2022双星三星四星问题
双星模型、三星模型、四星模型及天体自转问题
1．如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常量为G。 ⑴求两星球做圆周运动的周期。
⑵在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理 问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98某1024kg和7.35某1022kg求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
2．神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMC某3双星系统，它由可见星
A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示.引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
(1)可见星A所受暗星B的引力Fa可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′(用m1、m2表示). (2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7某105m/，运行周期T=4.7π某104，质量m1=6m，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？
（G=6.67某10-11N·m2/kg2，m=2.0某1030kg）
3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是
三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少
4．现在，天文学家发现了相互绕转的三颗恒星，可以将其称为三星系统．如图所示，假设三颗恒星质量相同，均为m，间距也相同，它们仅在彼此的引力作用下绕着三星系统的中心点O做匀速圆周运动，运转轨迹完全相同．它们自身的大小与它们之间的距离相比可以忽略．
（1）请你通过计算定量说明：三星系统的运转半径的三次方及运转周期的二次方的比值应为多少．(引力常量为G)（2）我们知道在一个恒星体系中，各个行星围绕着该恒星的r3
运转半径r及运转周期T之间一般存在以下关系：2＝K，K
T的值由位于中心的恒星的质量决定．假设将三星系统等效为任意一颗恒星绕中心O的暗星转动，试求这颗暗星的质量。
5．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为
；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个
，而第四颗星刚好位于
项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比
T1.T26．中子星是恒星演化过程的一种结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=
1。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因旋转而瓦30－11
解。计算时星体可视为均匀球体。（引力常量G=6.67某10
2
m3/kg·2）
双星模型、三星模型、四星模型及天体自转问题答案
1．(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为f，运行周期为T根据万有引力定律有
fGMm①2(Rr)由匀速圆周运动的规律得
2fmr②
T2fMR③
T由题意有
L=R+r④
联立①②③④式得
22L3⑤T2G(Mm)(2)在地月系统中．由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
L'3⑥T12G(M'm')式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
2M'm'Gm2TL'2L'’⑦2式中，T2为月球绕地心运动的周期。由⑦式得
L'3⑧T22GM'由⑥⑧式得
2T2m'1⑨TM'1代入题给数据得
T2m'1=1.012⑩TM'1
3
22．设A、B的圆轨道半径分别为其为
，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设
22。由牛顿运动定律，有FAm1r1，FBm2r2，FAFB
设A、B间距离为，则rr1r2由以上各式解得rm1m2r1m23m1m2mm由万有引力定律，有FAG122，代入得FAG22r(m1m2)r1令FAGm1mr12m2，通过比较得m
(m1m2)23m1m2v2（2）由牛顿第二定律，有Gm12r1r而可见星A的轨道半径r1将
vT23m2v3T代入上式解得(m1m2)22G3m2v3T（3）将m16m代入上式得22G(6mm2)m2代入数据得3.5m
(6mm2)2设m2nm(n0)，将其代入上式得
3m23nm3.5m
6(6mm2}(1)2nm23nm3.5m
6(6mm2}(1)2nm2可见，的值随的增大而增大，试令n2，得2(6mm2)
3n6(1)2nm0.125m3.4m
4
可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B的质量m必大于2m，由此可得出结论：暗星B有可能是黑洞。
3.(1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有
Gm2F1=2RGm2F2
(2R)2F1+F2=mv2/R运动星体的线速度v=
5GmR2R周期为T,则有T=
2πRvR3T=4π
5Gm(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为R′=
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