f (－a )＝－2a ＋1.当x ＝a 时，函数取得极小值f (a )＝2a ＋1.
综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝－a 处取得极大值－2a ＋1，在x ＝a 处取得极小值2a ＋1.二、由极值求参数的值或取值范围
例2 (1)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.答案 4 －11
解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a ＝－3，b ＝3时，
f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，
故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以Error!不符合题意，应舍去．
而当a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.
(2)已知函数f (x )＝13x 3－1
2(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极
值点，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.
因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．
所以Error!
解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟 已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22
处取得极值，则实数a 的值为( )
A.2
B.22
C ．2 D.
12
答案 A
解析 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′
(2
2)
＝0，
即a －
12
2
＝0，解得a ＝2.(2)已知函数f (x )＝13
x 3
－x 2
＋ax －1.
①若函数的极大值点是－1，求a 的值；
②若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围．解 ①f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得，f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，
经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.②由题意得，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故a 的取值范围是(－∞，0)．
三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题
例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝1
3f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三
个不同的交点，求实数m 的取值范围．
解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，1
3 f ′(x )＋5x ＋m ＝1
3(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .
则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝2
3
或x ＝4.
当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：
x (
－∞，23
)
23(2
3，4)
4(4，＋∞)
g ′(x )＋0－0＋g (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
则函数g (x )的极大值为g (2
3
)
＝6827
－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由g (x )的图象与x 轴有三
个不同的交点，得Error!解得－16<m <
6827.
∴实数m 的取值范围为(
－16，
6827
)
.
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