量化投资相关数学知识整理
简介
量化相关知识整理量化投资术语
基本⾯
基本⾯是指对宏观经济、⾏业和公司基本情况的分析，包括公司经营理念策略、公司报表等的分析。它包括宏观经济运⾏态势和上市公司基本情况。
多因⼦模型
因⼦是影响因素的简称，或简单理解成指标。我们都知道股票收益受到多重因素的影响，⽐如宏观、⾏业、流动性、公司基本⾯、交易情绪等等。所谓“多因⼦模型”，说⽩了就是寻那些对股票收益率最相关的影响因素，使⽤这些因素（因⼦或指标）来刻画股票收益并进⾏选股。 CTA 基⾦
是使⽤期货来实现投资⽬标的对冲基⾦
Generally, a CTA fund is a hedge fund that uses futures contracts to achieve its investment objective. CTA funds use a variety of trading strategies to meet their investment objectives, including systematic trading and trend following.However, good fund managers actively manage investments, using discretionary strategies, such as fundamental analysis, in conjunction with the systematic trading and trend following.
:alpha、beta、R-Squared、Standard Deviation、Sharpe Ratio
阿尔法系数(叫 alpha 或 jenson’s measure)
: 投资组合的收益率
: ⽆风险资产的收益率
：贝塔系数，衡量系统性风险
：市场（基准）的平均收益率
⽤来衡量投资的⾮系统性风险
α系数是⼀投资或基⾦的绝对回报(Absolute Return) 和按照 β 系数计算的预期风险回报之间的差额。 绝对回报(Absolute Return)或额外回报(Excess Return)是基⾦/投资的实际回报减去⽆风险投资收益（⼀般采取同期国债利率）。绝对回报是⽤来测量⼀投资者或基⾦经理的投资技术。 预期回报(Expected Return)贝塔系数 β 和市场回报的乘积，反映投资或基⾦由于市场整体变动⽽获得的回报 α>0，表⽰⼀基⾦或股票的价格可能被低估，建议买⼊。亦即表⽰该基⾦或股票以投资技术获得⽐平均预期回报⼤的实际回报。α<0，表⽰⼀基⾦或股票的价格可能被⾼估，建议卖空。亦即表⽰该基⾦或股票以投资技术获得⽐平均预期回报⼩的实际回报。α=0，表⽰⼀基⾦或股票的价格准确反映其内在价值，未被⾼估也未被低估。亦即表⽰该基⾦或股票以投资技术获得平均与预期回报相等的实际回报。
贝塔系数
dif
衡量
β系数也称为贝塔系数（Beta coefficient），是⼀种风险指数，⽤来衡量个别股票或股票基⾦相对于整个股市的价格波动情况。α=(R −i r )−f β⋅[E (R )−m r ]
f R i r f βE (R )m
如果 =1，则市场上涨10%，股票上涨 10%；
市场下滑10%，股票相应下滑 10 %。
谓语城如果 β=1.1，市场上涨10%时，股票上涨 11%；市场下滑10 %时，股票下滑 11% 。如果 β=0.9，市场上涨10%时，股票上涨 9%；市场下滑10%时，股票下滑 9% 。
阿尔法策略（选股）
多变量变送器
阿尔法策略，是⼀种主动型投资策略，主要依靠精选⾏业和个股来超越⼤盘。⽽阿尔法策略追求的就是阿尔法收益，指投资收益中超出市场收益的部分。激进投资者适合阿尔法策略，尤其在市场上涨阶段会有优势。
贝塔策略（择时）
贝塔策略，是⼀种被动型投资策略，主要依靠把握市场⼤势来获得超越⼤盘的收益。贝塔策略追求的是市场收益，也就是贝塔收益。稳健的投资者适合贝塔策略。
由Jegadeesh和Titman（1993）提出，他们认为：股票的收益率有延续原来的运动⽅向的趋势，即过去⼀段时间收益率较⾼的股票，在未来依旧会取得⾼于平均的收益率。整个解释中最核⼼的词汇是“延续”，“延续”的左边是过去的历史⾏情，右边是未来的未知⾏情，由此分析得出：动量效应是研究过去的历史⾏情，并预测过去的⾏情能延续。
市场中性策略：
最⼤回撤期
最⼤回撤持续期描述的是持有价值从回撤开始到再创新⾼所经历的时间，如果说最⼤回撤是在资产空间维度上描述资产的波动风险，那么最⼤回撤持续期则是在资产的时间维度上给出⼀个风险描述。直观地说就是资产创新⾼的频率是怎样的。
半衰期
假如半衰期为h，那么经过h天后，数据的权重变成了初始的⼀半。半衰期和EMA中的权重的关系
共振
量价齐升⾦融（数学）知识
连续复利
假设年利率为r，初始资产为A
那么⼀年连续复利后资产为
βA ⋅m →+∞lim
(1+)=m r
m A ⋅e r
夏普⽐率与索提诺⽐率
解释链接
夏普⽐率：投资组合每承受⼀单位总风险，能够产⽣多少的超额报酬
索提诺⽐率：衡量投资组合每承担⼀单位下⾏风险（低于⽆风险收益率的风险），可获得的超额收益概率论
全概率公式
假如有⼀些互斥事件那么事件A发⽣的概率为
贝叶斯公式条件概率：样本均值、总体均值、样本⽅差、总体⽅差
样本均值： 总体均值： 样本⽅差： 总体⽅差：协⽅差
协⽅差（Covariance）衡量两个变量的总体误差。
⽅差是协⽅差的⼀种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。
随机变量X和Y的协⽅差为
机床罩壳当 cov(X, Y)>0时，表明X与Y正相关；
当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关；
当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关（相互独⽴）。
中国农民调查 pdf相关系数：
通往大国之路协⽅差矩阵：
B ,B ,..,B 12k
P (A )=P (AB )+1P (AB )+2...+P (AB )=k P (B )∗1P (A ∣B )+1...+P (B )∗k P (A ∣B )
k P (A ∣B )=P (B )
P (AB )
X
ˉμ
S =2(x −n −11∑i =1n
i )X
ˉ2σ2Cov (X ,Y )=E ((X −E (X )(Y −E (Y ))
ρ=xy r (X ,Y )=var (X )var (Y )
Cov (X ,Y )
置信区间
概率质量函数(probability mass function，简称PMF)：是离散随机变量X在各特定取值上的概率P(x)，其总和为1。与概率密度函数f(x)不同，概率质量函数是对离散随机变量定义的，本⾝就代表该值的概率；⽽概率密度函数是对连续随机变量定义的，本⾝不是概率，它在某区间内的积分才是概率。
累积分布函数(cumulative distribution function, 简称CDF)：定义为F(x)=P(X≤x)，是单调递增的，且满⾜：F(－∞)=0和F(+∞)=1。对离散分布⽽⾔，它是所有⼩于等于x的值出现的概率之和。⼀种基于贝叶斯定理的分类⽅法
衡量回归直线对观测值的拟合程度
越接近1，那么拟合程度越好
C =
⎝⎛cov (x ,x )cov (y ,x )cov (z ,x )cov (x ,y )cov (y ,y )cov (z ,y )cov (x ,z )cov (y ,z )cov (z ,z )⎠⎞R 2
-Spearman、Pearson、Kendall Rank
p-value：在原假设为真的前提下，出现该样本或⽐该样本更极端的结果的概率之和。
数学分析
两个重要极限
线性代数
=
x→+∞
lim
x
sinx
1
(1+
x→+∞
lim
)=
x
1
x e
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