第七章 机械振动
刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系 刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律
刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理
掌握刚体的概念和刚体的基本运动
理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量
掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法 了解进动现象和基本描述
§6.1 刚体和自由度的概念
一. 力矩
力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体
运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因.
将 分解为垂直于 z 轴和平行于 z 轴的两个力 及 ,如右图.由于 不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义 对转轴 z 的力矩为零.这样,任意力 对 z 轴的力矩就等于力对 z 轴的力矩,即
力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零.
讨论:
(1)力对点的力矩.
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
力矩的方向由右螺旋法则确定.
(3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.
例 : 已知棒长 L,质量 M,在摩擦系数为 μ 的桌面转动(如图) 求摩擦力对 y 轴的力矩.
解 : 以杆的端点 O 为坐标原点,取 Oxy 坐标系,如
图在坐标为 x 处取线元 dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为
则该线元的摩擦力对 y轴的力矩为
积分得摩擦力对 y轴的力矩为
注 : 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如
二. 刚体对定轴的转动定律
实验证明 : 当力矩 M 为零时,则刚体保持静止或匀速转动,当存在 M 时,角加速度 β 与M 成正比,而与转动惯量 J 成反比,即.也可写成
国际单位中 k=1.
若设作用在刚体上的外力对 z 轴的力矩总和为合外力矩 ,刚体对 z 轴的转动惯量为J, 则有
上式表明,刚体绕定轴转动时,刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积,等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩的代数和.该式称为刚体绕定轴转动微分方程,也称转动定律.
讨论 :
(1) M 正比于 β ,力矩越大,刚体的 β 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
(3) 与牛顿定律比较,
转动定律的理论证明:
如右图,在刚体上任取一质量元,作用在质量元上的力可以分为两类:表示来自刚体意外一切力的合力(称外力),表示来自刚体内各质点对该质量元作用力的合理(称内力).刚体绕定轴 Z 转动过程中,质量元以为半径作圆周运动,按牛顿第二定律,有
将此矢量方程两边都投影到质量元的圆轨迹切线方向上,则有
再将此式两边乘以,则得对固定轴的力矩
对所有质量元求和,则得
等式右边第一项为合外力矩;第二项为所有内力对 z 轴的力矩总和,由于内力总是成对出现,
而且每对内力大小相等、方向相反,且在一条作用线上,因此内力对 z 轴的力矩的和恒等于零.
又.则有
即证.
三. 转动惯量
刚体对某 Z 轴的转动惯量,等于刚体上各质点的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积之和,即
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