上海交通大学
1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：高等代数
1．（10分）设P为数域。令；。证明：若与互素，则与也必互素。 2．（10分）设J为元素全为1的阶方阵。
（1）求J的特征多项式与最小多项式；
（2）设为复数域上多项式。证明必相似于对角阵。
3．（10分）
（1）设n阶实对称矩阵，其中且，求A的n个特征值。 （2）设A为复数域上n阶方阵。若A的特征根全为零，证明：。此处E为n阶单位阵。
4（10分）设是数域F上的二次多项式，在F内有互异的根，设A是F上线性空间L的一个线性变换且，（I为单位变换）且满足，证明为A的特征值；且L可以分解为A的属于的特征子空间的直和。
5（10分）用正交线性变换将下列二次型化为标准形，并给出所施行的正交变换：
6（10分）对的不同取值，讨论下面方程组的可解性并求解：
7（10分）假设A为实矩阵，B为实矩阵，表示A的转置矩阵。证明：
（1）AB=0的充要条件是；
（2）矩阵与矩阵A有相同的秩。
8（10分）设均为n阶矩阵且。证明这p个矩阵的秩之和小于等于，并举例说明等式可以达到。
9（10分）证明任一可逆实矩阵可分解为一个正定阵和一个正交阵之积。
10（10分）设W为欧氏空间V的一个子空间。证明若对任意，则
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2003年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：高等代数
1（15分）设，求.
2（15分）以表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设为两两互异的数而且他们的和不等于零。试证明,,,是P上线性空间的一组基。
3（15分）证明：阶实对称矩阵A的秩为r,，当且仅当A可以写成，其中B为阶满秩矩阵，C为阶可逆实对称阵。
4（15分）假设被整除。证明：,被整除。
5（15分）设A为阶反对称实矩阵，,其中，证明。
6（15分）n阶方阵A满足等式，当且仅当。
7（20分）设A，B都是n阶实方阵，并设为BA的非零特征值；以表示BA关于的特征子空间。（1）证明：也是AB的特征值；（1）证明：维数=维数。
8（20分）设A，B都是n阶正定方阵。试证明：AB的特征值为实数。
9（20分）记，P为数域。假设有特征值，但均不是A的特征值。试证明：V的变换为同构。
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1999年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：数学分析
一 选择题（每题3分，共15分）
1．设在处连续但不可导，则满足不等式
A．
B．
C．
D．
2．若，则下列结论正确的是
A．
B．在内的任一子区间内至少有一个连续点；
C．可能在上每一点都不连续；
D．可能在上所有无理点处都不连续。
3．若曲线与在点处相切，则系数的值为
A．
B．
C．
D．
4．二次积分的另一积分次序为
A．
B．
C．
D．
5．曲线积分的值为（）。
其中C是闭曲线的正向。
A．0
B．
C．
D．
二 下列命题是否正确，若正确证明之，若错误试举例说明。（每题5分，共25分）
1．若在连续且有界，则在上必一致连续。
2．若在点的邻域内二阶可导，且，则为的极小值。
3．若广义积分收敛，且，则A=0。
4．若在点的任何邻域内均无界，则在处必不可微。
5．若级数收敛，则对的任一子列都有收敛。
1.,
2.
3.
四（10分）设为实数列，.证明必存在子列，使收敛。
五（10分）设函数在上非负，（为有限数），又在上连续。试证
六（12分）设函数列在区间I上一致收敛于，且在I上一致连续()。证明：在I上也一致连续。
七（10分）设函数都在上连续，且，又，证明：至少存在一点，使。
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2003年硕士研究生入学考试试题
试卷名称：数学分析
一判断以下各题，正确的给出证明，错误的举反例并说明理由。（每小题6分，共24分）
1．若在R上有定义，且在所有无理点处连续，则在R上处处连续。
2．若,连续，则连续。
3．任意两个周期函数之和仍为周期函数。
4．若函数在区域D内关于x,y的偏导数均存在，则在D内必连续。
二（12分）设在上无界，试证对任意,在上至少有一点x，使得在的邻域上无界。
三（12分）设对任意有且在和处连续。试证明在R上为常数。
四（12分）已知，且，试求
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