【信号与系统学习笔记】——连续时间⾮周期信号傅⾥叶变换的性质【下篇】 ⽂章⽬录
⼀、时域卷积定理
我们先给出定理：两个时域信号做卷积，就等价于它们的频谱做乘法。即：若：；那么这给我们计算⼀个系统的输出带来了极⼤的便利。我们可以先求出输⼊信号的频谱和系统的频率响应，两者⼀乘，最后做⼀下傅⾥叶逆变换就可以得出系统的输出（时域上的）。 【Proof】：我们下⾯证明⼀下，直接从定义出发：
到这⾥，博主有话要说了：因为我们现在的被积函数是 和 都是和 有关的表达式，因此我们不能简单粗暴地把它们拆开，⼀个是 的积分，另⼀个是 的积分。这样是错误的！！但是我们⼜注意到：只有 是和 有关的，那么我们确实可以先让 对 积分， 放在最后⾯去做。这⾥我们需要⽤到傅⾥叶变换的延时特性：若 ，那么 x (t ) X (jω);y (t ) Y (jω)F F x (t )∗y (t ) X (jω)Y (jω)
F Y (jω)=y (t )e dt ∫−∞+∞
−jωt =[x (τ)h (t −τ)dτ]e dt
∫−∞+∞∫−∞+∞
−jωt x (τ)h (t −τ)τt τh (t −τ)t h (t −τ)t dτY (jω)=[x (τ)h (t −τ)dτ]e dt ∫−∞∫−∞−jωt =[x (τ)h (t −τ)e dt ]dτ
∫−∞+∞∫−∞+∞
−jωt x (t ) X (jω)F x (t −t ) X (jω)e 0F −jωt 0
换成数学表达式就是：
所以上式就变为：
那么，问题来了：还记得我们在之前的 ⾥⾯说过的吗？任何⼀个系统都可以通过其单位冲激响应 来表征对吧，那么根据我们现在推导出的时域卷积定理：，那么按理说任何⼀个系统应该也可以⽤它的频率响应 来表征。但是，确实是这样吗？
我们知道， 是 的傅⾥叶变换，那么所以只有当 满⾜傅⾥叶变换的收敛条件其中之⼀：
那么，这个系统才会存在频率响应，也就是说，不是所有的系统都能够求出它的频率响应。那么也就
不能说：任何系统都可以⽤它的频率响应 来表征。但是在本⽂后⾯的部分将会给出 和 （存在的情况）的计算⽅法。
⼆、频域卷积定理（时域相乘）
我们先给出定理：若 的傅⾥叶变换分别为：，那么有：
我们知道如果要计算系统的输出，我们可以通过时域卷积的⽅法计算得到。那么，什么场合下我们会⽤到时域信号相乘呢？答案就是——正弦幅度调制（当然不仅仅是这种，未来的 调制等等也都会⽤得上）
我们来看看正弦幅度调制的框图：
h (t −∫−∞+∞
τ)e dt =−jωt H (jω)e −jωτ
Y (jω)=[x (τ)h (t −τ)e dt ]dτ∫−∞∫−∞−jωt =x (τ)e H (jω)dτ∫−∞+∞
−jωτ=H (jω)x (τ)e dτ
∫−∞+∞
−jωτ=H (jω)X (jω)
Blog h (t )Y (jω)=H (jω)X (jω)H (jω)H (jω)h (t )h (t )∣h (t )∣dt <∫−∞+∞
2∞
∣h (t )∣dt <∫−∞+∞∞
H (jω)h (t )H (jω)x (t ),x (t )12X (jω),X (jω)12x (t )⋅1x (t ) X (jω)∗2F 2π11X (jω)
2IQ
其中， 是我们的时域信号，，那么得到的 就是 下⾯，我们就从频域的⾓度去分析正弦幅度调制：
【1】第⼀步：计算 ， 的频谱。
对于 的频谱我们应该是很熟悉了，即
，如下图所⽰：
我们再假设信号
的频谱如下图所⽰：
根据：，我们可以知道两个信号相乘之后的频谱如下图所⽰：这⾥我们得出了⼀个结论：信号 在时域上与 相乘，相当于在频谱上把 的频谱⼀分为⼆之后，分别向左右各搬移 ！（频谱搬移）
好的，到这⾥，我们已经了解了正弦幅度调制的细节。可以既然有调制，那么在接收端就必然需要解调。我们如何把这个调制的信号解调出来呢？？
我们看到，最左边的箭头的输⼊，就是我们刚刚那个调制的信号，在解调端，我们需要再给这个信号乘以原载波 ，然后经过⼀个低通滤波器（通带增益为2），就可以换原原本的信号了！
s (t )p (t )=cos (ωt )0r (t )s (t )⋅p (t )
p (t )s (t )cos (ωt )0P (jω)=πδ(ω+ω)+0πδ(ω−ω)0s (t )x (t )⋅1x (t ) X (jω)∗2F 2π1
1X (jω)2s (t )cos (ωt )0s (t )ω0cos (ωt )0
我们也是从频谱的⾓度来直观地看⼀下这个过程：
下图是输⼊信号
的频谱：
下图是 的频谱，
需要再和载波进⾏相乘：
那么，⼆者相乘得到信号的频谱就是：
此时注意：中间频谱的幅度是
那么，经过⼀个通带增益为2的低通滤波器，就可以恢复原信号的频谱了！（下图为该低通滤波器的频响）三、计算系统冲激响应 h(t) 的⽅法
r (t )p (t )r (t )2
1
我们常常使⽤线性常系数微分⽅程来表征⼀个系统，如下：
这时，我们可以直接对⽅程两边做傅⾥叶变换，根据傅⾥叶变换的微分性可以得出：
同时，⼜根据：，所以我们可以得到系统的频率响应为：
【我们举⼀个例⼦来感受这种⽅法的简便性，同时也给⼤家介绍⼀种解题技法】：
求以下⾯这个微分⽅程表征的系统的
：
两边做傅⾥叶变换，得：
因此，系统得频率响应可以表⽰为：
我们乍⼀看这个表达式看不能⽴刻得出结论，还需要使⽤下⾯这个技巧来分解⼀下：
下⾯就需要计算 。下⾯是固定套路：
1. 要求 ，我们就对上⾯的等式两边同乘 ，再令 ，就可以把 解出来。
2. 要求 ，我们就对上⾯的等式两边同乘以 ，再令 ，就可以把 解出来。即：a (jω)Y (jω)=k =0∑N
k k b (jω)X (jω)
k =0∑N k k X (jω)H (jω)=Y (jω)H (jω)==X (jω)Y (jω)a (jω)∑k =0N k k b (jω)∑k =0N
k k h (t )(jω)Y (jω)+26(jω)Y (jω)+8Y (jω)=(jω)X (jω)+3X (jω)
((jω)+26(jω)+8)Y (jω)=((jω)+3)X (jω)
H (jω)==X (jω)Y (jω)=(jω)+6(jω)+82(jω)+3(jω+2)(jω+4)
jω+3
H (jω)=+jω+2A 1=jω+4A 2
(jω+2)(jω+4)
jω+3A ,A 12A 1jω+2jω+2=0A 1A =12
1
A 2jω+4jω+4=0A 2A =221H (jω)=+21jω+2121jω+41
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