第23卷第1期
2005年2月
河南
HENAN
科学
SCIENCE
V ol,23NO,1
Feb,2005
文章编号:1004—3918{2005)01—0026—03\
实验曲线的线性度研究
王虹，马俊兴z
(1，河南省政法管理干部学院计算机科学系，河南郑州450002;2，河南教育学院电子技术教研室，河南郑州450014)
摘要：对测量曲线的线性度进行了研究，提出了一种求取独立线性度的新方法，并结合实例对不同的线性度进行 了综合比较.
中图分类号:TN707文献标识码:A
人们为了获得更多的测量信息，往往要对测量结果进行处理，而且希望结果与被测物理量之间呈线性关
系.在测量曲线的非线性不太大的情况下，常采用直线拟合的方法使其线性化，线性化优劣的指标通常用线
性度(I~PtP线性误差)来衡量.但从科学的定义上说，用线性度去衡量线性化的优劣是不严密的，而对于确定
的测量曲线，必然存在最佳拟合直线.测量曲线与最佳拟合直线的线性度(即独立线性度)才是衡量非线性
特性的客观标准.本文从分析拟合直线的线性度及独立线性度的特性着手，以构造一凸多边形模型的方法
推导出确立独立线性度的最佳拟合直线，进而到求取独立线性度的新方法.
l拟合直线的线性度'
1,1端基拟合直线的线性度
把测量数据的零点平均值和满量程输出的平均值连成直线，作为测
量结果的拟合直线，见图l，其直线方程为:Y=+b
式中：足一拟合直线的斜率;6一轴上的截距
收稿日期:2004—09—16
作者简介：王虹(1955一)，女，河南濮阳人，河南省政法管理.|，学院副教授.山西医科大学图书馆
2005年2月实验曲线的线性度研究
仍然较低.经研究发现进行如下改进，可进一步提高精度.
作总平均值:=骞z,=ni=1，记为点P(,).由最小二乘法原理知，测量数据的最小二乘法直线必过点P.
过P点和A点作直线Ll:Y=klz+b1
式中：志1=,61=一是l
过P点和B点作直线L2:Y=k2x+b2
式中:k2=丝,62=一是
现取忌:÷,6:÷，做直线(见图2)L::+6，即为拟合1tt2平均选点拟合直线的线性度结果.瞰Li"tyof聊
这种拟合方法，测量数据在拟合直线的两侧分布，数据处理也不复杂，但精度却tt较高，尤其当测量曲线
线性比较好时，非常接近最小二乘法拟合直线.
2独立线性度
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独立线性度定义为测量曲线与最佳拟合直线的最大偏差，用仪表满量
程输出的百分比来表示(见图3):yL=±×l00%
式中:△L一一最大非线性绝对误差;yF.s一满量程输出
高层低密度最佳拟合直线定义为满量程内既相互靠近而又能包容所有测量点的两图3独立
线性度
条平行线中间位置的一条平行线.最佳拟合直线的本质特点，是它能保证最hⅢpenden¨一哆
大偏差为最小值.
求独立线性度的关键是如何确定最佳拟合直线，最佳直线若用数学语言可描述为：设测量点集
G{g(z,Y),l,2,3,…,}，其中z代表g的平均被测物理量,Y代表g的平均测量结果，且1<z2
<z?<z，如果在所有直线中,G中的点对直线Y=kx+b的最大偏差为最小，则成直线Y=kx+b为点
集G的最佳直线.由以上数学描述可知，求最佳拟合直线的问题，实际上就是离散点的切比雪夫
(Chebshev)最佳一致逼近问题，根据切比雪夫判别准则，直线y=kx+b为点集G的最佳直线的充要条件
为：至少存在三个符号相间的最大偏差点.基于这一准则可以构造出不同的方法求得最佳直线.
3研究思路
我们在多次实验的基础上给出一种用计算机编程实现的最什直线的求取方法，其研究思路为:
首先构造一凸多边形，将测量数据全部包容在凸多边形内或位于凸多边形的各边上，见图4，然后由各
顶点向轴引铅垂线，其中最长的垂线g4g4交边g3g5于点g4，过g4g4的中点P作平行于边g3g5的直
线L，因为点g3,g4,g5是直线L的三个最大偏差点，且分布在直线L的
两侧，符号相间，当直线L向上或向下移动时，最大偏差均会增大，所以,
直线L即为所求最佳直线.
由几何公式可求得最佳直线Y=kx+b和对应的最大偏差△L一:
,Y5一Y3宠——
Z5一Z3
我爱操
b=[(Y3+Y4)一k(3+4)]/2
△L一=[(4一3)一k(.374一z3)]/2
则独立线性度yL=±×l00%=±×l00%
图4独立线性度的求取方法
Fig.4Methodtoobtainthe
independentlinearity
这种拟合方法的计算精度高，能保证最大偏差7L为最小值，适用于多测量数据的精确拟合，但算法较为
一
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复杂，我们是利用计算机编程来求解(略).
4应用实例
为了综合比较各种方法的拟合效果，我们选择在不同温度下对热敏电阻(Cl00)的电阻值进行实际测
雅奇mis量，测量结果见表1，拟合结果比较数据见表2.
表1热敏电阻(clll帅)的阻值数据表
Table1Datasheetforthermo-sensitiveelectricalresistance(Culoo)
5结果分析
从表1和表2所列测量结果数据的分析，可得出如下结论:
平均选点法：简单直观，适用于线性很好的测量曲线和非线性测量曲线的局部线性化，但端基直线的精
度差.
改进的平均选点法：传统平均选点直线的精度较高，测量点分布在直线两侧，但只是新平均选点直线在
测量点数为偶数时的特例.新平均选点直线和传统平均选点直线相比，方法更科学，精度更高，无论是
∑△,∑，还是线性度yL，都更接近于最小二乘法直线，计算比较简单，可作为一般方法应用.
最小二乘法：精度高，能保证∑为最小，但不能保证△L一为最小值，当测量点很多时，计算也比较
繁琐，适用于测量曲线的精确拟合.
独立线性度方法：几何意义明确，符合最佳直线的定义，能保证最大偏差△L一为最小值，且精度高，但
算法复杂，需用计算机编程进行运算，适用于多数据测量曲线的精确拟合，是求取独立线性度较为理想的方
法，具有推广应用价值.
参考文献:
[1]侯国章.测试与转换技术[M].哈尔滨：哈尔滨工业出版社,1998.
[2]李庆扬.数值分析[M].武汉：华中理工大学出版社,1988.
[3]郁有文，常健.传感器原理及工程应用[M].西安：西安电子科技大学出版社,2001. Researchofexperimentcurvelinearity
W ANGHong,MAJun—xingz
(1.HenanAdministrativeInstituteofPoliticsandLaw,DepartmentofCx3mputerScience,Z hengzhou450002,China;
2.HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450014,China)
Abstract:Linearityofmeasurecurveisstudied,asortofthenewmethodaboutIndependentlin earityisbrought
forward,anddifferentlinearityarecompared,baseonexample.
莫迪利亚尼
Keywords:experimenteurv;linearity;bestbeeline;independentlinearity
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