数学在其发展的早期主要是作为一种实用的技术或工具，广泛应用于处理人类生活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应用的重要方面有：食物、牲畜、工具以及其他生活用品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量土地，兴修水利，编制历法等。随着数学的发展和人类文化的进步，数学的应用逐渐扩展和深入到更一般的技术和科学领域。从古希腊开始，数学就与哲学建立了密切的联系，近代以来，数学又进入了人文社会科学领域，并在当代使人文社会科学的数学化成为一种强大的趋势。与此同时，数学在提高全民素质、培养适应现代化需要的各级人才方面也显现出特殊的教育功能。数学在当代社会中有许多出入意料的应用，在许多场合，它已经不再单纯是一种辅助性的工具，它已经成为解决许多重大问题的关键性的思想与方法，由此产生的许多成果，又早已悄悄地遍布在我们身边，极大地改变了我们的生活方式。 一、数学与当代科学技术
在科学发展的进程中，数学的作用日见凸现。一方面，高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学；另一方面，随着计算机科学的迅猛发展，数学兼有了科学与技术的双重身份，现代科学技术越来越表现为一种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是运用数学思想和方法。精确定量思维是对当代科技人员的共同要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题，抽象 为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算机软件，以便得到更广泛和方便的应用。高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的控制来实现的。
电子计算机的发明与使用是第二次世界大战以来对人类文明影响最为深远的科技成就之一。电子计算机是数学与工程技术相结合的产物，而在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作用。通用计算机的概念最先是由数学家巴贝奇提出的；图灵从数学上证明了制造通用数字计算机的可能性；冯·诺伊曼的程序存储等思想至今仍是现代计算机的设计指南。毫无疑问，计算机的进一步发展，包括新型计算机（如大规模并行计算机、光计算机、量子计算机、生物计算机等）的研制，仍将借助于适当的数学理论与思想。电子计算机之所以有强大的功能，除了它本身独特的设计思想外，最主要的是因为有了软件的支持。计算机是由硬件和软件两部分组成的，如果说硬件是它的躯体，那么软件就是它的灵魂。软件的核心是算法，所以它是一种数学。 1997 年， IBM 公司制造的“深蓝”计算机惊人地一举击败了当今世界上国际象棋第一高手——俄罗斯的卡斯帕罗夫，世界为之轰动。“深蓝”之所以能有如此水平，主要是由于十分巧妙的算法以及高速计算机的支持。错位关系
传统的观点认为，理论与实验是科学研究的两个基本方法。由于 20 世纪前半期数学的巨大发展，它的研究领域空前扩大，因而使得众多的实际问题可以转化为数学问题。第二次世界大战以来，社会各 方面的实际需要向数学提出了空前大量的问题。战后电子计算机（电脑）及计算机技术（软件、多媒体等）的发展，使得以往无法实现的繁杂计算和不敢设想的算法（如计算机模拟等）都可以进行。
如今，科学计算已经和理论、实验共同构成当代科学研究的三大支柱。天文学是最早运用数学的科学领域，这可以上溯到 2 000 多年前的古希腊时代。 17 世纪，牛顿完成了哥白尼所开创的天文学革命，为经典天文学奠定了基础，而他的天文学（天体力学）本质±是数学的而不是物理学的。借助数学方法和计算技术，天体力学在当代获得了引人注目的成就。例如，应用牛顿定律和高速计算机，天文学家们已经预测了太阳系在未来 2 亿年内的运动情形。
另一个著名的例子是天体物理中的数值模拟。天文学研究的许多问题，如宇宙、星系的演化，太阳系中行星、卫星的形成，其尺度常常是以光年计算的（例如，离太阳系最近的恒星是半人马座比邻星，距离大约为 4.3 光年；银河系的范围约为 10 万光年；最近的河外星系的距离约为 100 万光年），其时间常常是以亿年计算的（例如，太阳系是在距今 50 —46 亿年前形成的），天体及宇宙空间中的超高温、超低温、超高压、超高密度以及其他许多物理条件，都不是世界上任何实验室所能达到的，研究有关的物理过程又涉及极为复杂的多变量微分方程和积分方程。例如，太阳表面的温度为 5770K ，白矮星的密度为 105～107克／厘米3； 20 世纪 20 年代，人们发现天狼星的一颗伴星，其质量约为太阳的 1.053 倍，但半径却只有太阳半径的 0．0074 倍，平均密度高达 106
克／厘米3，温度约 107K ；中子星的密度为 1013～ 1016克／厘米3等。因此，对这些问题的研究既需要进行大型的复杂计算，又需要进行大量的模拟试验。随着大型计算机的出现以及计算机科学的发展，数值模拟方法应运而生，成为天文学家手中的强有力工具。
一位物理学家写道：“贯穿整个物理科学的曲折变化的历史，有一个仍然不变的因素，就是数学想像力的绝对重要性。每个世纪都有它特有的科学预见和它特有的数学风格。每个世纪物理科学的主要进展都是在经验的观察与纯数学的直觉相结合的引导下取得的。对于一个物理学家来说，数学不仅是计算现象的工具，也是得以创造新理论的概念和原理的主要源泉。”相对论和量子力学是现代物理学的核心领域，它们的建立与发展都与数学有密切关系。
1905 ～ 1915 年，爱因斯坦发展了他的广义相对论，其核心是引力理论，关键是认识到引力只是时空弯曲的一种表现。广义相对论认为，引力场的分布将影响到光的传播路径。例如，爱因斯坦预言，来自恒星的光从太阳近旁掠过时将向太阳一方偏斜，于是，从地球上观测到的恒星位置将背离太阳移动。由于光线在空间中总是沿着最短路径传播的，光线路径的弯曲实际上表明引力场的空间是弯曲的。空间弯曲的程度是由宇宙中物质的分布决定的，一个区域内的物质密度越大，空间的曲率也就越大。爱因斯坦并不需要重新发明关于弯曲空间的数学，他发现一切都已经准备好了：在此之前半个世纪，数学家黎曼就研究了弯曲的三维空间的问题；广义相对论所需要的另一个数学工具张量分析也已经在 19 世纪末初步建立。
1900 年，德国物理学家普朗克发现，像物质一样，能量也只能被分为有限的份数，而不是无穷多份。他的这个工作的中心是一个数学关系，它表明，量子的能量可以用辐射的频率乘以一个新的基本自然常数来计算，现在这个常数就被称为普朗克常数。 1925 年 7 月，德国物理学家海森堡发表了论文《关于运动学和动力学关系的重新解释》，这篇论文从丹麦物理学家玻尔的对应原理出发，
超生反应由经典运动方程加量子条件，得到了一个仅以可观察量为基础的量子力学运动方程，并用这个方程求解一个较简单的非谐振子量子力学系统，得到了与实验相符的频率和跃迁几率。两个月后，德国物理学家玻恩及其学生 P ．约旦发表了论文《论量子力学》，用矩阵代数的形式系统地表示海森堡理论，矩阵元对应于可观察量，矩阵乘法规则与海森堡运算规则一致，得出的矩阵方程相当于海森堡量子条件。随后，他们与海森堡合作发表了论文《论量子力学Ⅱ》，系统地发展起矩阵形式的量子力学体系，成功地处理了一系列问题，从而建立了量子力学的基本形式之一——矩阵力学。矩阵论是 19 世纪中期由英国数学家凯莱在研究线性变换不变量问题时开创的，矩阵代数的运算与通常的代数运算有一个明显的差异：矩阵乘法不满足交换律。后来人们认识到，这个不对称的数学特点联系着这样一个事实：仅仅是测量的前后次序不同，微观世界就可能给出不同的结果。这是量子世界所显示的许多奇特性质之一。从 1926 年 1 月 27 日到 6 月 23 日，奥地利物理学家薛定谔接连发表了 6 篇关于量子力学的论文，致力于用一个全新的数学量——波函数描述微观客体在时空中的定态和运动变化，并建立起相应的波动方程，以数学语言表达了在空间以特定形式传播或振动的波的性质，给出了波函数随空
间坐标和时间变化的关系。求解这些偏微分方程得出的本征值就是量子化假设中的分立能级，对一系列实例得出了与实验相符的理论解。论文还分析了微观系统和宏观的关系，证明了这种波动力学与矩阵力学在数学上的等价性。还有一件事情值得一提： 1924 年，希尔伯特出版了《数学物理方法》，它恰好为第二年出现的量子力学准备了工具。在地球科学中运用数学方法，产生了计量地理学、数学地质学、数值天气预报等一系列研究领域与方法，并在地震预报、地球物理学、海洋学等方面发挥了巨大作用。此外，现代地球科学中还广泛采用了高速计算、高速通讯、高速自动资料整理、数值模拟等高科技方法，许多实质性的进展依赖于有关的数学理论与方法的发展。数学在地球科学中不仅已经显示出巨大的作用，而且必将产生更为广泛和深刻的影响。
19 世纪末，挪威学者已将流体力学引入气象学研究， 1922 年理查森提出数值解法，但只有冯·诺伊曼等借助计算机与适当的数值方法才于 1952 年首次实现数值天气预报。与气象学一样，当前一系列科学与工程领域的发展都依赖于计算机与计算方法，这导致了大规模科学计算的迅猛发展。
为了勘探地形和地下矿藏，一种简便易行的方法是用飞机或人造地球卫星在飞航途中每隔一定时间拍摄一张照片，再将许多照片上的图像拼成一幅完整的大图。由于地面时有起伏，机身也难免时有倾斜，种种因素影响，每张照片都可能存在误差。摄影过程实际上是一个中心投影变换，将地面图景投影到照相底片的平面上。这两个平面如果不平行，底片上的图像就会变形，因而必须再通过中心投影变换把误差纠正过来，偏差多大角度就要纠正多大角度，这时就要应用射影几何知识进行精密的计算。
1967 年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（ Benoit Mandelbrot ，1924 ― ）发表了《不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维》一文，其中首先注意到更早的理查德森（ Richardson ）已经作出的研究：测量海岸线时，如果测量过程越来越精细，那么海岸线就会显露出越来越多的细节，而测量结果就会变得越来越大，这意味着海岸线是无限长的。这一结论令人困惑。曼德尔布罗特把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。此后，他于 1977 年出版了《分形：
形状、机遇和维数》，标志着分形理论的正式诞生。这种探讨最初主要是纯粹数学意义上的，然而大量事实表明，分形在自然界中广泛存在着。在地球科学方面，十分引人注目的是分形地貌学的创立。分形地貌学是一门用现代非线性科学中的分形方法及原理研究地球表面起伏形态及其发生、发展和分布规律的新兴科学。以直线为基础的欧几里得几何无力描述大自然的真实面貌，而让位于以描述客观自然（如处处连续处处不可微的曲线）为己任的分形理论，分形地貌学也应运而生。
1998 年，当时的美国副总统戈尔提出了“数字地球”的构想，成为近年来地球科学领域最引入注目的话题之一。通俗地说，所谓数字地球就是一个数字化的地球仪，它可以按照统一的地球空间坐标，将地球的自然地理信息、社会经济数据、人文信息等组织起来，构成一个具有多分辨率、多类型、多时项的三维地球数据集。这种数字地球可以提供普通地球仪无法提供的许多重要信息，使人们可以任意选择、逐级放大或缩小所感兴趣的观察对象，可以快速而形象地了解地球上各种宏观、微观情况。实现
数字地球的基本前提是计算技术的支撑。气象、海洋、地震、遥感、资源探测、环境、生态等各种数据，其数量都是大得难以想像的，必须借助电子计算机并运用强大的科学计算方法加以处理，以便从中得到有关地球的各种宏观和微观规律。
20 世纪以来，数学在化学中的作用日益广泛和深入，不仅已经成为化学领域不可缺少的工具，而且由于数学与化学的结合，产生了许多交叉学科，如数理化学、化学动力学、量子化学、分子拓扑学、计算机化学等。当今化学由定性研究迅速向定量化研究的方向发展，与之相适应的数学及其算法不断出现。 论是数学家们为探求五次以上一般高次方程的公式解而于 19 世纪创立的，如今它已在化学中获得了极为广泛的应用，如对分子对称性的研究，对分子振动的研究，对晶体结构的研究等，都使用了论方法。此外，化学研究的需要也促进了论中一系列相关理论与方法的发展。
20 世纪 80 年代以前，人们认为碳只能以两种主要形式出现：金刚石和石墨。但是，数学家受到十二面体的旋转启发，推测自然界有可能存在 C
60
，因为在数学上它有十分稳定的结构。 1985 年，化学家与物理学家合作，造出了由
给力时代
60 个碳原子构成的形如足球的 C
60
分子，引起了科学界的极大震动。后来科学
家又发现了 C
50， C
70
， C
84
， C
120
等各种各样的多面体碳分子，化学家根据
它们的对称性对各种分子进行分类，论在阐明它们的结构和性质方面特别有用。
拓扑学研究的是图形经过连续变形之后仍能保持的性质。分子拓扑学的基本依据是：尽管分子的几何参数（如原子间的距离、化学键的键角）能够测定，但由于存在着各种分子内的运动（如分子振动、内转动等），原子在分子中的位置是不固定的。同时，分子的几何性质也受到周围环境不可忽视的影响，例如在溶液情况下溶剂的影响，在晶体情况下压力的影响等。由分子内运动和由各种外部影响所引起的分子几何性质的改变，只要没有化学键的破坏与形成，就可以看做连续的形变，此时，分子中原子间相互关联的性质保持不变。分子中原子相互连通的全部信息确定了分子的拓扑性质。 20 世纪 60 年代，拓扑学已经被广泛地
中小企业管理与科技应用到化学领域，讨论配位络合物、平面不饱和碳体系的金属复合物、金属原子簇化合物和硼氢化合物等。人们越来越清楚地认识到拓扑性质是分子的重要性质。此后，关于分子结构的拓扑理论进一步发展起来，分子电荷分布的拓扑性质、分子结构的稳定性、分子结构变化的数学模式、化学键的拓扑理论、核势能与能量之间的拓扑关系以及分子体系势能面的拓扑性质等都逐渐建立，进而形成了一门以研究分子的拓扑性质及其应用为主要内容的分子拓扑学，并已成为分子结构和分子动力学理论的重要组成部分。
19 世纪后期，恩格斯曾指出，数学在生物学中的应用等于零。 20 世纪以来，数学出入意料地与生命
科学紧密地联系在一起，其结果是：在数学中出现了一个十分活跃的应用数学领域——生物数学；在生物学中则出现了数学生物学的庞大体系。简单地说，生物数学主要是指用于生物科学研究中的数学理论和方法，包括生物统计学、生物微分方程、生态系统分析、生物控制、运筹对策等；数学生物学主要是指生物学不同领域中应用数学工具后所产生的生物学分支，如数学生态学、数量生理学、数量遗传学、数量分类学、数量生物经济学、传染病动力学、数理医药学、分子动力学、细胞动力学、人口动力学，以及神经科学的数学模拟等。今天，数学几乎触及到生物学的每个领域。数学生物学是今天应用数学最振奋人心的前沿之一，它充分显示了数学的威力和多方面的适用性。这些数学工具帮助人们把生物学研究推到了科学的前沿——了解生命和智力。
DNA 分子是生物传宗接代的主要物质基础，它是遗传信息存储的基本单位，许多有关生命起源的重大问题都依赖于对这种特殊分子的性质的深入了解。因此，关于 DNA 分子的结构与功能问题，几十年来一直吸引着许多生化学家和遗传学家们的注意。最近十几年来，科学家们越来越清楚地认识到， DNA 分子的三维空间的拓扑构型对它在细胞里如何发挥其功能有重要影响。
借助数学模型方法，数学生物学家们解释了为什么处于哺乳动物体积分布谱两端的大象和老鼠身上的颜比较均匀一致，而不太大也不太小的动物（如斑马、金钱豹等），它们身上的花纹就会很不寻常。数学模拟可以解释为什么世界上有身上是斑点、尾巴是条纹的动物，却没有身上是条纹、尾巴是斑点的动物。例如，金钱豹的尾巴太细，使魔点都合并成了条纹。在当代，数学模型被广泛应用于生
博洛尼亚进程理学领域，例如心脏、肾、胰脏、耳朵和许多其他器官的计算模型。近年来，随着计算技术和数值算法的迅猛发展，人们已经能够充分详细地模拟人体流体动力学功能并运用于认识和疾病。数学模型还使高速计算机在药物成分设计和染体组织的分析方面得以广泛应用。
X 射线计算机断层扫描仪（简称 CT ）的问世是 20 世纪医学中的奇迹，被认为是放射医学领域的一次革命性突破。其原理是基于不同的物质有不同的 X 射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过 x 射线透射，只能测量到人体的直线上的 x 射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化。能否通过这个平均值求出整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的拉东变换解决了这个问题，如今拉东变换已经成为 CT 理论的核心。首创 CT 理论的 A.M.. 科马克及第一台 CT 制作者 C.N. 洪斯菲尔德因而获得了 1979 年诺贝尔医学和生理学奖。另外， 20 世纪 80 年代后期兴起的磁共振显像（ MRI ）的主要技杭州市城市总体规划
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