在§4.1中，我们定义了两个拓扑空间X ,Y 的拓扑积空间X ×Y ，在定义4.1.1中，我们给出了拓扑积空间的一个基，在定理4.1.6中，我们又给出了它的一个子基。下面，我们利用这两种方法在一般的笛卡尔积上定义拓扑积空间. 设}|),{(+∈Z i X i i T 是一族拓扑空间，在笛卡尔积i n i X 1=∏和i i X ∞
=∏1
上我们有两种方法定义其上的拓扑.
分形
一种方法是像定义4.1.1那样取B 1=n U U U ⨯⨯⨯ ,{21∈i U |}},,2,1{,n i i ∈T 和 B 2=},|{1+∞=∈∈∏Z i U U i i i i T
分别为它们的拓扑基.(后面将证明它们确实满足拓扑基的条件).并称由这种基生成的相应笛卡积上的拓扑为笛卡尔积上的盒拓扑. 另一种方法是像定理4.1.6那样取
}},,,2,1{,|)({11n i U U p i i i i ∈∈=-T S 和
},|)({12+-∈∈=Z i U U p i i i i T S 分别为它们的子基，其中i i i X p ∞
=∏1:i X →是投射映射 (见§1.4)，并称由这样的子基生成的相应笛卡尔积上的拓扑为它们的积拓扑.
在由子基生成的笛卡尔积n X X X ⨯⨯11上的积拓扑中.集族B =∈∈--i U U p U p i i n n ,|)()({1
111T ,{2,1}},n 是积拓扑的一个基，但由于)()(1111n n U p U p -- =n U U U 21⨯，因此i n
i X 1=∏上的盒拓扑和积拓扑是一致的.显然，对于i i X ∞=∏1来说，两种拓扑是不一致的，因为对于盒拓扑中的基成员i i U ∞=∏1，当对每个,,∅≠∈+i U Z i 且i i U T ∈,i i X U ≠时, i i U ∞=∏1必定不是积拓扑空间的开集.一般地有:i i X ∞=∏1上的盒拓扑比i i X ∞
=∏1上的积拓扑细. 下面，我们将以上定义笛卡尔积上拓扑的方法推广到更一般地集族的笛卡尔积上去.
有关集族的笛卡尔积的内容请参见§1.4.
引理4.3.1 设J X ∈ααα)},{(T 是一族有标拓扑空间族，则集族: B =},|{J U U J ∈∈∏∈αααααT 是笛卡尔积ααX J
∈∏上的一个拓扑基. 证明：我们证明B 满足定理2.2.7中条件(1)-(2)即可.
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(1) 由于ααX J ∈∏∈B 这是因为对J ∈α,ααT ∈X ，因此对∈∈J x αα)(ααX J ∈∏，存在U =ααX J
∈∏∈B 使得∈∈J x αα)(U . (2) 对于ααU J ∈∏,∈∏∈ααV J B ，以及∈∈J x αα)( )(ααU J ∈∏(ααV J
∈∏), 由于 )(ααU J ∈∏(ααV J ∈∏)=)(αααV U J ∈∏以及ααV U αT ∈知存在U =∈∏∈)(αααV U J B 使得∈∈J x αα)(U ⊆ )(ααU J ∈∏ (ααV J
∈∏). 因此B 是ααX J ∈∏的一个拓扑基.
定义4.3.1设J X ∈ααα)},{(T 是有标拓扑空间族，我们称由基
B =},|{J U U J
∈∈∈α∏ααααT 生成的ααX J ∈∏上的拓扑为ααX J ∈∏上的盒拓扑.并称相应的拓扑空间为盒拓扑空间. 定义 4.3.2设J X ∈ααα)},{(T 是有标拓扑空间族，我们称由子基
},|)({1J U U p ∈∈=-αααααT S 生成的ααX J ∈∏上的拓扑为ααX J ∈∏上的积拓扑，并称相应的
拓扑空间为有标拓扑空间族J X ∈ααα)},{(T 的拓扑积空间.
当把笛卡尔积ααX J ∈∏作为拓扑空间时，如果没有作特别地说明,ααX J ∈∏上的拓扑指的是其上的积
拓扑，即由子基},|)({1αααααT ∈∈-U J U p 所生成的拓扑.
定理4.3.2设J X ∈ααα)},{(T 是有标拓扑空间族，对每个J ∈α αB 是扑空间),(ααT X 的一个基，则 (1) B 1={αααααB ∈∈∏∈B J B J ,|}是ααX J
湖北省经济管理干部学院∈∏上盒拓扑的一个基.
溴化锂溶液(2) B 2={}|{|αααααX B J J B J
=∈-∏∈是有限集,∈α ∈-α{J }}|,ααααB ∈=B X B J 时是ααX J
∈∏上积拓扑的一个基. 证明:(1) 显然B 1是ααX J ∈∏上盒拓扑的开集族；又设U 是盒拓扑空间ααX J ∈∏中的开集,x =.)(U x J ∈∈αα由定义4.3.1知对每个J ∈α，必存在,ααT ∈U 使得
x =∈∈J x αα)(,U U J
⊆∏∈αα又对每个J ∈α,αB 是αT 的基，因此对每个J ∈α存在ααB ∈B 使得∈
αx ααU B ⊆，因此存在,1B ∈∏∈ααB J 使得x =∈∈J x αα)(ααB J ∈∏⊆,U U J ⊆∏∈αα由定理2.2.9知B 1={ααB J
∈∏|ααB ∈B ,J ∈α}是盒拓扑空间ααX J
∈∏的一个基. (2) 的证明留给读者完成.
定理4.3.3 设J X ∈ααα)},{(T 是有标拓扑空间族，则
(1) 当J 有限时,ααX J
∈∏上的盒拓扑和积拓扑是一致的. (2) 当J 是无限集时,ααX J
∈∏上的盒拓扑比积拓扑细. 证明：由定理4.3.2可知，对拓扑空间族J X ∈ααα)},{(T , ααX J ∈∏上的盒拓扑空间有一个基.
B 1={ααB J
∈∏|J ∈α,ααT ∈B }, ααX J ∈∏上的积拓扑空间有一个基,
B 2={}|{|αααααX B J B J
=-∏∈是有限集,J ∈α－{ααB |=}αX 时, αB ∈αT }. (1) 当J 是有限集时，由于对任意{J ∈α|ααX B =}, J －{J ∈α|ααX B =}总是有限集，因此
B 2={ααB J ∈∏| J －{J ∈α|ααX B =}是有限集,J ∈α－{J ∈α|
ααX B =}时,αB ∈αT }
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={ααB J ∈∏|J ∈α,αB ∈αT }= B 1
汉城大学因此由定理2.2.10知当J 有限时,ααX J
∈∏上盒拓扑和积拓扑是一致的. (2) 当J 是无限集时，显然B 2⊆ B 1，因此ααX J ∈∏上盒拓扑比积拓扑细.
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