一、 引言
以时均量表示的湍流基本方程都刻有相应的瞬时值方程经雷诺分解后再取时均导出。因此经雷诺平均后，得到了描述湍流时均化的基本方程组，其共包含四个方程，包含一个平均流连续方程一个、以及三个雷诺方程。但是方程组中的未知量的个数远远多于方程数，除了四个时均量外，还有对称的雷诺应力张量的六个分量，因此湍流的时均化方程是不封闭的。若导入雷诺应力方程，尽管被表达，但是只能在现有方程组中导入更多的变量，方程组不封闭的问题仍旧得不到有效的解决。 湍流模型问题就是建立脉动关联量与平均量之间的关系，或更一般的说，建立高阶关联量与低阶关联量之间的关系，使湍流平均运动的方程组能够封闭。由于没有“附加”的物理定律可用于建立这些关系，所以湍流模型问题很复杂很困难的。人们只能以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、张量分析或其它手段，包括合理的推理和猜测，提出假设，建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。由此可见，迄今为止建立的湍流模型没有一个是建立在完全严密的理论基础上的，所以也称之为湍流的半经验理论。
二、 湍流模型的主要型式
模式理论的思想可以追溯至100多年前。1872年布辛涅斯克就提出了用涡粘性系数来模拟雷诺应力
1925年，普朗特沿这一方向做了重要的工作，提出了混合长度理论。但是混合长度理论本身没有给出确定混合长度的理论，冯卡门的相似性假设却使估计与空间坐标的关系成为可能。对于冯卡门的理论，在离避免很近的区域，流动状态将受分子粘性很大的影响，而相似性理论都不能反映这一情况。为此，范德列斯特提出了对相似理论中的的修正公式。
现在广泛使用的一种零方程模型是由薛贝赛和斯密斯提出的两层模型，对于边界层的内层，以范德列斯特模型为基础，在外层则用尾迹型。
上述理论的基本思想都是建立关于雷诺应力的模型假设，使雷诺平均运动方程组得以封闭。零方程模型的主要优点是应用方便，此外将雷诺应力与当地平均速度梯度联系起来，使得在的地方雷诺应力等于0，在多数情况下是正确的。但是该方程不能反映上游历史的影响，只当各种输运项很小时才能够得到较好的结果。同时由于他们只考虑了一阶湍流统计量的动力学微型方程，及平均运动方程，没有引进任何高阶统计量的微分方程，因此所有的这些理论可归为一阶封闭模式或零方程模型的范畴。一阶封闭模型由于模型过于粗糙，对平均运动计算的预报性很差，对脉动运动的统计性质实际上没有增进什么了解。
无人直升机
由于零方程模型不能反映上游历史的影响，所以它不能用于湍流输运较强的情况。解决这一问题的必然途径是采用湍流量的输运方程，而湍流动能是湍流最基本的特征参数，所以首先把湍流动能方程作为模型方程无疑是更合理的。
贵州师范大学学报
1940年，周培源教授在世界上首次建立了一般湍流的雷诺应力所满足的输运微分方程组。其中又出现了三维速度关联等新未知量。对自由湍流问题，周培源在此基础上引进了一些假设，使方程组封闭。虽然这些湍流二阶相关量的输运方程给湍流时均流的方程提供了补充的方程，如果能从这些精确的方程中建立求解二阶相关量，则湍流时均流的求解问题就得到了解决。然而不幸的是，在这些二阶相关量输运方程中又引入了一些新的复杂因素，甚至出现了三阶相关量，如等。针对上述问题更一般的情况，周培源又进一步导出了三元速度关联所满足的动力学微分方程。可是其中又出现了四元速度关联和压力与二个速度分量的关联等心未知量。周培源又假设了四元速度关联和二元速度关联之间的关系，压力和二个速度的关联也可通过二元速度关联来表示，最终可建立起封闭的方程组。1951年，西德的Rotta又发展了周培源所开创的工作，提出了完成的雷诺应力模式。他们的工作现在被认为是以二阶封闭模式为主的现代湍流模式理论的最早的奠基性工作。但是由于当时计算手段的限制，他们所建立的十分复杂的方程组还没有实际求解的可能。60年代后，由于计算机技术与数值方法的飞速发展，周培源等人的理论才重新获得了活力。
红脊长蝽其中主要的模型有微分模型（雷诺应力模型）、模型（代数应力模型）、模型（涡团粘度模型）以及中国领导团队新阵容方程模型（单方程模型）。其中雷诺应力模型就是直接求解的控制微分方程的二阶湍流模型，常简称为RSM模型。该模型是二阶模型中最精确的一种模型，然而也是最复杂的模型，需要求解的方程个数也是最多的，计算机时花费较多，但该模型的普遍性和预测能力均优于其它二阶模型。模型是对雷诺应力模型进行简化建立的，其针对不同类型的问题中的雷诺应力模型进行简化，并保留了部分对流和扩散的影响。为此，该模型比完全略去对流和扩散的模型有了改进，但是对于对流项和扩散项起主导作用的流动，如射流、尾迹流和环形流等不适用。它是当前使用最广泛的模型，它比雷诺应力简单的多，而其计算结果几乎不相上下。模型对不采用输运方程，而与层流模型类似，直接采用广义的涡团粘度模型。对简化成代数方程，他们不再需要联立求解，而可以由时均流的梯度显式来表示。对于较复杂的流动，该模型过于简化，因而精度差些。但对于一般简单的流动，如边界层流动，精度与模型差不多，但对于某些问题，如三维流场中的某些二次流动，该模型便不适用。上面对二阶湍流模型做了不同程度的简化，在模型（代数应力模型）和模型（涡团粘度模型）中，除了（湍动量）和（耗散率）方程为微分方程外，其余方程均简化为代数
方程。这两种模型通常称为双方程模型，是目前工程计算中应用最广泛的一类模型。对于更简单的湍流现象，人们也曾做了进一步的简化，即所谓的单方程模型。在单方程模型中，只保留方程为微分方程，而其它二阶脉动相关量均由代数方程来表示。这样计算的工作量就大大的简化了。当然，其对稍复杂的湍流预示能力有所降低。
在上述湍流模型中，根据不同的假设会引入不同的湍流模型参数。实用时，为了使数值计算的结果更好的吻合特定的流动条件下的实验结果，畅畅对上述的常数进行微小的修正。如根据各项同性湍流、各向异性湍流以及均匀剪切湍流等进行的测量。
除此之外，正如前面所讲，湍流模型是不完善的。为了使计算结果与实验结果有很好的吻合，有时需要人为的引入某些函数作为修正。由于这类函数与具体的湍流现象有关，因此它的引入使得湍流模型方程失去了普遍性，故应避免应用这些修正函数。但是在更好的湍流模型问世之前，未了使得计算结果与实验数据较一致，还不得不借助这种修正函数。此外，还有针对不同特定情况下对湍流模型进行了特殊处理。
权重计算方法对于二阶湍流封闭模型而言，提出一些适当的方法来近似处理湍流二阶相关量的输运方程中的一些项，使之成为数学上封闭的方程组，这是其所要完成的任务。尽管二阶湍流模型
仍是近似，但它从一阶模型的基础上大大的向前迈进了一步。实际表明，二阶封闭模型在复杂湍流的应用中，其普遍性和精确性都优于一阶模型，并解决了很多为一阶模型所不能求解的湍流时均流动问题。
参考文献
[1] 陈懋章.粘性流体动力学基础.北京：高等教育出版社.2002
[2] 陈景仁等.湍流模型及有限分析法.上海上海交通大学出版社.1989
[3] 是勋刚.湍流.天津：天津大学出版社.1994
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