第四节角分垂等腰归

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第四节角分垂等腰归

解题方法技巧

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线所在直线又成为底边上的中线和高所在直线，可以利用等腰三角形“三线合一”的性质（若题目条件中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段止于角的另一边）证题. 另外，利用所作的垂直还能构造一对全等的直角三角形.

图1-4-1

如图1-4-1，∠1＝∠2，DE⊥OE于E，若延长DE交OB于F，则△OED ≌△OEF，有DE＝EF＝DF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD等结论.

例1 如图1-4-2，已知△ABC中CD平分∠ACB，AD⊥CD，DE∥BC交AB于E. 求证：EA＝EB.

图1-4-2

【条件分析】由条件CD平分∠ACB，AD⊥CD，想到∠1＝∠2，∠ADC＝90°，可考虑延长AD交BC于点F，构造两个全等的直角三角形求解. 由DE∥BC想到利用平行线分线段成比例定理证题.

【思路建立】欲证EA＝EB，由DE∥BC想到只需证出点D是某条线段的中点即可. 于是延长AD交BC于点F，由已知条件CD平分∠ACB，AD⊥CD，易得△ADC ≌△FDC，得出AD＝DF，利用平行线分线段成比例定理得解.

【证明】如图1-4-2，延长AD交BC于点F.

∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2.

又AD⊥CD，CD ＝ CD，∴△ADC ≌△FDC，∴AD ＝ FD.

又∵DE∥BC，∴，∴EA＝EB.

思考：如果将条件DE∥BC换成EA＝EB，证题结论换成DE∥BC，应怎样证明？

提示：作出如例1同样的辅助线，证出点D是AF的中点，根据三角形中位线定理得证.

方法技巧

当遇到与角平分线垂直的线段时，一定要把这条线段延长后与角的另一条边相交，构造等腰三角形和两个全等的直角三角形.

发散思维

1. 如图1-4-3，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BE＝AE. 求证：DE∥AC.	foreignization图1-4-3
2. 已知：在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE. 求DE的长.

例2 已知：如图1-4-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD ＝ AB，CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：AM ＝(AB＋AC) .

图1-4-4

【条件分析】由AD平分∠BAC，CM⊥AD，想到∠BAD ＝∠CAD，∠AMC＝90°，可考虑通过补形法构造等腰三角形求解. 由AD ＝ AB可得∠ABC ＝∠ADB.

【思路建立】由于已知条件中出现了与角平分线AD所在直线垂直的线段CM，所以可据此构造等腰三角形解决问题. 具体思路有：

（1）作△ABD关于直线AD对称的△AED（如图1-4-5），证明DM ＝EC后使用等量代换可得结论；

（2）将要证明的结论转化为2AM ＝ AB＋AC，作出△ACM关于直线CM对称的△FCM后证明DF＝CF（如图1-4-6）；

（3）作△ACM关于直线AD对称的△ANM（如图1-4-7），证明BP 三二三事变四川大学＝BN后使用等量代换可得结论.

【证法1】如图1-4-5，作△ABD关于直线AD对称的△AED，则AE＝AB＝AD，∠B＝∠ADB＝∠ADE＝∠AED. 取DC中点N，连接MN并延长交AC于F. 在Rt△DMC中，DN＝MN＝CN，所以∠NMD＝∠NDM＝∠ADB＝∠ADE，所以MF∥DE，所以AM＝AF，所以DM＝EF＝FC＝EC. 故AM ＝ AD＋DM ＝(AB＋AE) ＋EC ＝(AB＋AC).	图1-4-5
【证法2】如图1-4-6，作△ACM关于直线CM对称的△FCM. 因为△FCM ≌△ACM，所以∠F＝∠CAM，FC＝AC，AF＝2AM. 而∠B ＝∠FCD，又∠B ＝∠ADB ＝∠刘伯明FDC，即∠FCD ＝∠FDC，所以FC＝FD. 故2AM＝AF＝AD＋DF＝AB＋CF＝AB＋AC. 所以AM ＝(AB＋AC) .	图1-4-6
【证法3】如图1-4-7，延长CM交AB延长线于点N，作MP∥BC交BN于点P. 因为自制有源音箱CM⊥AD，∠1＝∠2，所以AN＝AC，NM＝CM. 又因为MP∥BC，AB ＝ AD，所以BP＝PN＝BN，∠5＝∠3＝∠4＝∠6. 所以AP ＝ AM，所以(AB＋AC) ＝(AB＋AN) ＝(AB＋AP＋PN) ＝ (AB＋AP＋BP) ＝(AB＋BP＋AP) ＝×2 AP ＝ AP ＝ AM，即AM ＝(AB＋AC) .	图1-4-7

规律总结

但三角形中存在与角平分线垂直的线段时，首先考虑到用垂直关系（延长与角平分线垂直的线段），构造出全等的直角三角形，进而得出线段或角的相等关系，以便进行等线段或等角的转化.

名师点拨

证法1应用了翻折法构造等腰三角形；证法2也是应用了翻折法，构造出2AM，只需证明2AM ＝ AB＋AC即可；证法3通过补形法构造等腰三角形.

发散思维

3. 已知：如图1-4-8，∠BAD ＝∠CAD，AB＞AC，CD⊥AD于点D，H是BC的中点. 求证：DH ＝(AB-AC) .	图1-4-8

附：发散思维答案与解析

1. 条件分析：已知条件中有AD平分∠BAC，BD济南的冬天笔记⊥AD，可延长BD与AC的延长线相交. 构造两个全等的直角三角形，由BE＝AE可得到点E为AB的中点.

思路建立：欲证DE∥AC，由BE＝AE想到构造三角形中位线证明结论，所以延长BD交AC的延长线于点F，只需证明点D是BF的中点即可.

证明：如图1-4-9，延长BD交AB的延长线于点F， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠FAD. ∵∠ADB ＝∠ADF ＝90°，AD＝AD，∴△ABD ≌△AFD，∴BD＝DF. ∵BE＝AE， ∴DE∥AC.	图1-4-9

2. 条件分析：由条件AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE于点E，可延长CE与AB相交，构造两个全等的直角三角形.

思路建立：欲求DE的长，又知点D为BC的中点，可联想证DE为某三角形的中位线即可，由已知AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE，可通过延长CE交AB于F，通过证明△ACE ≌△AFE得出E是CF的中点，AF＝AC＝3，进而求得BF的长，于是可求出DE的长.

解：延长CE交AB于F，如图1-4-10， ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE ＝∠FAE. 又∠AEC ＝∠AEF ＝90°，AE＝AE，∴△AEC ≌△AEF， ∴CE＝EF，AF＝AC＝3. 又∵D为BC的中点，∴DE为△CBF的中位线. ∴DE＝BF. 又∵BF＝AB-AF＝5-3＝2，∴DE ＝×2＝1.	图1-4-10

3. 条件分析：由∠BAD ＝∠CAD，CD⊥AD，可想到通过延长CD与AB相交，构造两个全等的直角三角形，由点H是BC的中点想到利用三角形中位线定理求解.

思路建立：欲证DH ＝(AB-AC)可考虑证明DH为某三角形的中位线，利用中位线定理和相关线段的转化进行求证. 已知∠BAD ＝∠CAD，CD⊥AD，故延长CD交AB于点E，可证得△AED ≌△ACD，则AE＝AC，ED＝CD，可得DH是△CBE的中位线. 又BE＝AB-AE＝AB-AC，即可得证.

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证明：如图1-4-11，延长CD交AB于点E. ∵∠BAD ＝∠CAD，CD⊥AD，AD＝AD，∴△ADE ≌△ADC， ∴AE＝AC，ED＝CD. ∵H是BC的中点， ∴DE＝BE＝(AB-AE)＝ (AB-AC).	图1-4-11