第一章 多项式
§1.1 多项式及其运算
证明 首先不只含有一个数. 任取中的两个数,. 则有,
并且，当时，即时，
所以是数域.
2.设满足, 证明. 这对于中的多项式是否成立？说明理由. 若，则有.此时为偶数，而
为奇数，矛盾. 所以. 同理，, 因此即.
对于中的多项式，结论不成立. 例如取.
§1.2 多项式的整除性
1. 证明. 其中.
证明 充分性. 若, 设. 则有
因此 .
必要性：设, 其中，分别是除所得的商和余数.
由充分性的证明知 , 则由可以得到
而，所以必有. 因此.
2.若, 则, 且.
证明 设, 为常数. , 为常数.
则有
.
而, 由可知
因此 . 于是 ,
§1.3 最大公因式
1. 设f, g是非零多项式, 证明f 和g不互素当且仅当有多项式使得
且
证明 必要性. 若f 和g 不互素，则 不为常数. 设, .则
此时取, 则有
且 .
充分性：证逆否命题. 假设f 和g互素. 若存在使得
且 .
则有 , 则, 而f 和g互素, 所以. 这与矛盾.所以不存在使得 且 . 充分性成立.
2. 设均为首1多项式，证明 .（其中表示的首1的最小公倍式.）
证明 只需证是的最小公倍式. 首先 ，, 所以是的一个公倍式. 设，则.任取的公倍式，则即 则. 因为, 所以 , 即. 所以是的最小公倍式.
3 设, 若, 则.
证明 证法1, 设, 则有多项式 使得 , 且. 若, 则, . 而由知 (利用本节第2题的结果). 从而 , 为常数. 因此 .
证法2，设, 则有多项式使得 . 两端同乘得到.而, , 所以 . 从而
§1.4 因式分解
1.设是次数大于0的多项式. 若对于任意多项式. 由可以推出或. 则是质式.
证明 反证法. 假设不是质式, 则有多项式使得
.且,.
由可推出 或者.与矛盾.所以是质式.
2.证明：多项式有相同的质因式当且仅当有自然数使得.
证明 必要性, 设有相同的质因式，且
,
则取 , 有.
充分性, 设的标准分解式为 均不为0)
由知可以表示为中可能有0). 而，即, 所以均不为0. 因此有相同的质因式
§1.5 重因式
1. 设是次多项式, . 证明,.
证明：充分性. 则 . 所以
.
必要性 设 . 因为, 所以 , 为的首项系数. 于是 为一次式, 设为 . 而与有相同的质因式, 所以是唯一的质因式. 因此
2. 设, 证明在任何数域上均无重因式.
证明：, 可见 . 设, 则有 . 从而 . 设 , . 若, 易知不整除. 所
以 , 从而 .因此与互质. 所以在任何数域上均无重因式.
§1.6 多项式的根
1. 设, 且对任意的有. 证明有使得.
证明 设 . 对所有的有 .即
则有
把等式左端看成关于的多项式，它在无穷多个点取值为0. 从而为零多项式. 因此.
于是 . 因此 . 取即可.
2. 设数, 证明多项式被除所得的余式为
.
证明 设 , 或. 为0多项式或者1次式. 所以可设 . 则有
（）
解得 , .
因此 被除所得的余式为
§1.7 有理数域上的多项式
1. 求多项式在有理数域上的标准分解.
解 先求的有理根. 设（互质）是的有理根. 则有. 因此 ，则有 . 代入验证得到-1是的有理根. 因此 . 于是， . 由Eisenstein判别法（取）可知 是有理数域上的质式. 因此就是在在有理数域上的标准分解为
.
2. 设是一个整系数多项式, 证明若均为奇数, 则没有整数根.
证明 用反证法. 若有整数根, 设为的一个整数根. 则有多项式使得 .
下面证明也是整系数多项式. 设, 为本原多项式, 为整数. , 为本原多项式, 为有理数.则有
.
，均为本原多项式，由Gauss引理可知 为本原多项式. 由引理7知. 因此是整系数多项式. 为奇数, 从而为奇数. 为奇数，从而为奇数.矛盾. 所以 无整数根.
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