理论力学三大类问题的基本求解方法

理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法

2009-12

1 求解静⼒平衡问题的基本⽅法（平⾯问题为重点）

（1）选取研究对象，进⾏受⼒分析，并画受⼒图。

⼀般针对所求，先对整体进⾏初步的受⼒分析，若所求未知量⼩于或等于独⽴平衡⽅程的个数，则只研究整体即可；反之，若所求未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程的个数，则必须取分离体进⾏受⼒分析。可以采取整体＋分离体的解决⽅案，也可采取分离体＋分离体的解决⽅案；另外，若所求的未知量有系统内⼒，也必须取分离体研究，以暴露出所要求的内⼒；画受⼒图注意将各⼒画在原始的作⽤点处，分布⼒原样画出，待列⽅程计算时，再作简化处理。再有，注意⼆⼒杆的判别，及摩擦⼒⽅向的判定。

（2）列平衡⽅程求解。

⾸先根据受⼒图，判断是何种⼒系的平衡问题。再针对所求⽤尽可能少的平衡⽅程得出所求。

（3）结果校核——利⽤多余的平衡⽅程校核所得的结果。对⽤符号表⽰的结果，可采⽤量纲分析的⽅法进⾏校核。

2 求解运动学问题的基本⽅法（以平⾯运动为重点）

⾸先正确判断问题类型，尤其注意正确区分点的合成运动问题与刚体平⾯运动问题。判断的依据是，点的合成运动的问题中，运动机构的不同构件之间有相对滑动。⽽刚体平⾯运动理论⽤来分析同⼀平⾯运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的关系。此时，运动机构的不同构件之间有相对转动，却⽆相对滑动。另外，注意点的合成运动与刚体平⾯运动的综合问题。

2．1 点的运动学问题——注意在⼀般位置建⽴点的运动⽅程；

2．2 点的合成运动问题

（1）⾸先是机构中各构件的运动分析；

（2）再针对所求，正确选择动点、动系和定系。注意动点相对于动系和定系都要有相对运动，即动点、动系、定系要分属于不同的构件。同时，尽可能使动点的相对轨迹清楚易判断；求解加速度时，尽量将动系固连在平动的物体上，避免求科⽒加速度；

（3）分析三种运动及其相应的三种速度和加速度，正确画出速度⽮量图或加速度⽮量图。注意速度合成的平⾏四边形关系；

（4）利⽤速度或加速度合成定理进⾏求解。注意速度和加速度是⽮量，除计算⼤⼩外，还要标明⽅向。⽽平⾯问题中，⾓速度和⾓加速度是标量，除⼤⼩外，还需注明转向。另外，进⾏加速度合成时，当点的运动轨迹是已知曲线时，⼀般将加速度沿切线和法线⽅向分解；⽽当点的运动轨迹是未知曲线时，亦可将加速度沿x和y轴⽅向分解；

2．3 刚体平⾯运动问题

（1）⾸先是机构中各构件的运动分析（平动、转动或平⾯运动）；

（2）选定速度或加速度⼤⼩及⽅向已知的点为基点，应⽤基点法画出速度或加速度合成⽮量图；求解平⾯运动的速度问题，亦可采⽤速度投影定理或速度瞬⼼法；注意速度合成的平⾏四边形关系；

（3）应⽤基点法公式或速度投影定理或速度瞬⼼法进⾏求解。注意速度和加速度是⽮量，除计算⼤⼩外，还要标明⽅向。⽽平⾯问题中，⾓速度和⾓加速度是标量，除⼤⼩外，还需注明注明转向。另外，进⾏加速度合成时，当点的运动轨迹是已知曲线时，⼀般将加速度沿切线和法线⽅向分解；⽽当点的运动轨迹是未知曲线时，亦可将加速度沿x和y轴⽅向分解；

2．4 点的合成运动与刚体平⾯运动综合题

将2.2与2.3综合应⽤。

3动⼒学普遍定理及其综合应⽤

动⼒学普遍定理包括——动能定理、动量定理、动量矩定理，及质点系动量守恒定律、质⼼运动定理、质⼼运动守恒定理、刚体绕定轴转动微分⽅程、质点系动量矩守恒定律、刚体平⾯运动微分⽅程等。

动⼒学普遍定理的综合应⽤

（1）质点动⼒学普遍定理表⽰了整个质点系运动特征的量（如动能、动量、动量矩等）与⼒系对质点系作⽤效果的量（如⼒

系的功、主⽮、主矩等）之间的关系。这些关系表述为动⼒学普遍定理——动能定理、动量定理、动量矩定理等；由于各定理都有本⾝的特点，有关物理量都有鲜明的物理意义，故在应⽤其求解动⼒学问题时，⾸先要根据问题的已知条件和待求量恰当地选择定理。（2）已知主动⼒求质点系的运动。对于理想约束，选⽤动能定理为宜。若约束反⼒与转轴平⾏或相交，也可⽤动量矩定理。若未知约束反⼒与某轴垂直，也可⽤动量定理或质⼼运动定理在该轴上的投影式。对于转动问题宜⽤动量矩定理，

对于移动问题宜⽤动量定理或质⼼运动定理。另外，还需充分利⽤守恒条件（动量守恒、质⼼运动守恒、动量矩守恒）直接建⽴运动元素之间的关系，求得速度和运动规律；

（3）已知质点的运动求未知⼒。通常可选⽤质⼼运动定理、动量矩定理和刚体平⾯运动微分⽅程。对于做功的未知⼒，亦可选⽤动能定理求解；

（4）动量定理、动量矩定理为⽮量形式，须注意各⽮量的⼤⼩和⽅向，在应⽤投影式进⾏计算时，还要注意各⽮量投影的正负。⽽动能定理为标量式，计算简便，但⽆法由动能定理判断有关运动量⽅向的问题，也⽆法求不做功的⼒。应⽤这些定理时，⽅程中的位移、速度（⾓速度）、加速度（⾓加速度）均为绝对位移、速度、加速度；

（5）在较复杂的动⼒学问题中，如同时需要求运动和⼒，或求多⾃由度系统的运动，可综合应⽤上述动⼒学普遍定理，或动⼒学普遍定理＋动静法。同时注意充分利⽤问题中的附加条件，如运动学关系、库仑摩擦定律等补充⽅程。

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