高等代数第一章多项式课外习题
一、 选择题
1．在里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
．零多项式 ．零次多项式 ．本原多项式 ．不可约多项式
2．设是的一个因式，则（ ）。
．1 ．2 ．3 ．4
3．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。
. 充分 . 充分必要 .必要 ．既不充分也不必要
.如果，那么
.如果，那么
.如果，那么，有
.如果，那么
（ ）
5、关于多项式的重因式，以下结论正确的是（ ）
A、若p(x) 是f’(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)的k+1重因式
B、若p(x)是f(x)的k重因式，则p(x) 是f(x)，f’(x)的公因式
C、若p(x)是f’(x)的因式，则p(x)是f(x)的重因式
D、若p(x)是f(x)的重因式，则p(x)是的单因式
6 、关于多项式的根，以下结论不正确的是 （ ）
A、α是f(x)的根的充分必要条件是x-α|f(x)
B、若f(x)没有有理根，则f(x)在有理数域上不可约 D、一个三次的实系数多项式必有实根
7 、关于不可约多项式p(x),以下结论不正确的是（ ）
A、若p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)
B、若q(x)也是不可约多项式，则（p(x),q(x)）=1或p(x)=cq(x) c≠0
C、p(x)是任何数域上的不可约多项式
8、设有重根，那么k=（ ）
A、1 B、-1 C、±2 D、0
9、设是整系数多项式，当t=( )时，f(x)在有理数域上可约。
A、1 B、0 C、-1 D、3或-5
10、令有理数域上的多项式,下面只有哪个数可能是它的根( )
(A) 2 （B） 3 （C） 5 （D） 7
二、 填空题
1．最小的数域是 。
2．一非空数集,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。
3．设，若，则= 。
4.求用除的商式为 ，余式为 。
5．设是两个不相等的常数，则多项式除以所得的余式为____
6.设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是 。
7. 若是的重根，则 ．
8. 已知为的一个根，那么的其余根是 ．
9.当满足 条件时，有重根.
10. 若，并且 ，则。
11. 多项式、互素的充要条件是存在多项式、使得 。 12. 设。，若，则
， 。
三、判断题
1.若整系数多项式在有理数域可约，则一定有有理根。（ ）
2.若、均为不可约多项式，且，则存在非零常数，使得
。（ ）
3.若无有理根，则在上不可约。（ ）
4.两个本原多项式的和仍是本原多项式。（ ）
5.对于整系数多项式，若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数，那么不可约。（ ） 6若，但不整除，则不整除． （ ）
7.设，但，则． （ ）
8.若是的导数的重根，则为的重根． （ ）
9 设，且，则． （ ）
10. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. （ ）
11. 多项式有重根当且仅当有重因式. （ ）
12. 设且，使得
，则为与的一个最大公因式．
四、计算与证明题
1、求用除的商式和余式。
2、求方程的所有有理根.
3、已知为的一个根，求的其余根。
4. 求多项式的最大公因式，并求，，使得。
5.若，求的值。
6．把表成的多项式。
7.若, 则,。
8.令都是数域上的多项式,其中且
,，证明:。
9. .若整数多项式有根，这里，则，
．
10.设，试证：
（1）；
（2）
11、设是一个整系数多项式,证明:如果有一个奇数和一个偶数使得都是奇数,那么没有整数根.
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