带电球体电场与电势的分布
王峰
（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006）
在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -ϕ”的关系曲线图，供大家参考。 本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．
中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。
1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。 1.1电场分布：
1.1.1内部（r <R ）：如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点P 处，均有通过直径相似对称的两个带电球冠面1S 和2S ，当两条线夹角θ很小时，1S 和2S 可以近似看作两个带电圆面，且1S 和2S 两个面的尺寸相对它们距离P 点距离很小，这样1S 和2S 两个带电面就可以近似处理为点电荷，它们在P 点各自产生电场强度P E 1与P E 2，计算如下所示：设球体带电总量为Q ，且均匀分别在导体球外表面上
∵
2
22
121214sin )sin (4R
Q K
r r R Q
K
E P θθππ=•= 2
222
2
2224sin )sin (4R
Q K
r r R Q
K
E P θθππ=•=
且P E 1与P E 2等大反向
∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳）
内部的电场强度处处为零。
1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场dE 进行叠加，求出P 点的合场强P E 。由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的电场强度P E 的方向最终应该沿OP 连线的方向。
上述求电场强度P E 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds 和'ds 所在球面上的带电圆环进行π20→的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的π→0的积分，最终求出带电球体在P 点的合场强P E 。积分过程如下：如图（2）所示，设x AP r OP R OA ===，，，球表面电荷的面密度为
2
4R
Q πσ=
θ
ϕ
ds
ds ˊ
dE
dE ˊ
dE+dE ˊ
O
P R
r
图
A
∵
θ
σcos 2
x
ds
K
E P =∆
取球面极坐标，则ψϕϕd R Rd ds sin •=，其中ϕ为沿直径方向的从π→0积分角，ψ为带电圆环的从
π
20→的还积分。
θ
ψ
ϕϕσππcos sin 200
2
2⎰⎰=
⎰⎰∆=x
d d R K
E E p P
由OAP ∆可知：ϕ
cos 222rR R r x -+=
又∵ϕ
ϕϕθcos 2cos cos cos 22rR R r R r x R r -+-=
-=
⎰
-+--=⎰⎰
-+-=∴π
π
πϕϕϕσπϕϕϕϕψσ0
2
3
222200
2
3
222)cos 2()cos ()cos (2)cos 2(sin )cos (rR R r d R r R K rR R r d R r R d K E P
又
∵
r
rR R r R r r rR r R r 2cos 22cos 22cos 22222ϕ
ϕϕ-++-=
-=-
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