第３１卷第５期
中国机械工程
V o l ．３１㊀N o ．５２０２０年３月
C H I N A M E C HA N I C A LE N G I N E E R I N G
p p
雷鹏福㊀戴㊀宁㊀汪志鹏㊀陈㊀为㊀黄仁凯
南京航空航天大学机电学院，南京,２１００１６
摘要：针对多孔结构功能一体化材料设计困难的问题，提出了一种由复合函数驱动的大规模微结构自动化建模技术.通过函数驱动生成三组平行于三轴方向的微结构基本单元，并借助集合论定义的交㊁并集操作对其进行组合，通过对生成的规则微结构进行仿射㊁弯曲算子操作，能使其获得一定的复杂曲面适形效果.对胞元节点处形成的自然圆角过渡进行了分析，相对于直接过渡㊁球体过渡这两种节点处 理方式，自然圆角过渡的胞元力学性能分别提高了４３．６％和２７．９％.将３个变阶数圆形截面微结构填充于旋翼截面模型内部，通过计算３个变阶数旋翼模型在指定的１０个采样点处的刚度值以得到模型的节点刚度曲线，研究结果表明：通过调控微结构的分布阶数可以改变模型的刚度分布 .
关键词：结构功能一体化；多孔微结构；建模技术；自然圆角过渡；刚度分布中图分类号:T B ３８３
D O I :１０．３９６９/j ．i s s n ．１００４ １３２X．２０２０．０５．００７开放科学(资源服务)标识码(O S I D )
:R e s e a r c ho nC o n t r o l l a b l eP a r a m e t e rM o d e l i n g T e c h n o l o g y o
f F u n c t i o n a lM i c r o s t r u c t u r e s
L E IP e n g f u ㊀D A IN i n g ㊀WA N GZ h i p e n g
㊀C H E N W e i ㊀HU A N G R e n k a i C o l l e g e o fM e c h a n i c a l a n dE l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g ,N a n j i n g U n i v e r s i t y o fA e r o n a u t i c s a n dA s t r o n a u t i c s ,N a n j i n g
,２１００１６A b s t r a c t :A i m i n g a t t h e p r o b l e m s o f d i f f i c u l t y i n p o r o u s s t r u c t u r a l Ｇf u n c t i o n a l i n t e g
r a t i o nm a t e r i a l d e s i g n ,a l a r g e Ｇs c a l em i c r o s t r u c t u r e a u t o m a t i cm o d e l i n g t e c h n o l o g y d r i v e nb y c o m p
o s i t e f u n c t i o n sw a s p r o p o s e d ．T h r e e g r o u p
s o fm i c r o s t r u c t u r e b a s i c u n i t s p a r a l l e l t o t h e t h r e e Ｇa x i s d i r e c t i o n sw e r e g e n e r a Ｇt e db y f u n c t i o n Ｇd r i v e n ,w h i c hw e r e c o m b i n e d b y i n t e r s e c t i o n a n d u n i o n o p e r a t i o n s d e f i n e db y s e t t h e o Ｇr y ．B yp e r f o r m i n g a f f i n e a n db e n d i n g o p e r a t o r o p e r a t i o n s o n t h e g e n e r a t e d r e g
u l a rm i c r o s t r u c t u r e s ,a c e r t a i n c o n f o r m a l e f f e c t i v e n e s so f c o m p l e xs u r f a c e s m i g
h tb eo b t a i n e d ．T h en a t u r a l f i l l e t t r a n s i t i o n f o r m e da tc e l ln o d e s w a sa n a l y z e d ,c o m p a r e d w i t h t h et w o n o d e p r o c e s s i n g m e t h o d s o fd i r e c t t r a n s i t i o n a n d s p h e r e t r a n s i t i o n ,t h em e c h a n i c s p r o p e r t i e s o f t h e c e l l s b y n
a t u r a l f i l l e t t r a n s i t i o n a r e i n Ｇc r e a s e d
b y ４３．６％a n d ２７．９％,r e s p e
c t i v e l y ．T h ec i r c u l a rc r o s s Ｇs e c t i o n m i c r o s t r u c t u r e s o ft h r e e
d i f f
e r e n t o r d e r sw e r e
f i l l e d i n t ot h e r o t o r s e c t i o n m o d e l ,a n dt h en o d es t i f f n e s sc u r v e so f t h e m o d e l w e r e o b t a i n e db y c a l c u l a t i n
g t
h e s t
i f f n e s s v a l u e s o f t h e t h r e e v a r i a b l e Ｇo r d e r r o t o rm o d e l s a t t h e s p e c i Ｇf i e d t e n s a m p l i n g p o i n t s ．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h e s t i f f n e s s d i s t r i b u t i o no f t h em o d e lm a y b e c h a n g e d b y a d
j u s t i n g t
h e d i s t r i b u t i o no r d e r s o f t h em i c r o s t r u c t u r e s ．K e y w
o r d s :s t r u c t u r a l Ｇf u n c t i o n a li n t e g r a t i o n ;p o r o u s m i c r o s t r u c t u r e ;m o d e l i n g t e c h n o l o g y ;n a t u r a l f i l l e t t r a n s i t i o n ;s t i f f n e s s d i s t r i b u t i o n
收稿日期:２０１８０７２５㊀㊀修回日期:２０１９１２１３
基金项目：国家自然科学基金资助项目(５１７７５２７３); 十三五 国防装备预研项目(６１４０９２３０３０５,６１４１B ０７０９０１１９)；江苏省重点研发计划资助项目(B E ２０１８０１０Ｇ２)；国防基础科研基础研究与前沿技术计划资助项目(J C K Y ２０１８６０５C ０１０
)０㊀引言
多孔结构功能一体化材料是指除了具有基本
的力学性能外，在轻质㊁调频㊁减噪㊁吸波等方面具
有特殊性能的多孔构型材料[１Ｇ３
]，将其填充于零部
件内部已成为实现结构多功能化的重要手段之一.伴随着增材制造技术的发展，传统机加工㊁铸造㊁模塑等工艺难以实现的复杂零部件可以被构建出来，这为多孔结构功能一体化材料的发展提供了坚实的制造基础.目前，这种材料已应用于航空航天和医疗领域，如超高速飞行器关键部件
３５５
的优化设计[４]和多孔植入假体[５].
作为多孔结构功能一体化材料发展的瓶颈之一，功能性微结构的几何建模技术近年来吸引了研究人员广泛的关注.功能性微结构可分为有序和无序两大类.无序结构有三维v o r o n o i结构㊁泡沫结构等，其中三维v o r o n o i结构具有良好的各向同性[６]，但其难以对结构性质进行定量分析.有序结构有蜂窝结构㊁晶格结构等，其中蜂窝结构是典型的各向异性结构，具有单向承载能力强的特点；晶格结构因具有更均匀的应力分布和更好的长期机械响应[７]，可实现各种不同的理想物理性能，如高比刚度㊁低热膨胀系数㊁负泊松比㊁高散热率[８Ｇ１１]等，已成为功能性微结构领域的研究热点之一.现有功能性微结构的几何建模技术可分为４类[１２].第一类是基于轨迹规划的三维打印路径生成方法，目前绝大多数商业三维打印软件如M a k e r B o t自带的根据设置的填充率参数在模型中填充蜂窝或栅格结构的功能正是基于这种方法实现的，这类方法最大的缺点是制造模型的力学性能具有各项异性，难以实现多尺度变化的填充设计；第二类是基于微结构单元阵列的正向设计方法，如C H E N[１３]和仲梁维等[１４]通过从设计的模型库中选取一种填充结构单元来对壳体模型进行简单的阵列式填充，以实现在模型内部生成晶格结构，但该方法需要大量的布尔运算，算法稳定性和计算效率有待进一步提高；第三类是基于二维图像的逆向三维重建方法，如HO L D S T E I N等[１５]和V E R GÉS等[１６]通过对骨骼二维扫描切片进行分析，利用二维纹理的信息合成三维的多孔骨组织结构，这类方法需要借助C T或核磁共振获取的二维截面图像，且生成的结构难以参数化调控；第四类是基于几何算法驱动的多孔结构生成方法，如姚远等[１７]提出了一种基于隐函数建模的模型体结构可装配方法来构建多孔结构，该方法虽然避免了布尔运算的操作，但没有进一步地研究按照任意方向可变的梯度多孔结构建模.
本文针对上述有序㊁无序功能性微结构的性能特点和现有功能性微结构建模技术存在的问题提出了一种复合函数驱动的微结构建模技术，该技术无需在实体层次上进行布尔运算操作，能在三轴方向任意调控微结构的分布周期与单元尺寸.通过对生成的规则方形截面微结构施加仿射㊁弯曲算子操作，来获得具有一定曲面适形效果的圆形截面微结构模型，这为结构功能一体化材料结构的参数化控形和控性提供了重要的技术支撑.１㊀函数驱动微结构建模流程
函数驱动的微结构建模技术流程如图１所示.首先，定义驱动函数的初始生成参数，依次生成三轴方向的微结构基本单元，通过优化参数的方式对其尺寸与位置进行调整；其次，使用集合操作将基本单元合并生成微结构，并判断其是否需要进行仿射算子㊁弯曲算子操作，将生成的微结构填充于模型内部；最后，对模型进行有限元分析，判断其性能是否满足要求，若不满足则从有限元结果中提取反馈信息并将其应用于优化参数进行迭代，若满足则输出模型
.
图１㊀微结构建模流程图
F i g．１㊀M i c r o s t r u c t u r em o d e l i n g f l o wc h a r t
２㊀基本原理与驱动流程
２．１㊀函数驱动建模原理
在欧几里得空间R n(n＝３)中，将任意点坐标矢量表示为X，则关于点坐标的连续函数F(X)将空间划分为三部分.其具体定义如下：若F(X)＜０，则点位于函数空间外部；若F(X)＞０，则位于函数空间内部；若F(X)＝０，则该点位于函数空间的边界上.由函数f驱动生成的函数空间M f可定义为
M f＝{XɪR３|f(X)ȡ０}(１)微结构种类多㊁拓扑结构复杂，难以用一个函数驱动生成，基于集合论思想，本文采用多个函数空间的集合操作生成模型空间，其表达式如下:
㊀
M fᶱg＝M fᶱM g＝XɪR３|XɪM f或XɪM g
{}
M fɡg＝M fɡM g＝XɪR３|XɪM f且XɪM g
{}
M f\g＝M f\M g＝XɪR３|XɪM f且X∉M g
{}
ü
þ
ý
ïï
ï
(２)式中，符号ᶱ㊁ɡ㊁\分别表示并集㊁交集和差集操作;
４５５
中国机械工程第３１卷第５期２０２０年３月上半月
M f ᶱg ㊁M f ɡg ㊁M f \g 表示由函数f ㊁g 驱动生成的基本函数空间经集合论操作后所得的模型空间.
２．２㊀周期驱动数学模型
基于周期函数可控性强，能在三维空间上无限延伸，可驱动生成任意尺度的微结构模型，具有良好的函数驱动特性，本文将其作为驱动函数，表达式如下:
K (X ,H ,U )＝０(３
)式中,H 为分布类参数，可用于改变周期函数的频率值，从而实现调控微结构杆单元的分布间距;U 为杆径类参数，可用于调控微结构杆单元的直径大小.
周期函数有三角函数㊁矩形波函数㊁锯齿波函数等.若将正弦函数作为驱动函数，则其驱动模式可表示为
f x (x )＝A x s i n (q x x ＋p x )－l x f y (y )＝A y s i n (q y y ＋p y )－l y f z (z )＝A z s i n (q
z z ＋p z )－l z }
(４
)其中,f x ㊁f y 和f z ３个正弦函数分别用于驱动生
成三轴方向的基本函数空间.如图２中的正弦波形图所示，函数f x 驱动生成的函数空间是一组与x 轴正交且相互平行的面板，记为B x .其中，频率q x 可以控制B x 的分布周期,
相位p x 定义B x 在x 轴上相对于原点的位置.由图２中的波形图可知，在每个周期内，正弦波形与阈值l x 对应的直线有两个交点，将这两个交点沿x 轴向的间距定义为B x 的厚度，则f x 中能影响正弦波形的参数均可控制B x 的厚度，因此，阈值l x ㊁
频率q
x 与幅值A x 共同定义B x 的厚度.同样地，与y 轴和z 轴正交的面板组B y ㊁B z 分别由函数f y 和
f z 生成
.
图２㊀正弦函数驱动微结构建模
F i g ．２㊀S i n u s o i d a l f u n c t i o nd r i v e nm i c r o s t r u c t u r em o d e l i n g
通过式(２
)中定义的交集操作将生成的三组面板两两相交，即可生成三组分别平行于x ㊁y ㊁z 三轴的杆单元G x ㊁G y ㊁G z ,
其表达式如下:G x ＝B y ɡB z G y ＝B x ɡB z G z ＝B x ɡB y üþ
ýïïï
(５
)通过式(２
)中定义的并集操作将生成的三组杆单元进行组合，即可生成微结构模型M l a t t i c ，其表达式如下:
M l a t t i c ＝
G x ᶱG y ᶱG z (６
)式(５)㊁式(６
)定义的函数空间集合论操作如图２所示.
３㊀功能性微结构控制策略
结构的微观几何能直接影响其宏观上的功能特性，如调整杆径大小可控制其力学性能，改变杆单元分布周期可调控其模态特性等.由此可知，对微结构的控制至关重要.为获得对微结构模型更加灵活㊁多样的控制手段，所采用周期函数的控制参数应尽可能多些.本文以正弦函数驱动微结构建模为例，从局部控制和全局控制两个方面介绍所提微结构建模技术的控制策略.３．１㊀局部控制
由式(３)
可知，驱动函数的参数可分为H 和U 两大类，对应于式(４
)可得：正弦函数中的H 类参数有q ㊁p ,U 类参数有A ㊁q 和l .对微结构的局部控制将通过调控上述参数来实现，如将３个方向的函数定义域都设为[－３π,３π]
，
林州地震
并将参数初始化，将参数A 与q 都设为１，参数p 都设为０，参数l 都设为０．８５，从而可得到图３a 所示的规则微结构.下面介绍基于函数f x 的参数控制方式,f y ㊁f z 参数变化与f x 保持同步.
(１
)对微结构杆径大小的控制.本文仅介绍通过调控U 类参数l 来控制杆径变化的方法.对参数l 的控制有如下２种方式:①控制其连续变化,②控制其离散变化.首先，对第１种方式进行说明，保持其余参数不变，将参数l x 设置为连续函数g c (x )
，其表达式如下:f x (
x )＝s i n x －g c (x )(７
)g c (
x )＝(x ＋１３π)/２０其中,g c (x )最高项的次数代表了微结构杆径尺寸变化的阶数，式(７)中g c (x )
的最高项次数为１,
代表微结构杆单元尺寸大小呈一阶变化，模型如图３b 所示.
同样地，对于第２种控制方法，保持其余参数不
５５５ 功能性微结构可控参数建模技术研究
雷鹏福㊀戴㊀宁㊀汪志鹏等
变，将参数l x 设为一个分段函数g d (x )，其表达式如下:
g d (
x )＝０．９５㊀－３πɤx ɤ－π
０．８５㊀－π＜x ɤπ０．９５㊀π＜x ɤ３π
{
(８
)依据式(８)可生成图３c 所示的模型.若将g d (x )在区间[－３π,－π]㊁(π,３π]
上的函数值与区间(－π,π
]
上的函数值进行对换，则将得到的新分段函数定义为g d n (x )，生成的模型如图３d 所示.(２
)对微结构杆单元分布的控制.对微结构杆单元分布的控制主要通过调控H 类参数q 来
实现，其控制方式与参数l 的控制方式相同.保持其余参数不变，将参数q x 设为值域[２/３,２]的一阶递增连续函数k (x )，对应可生成图３e 所示的模型，可以看出，该模型杆单元分布间隔呈一阶变化，且杆单元分布越密的地方杆径越小.在实际应用中，在模型应力较大的位置不仅要求杆单元要密，且杆径也需增大，此时就需要对微结构的杆单元分布与杆径大小进行叠加控制.
(３
)叠加控制.对微结构杆单元分布间距与杆径大小进行叠加控制的方式有多种，在此仅对参数q 与参数l 的叠加控制进行说明.使图３e 模型的其余生成参数保持不变，将参数l 设为值域[０．３,０．９]的一阶递减连续函数h (x )，所得模型如图３f 所示，该模型在微结构杆单元分布密集处增大了杆径尺寸.
３．２㊀全局控制３．２．１㊀仿射算子
由于方形截面微结构易出现应力集中现象,
因此，在工程应用中较少使用.本文通过对生成的方形截面微结构进行仿射算子操作来将杆单元截面形状从方形转换成圆形.首先，将式(４)中３个正弦函数的幅值参数A ㊁阈值参数l 均设为１,
则此时在每个周期内，正弦波与阈值参数l 对应的直线有且只有１个交点(即此时板厚为０)，生成的函数空间由三组分别垂直于三轴的平行面板变成平行平面.具体操作如下式所示:
P x ＝s i n (q x x ＋p x )－１P y ＝s i n (q y y ＋p y )－１P z ＝s i n (q
z z ＋p z )－１}
(９
)式中,P x ㊁P y ㊁P z 分别为垂直于x ㊁y ㊁
z 轴的平面组.然后，依据式(５)㊁式(６)
中定义的集合论交集㊁并集操作，可从P x ㊁P y ㊁P z 中生成骨架线S ，其表达式如下:S ＝P x ɡP y ＋P x ɡP z ＋P y ɡP z
(１０
)(a )q ＝１,细胞模型
l ＝０．８５
㊀㊀
(b )q ＝１,
l ＝g c (x )(c )q ＝１,
l ＝g d (x )㊀㊀
(d )q ＝１,
l ＝g d n (x )(e )q ＝k (x ),l ＝０．８５㊀㊀
(f )q ＝
k (x ),l ＝h (x )图３㊀方形截面微结构模型
F i g ．３㊀S q
u a r e s e c t i o nm i c r o s t r u c t u r em o d e l 最后，对抽取的骨架线施加仿射算子操作，以生成圆形截面微结构模型，其表达式如下:
M c i r c l e ＝
S ＋D D ȡD m i n
光固化树脂胶}
(１１
)其中,M c i r c l e 表示骨架线S 经仿射算子操作所得圆形截面微结构模型;D 为骨架线S 对应的直径参
数，它可以为任意杆单元进行独立赋值;D m i n 为所能制造出的最小杆径.D 的大小需根据所设计微结构的尺度和性能需求具体分析，应在满足结构性能要求和可制造性的基础上尽可能小.
经仿射算子操作所得圆形截面微结构模型如图４所示，其中图４a ㊁图４c 两模型所有杆单元的杆径均为１．５mm ，但两者的杆单元分布间距不同；图４b 模型的外围杆单元杆径为１．０mm ，中间杆单元杆径为２．０mm .由式(９)可知，仿射变换保留了原方形截面微结构杆单元的分布信息，而尺寸信息则未保留.
３．２．２㊀弯曲算子
当填充模型外围轮廓为曲面时，采用规则的
微结构进行裁剪填充会破坏边界处微结构胞元的连接特性，从而降低模型在该处的力学性能.本文通过对生成的规则微结构施加弯曲算子操作使其获得一定的适形效果，能较大程度地保留边界处胞元的完整性.
６５５ 中国机械工程第３１卷第５期２０２０年３月上半月
(a )原图３a
模型
(b )原图３c
模型
(c )原图３e 模型
图４㊀仿射算子操作所得圆形截面微结构模型
F i g
．４㊀C i r c u l a r s e c t i o nm i c r o s t r u c t u r em o d e l o b t a i n e d b y a f f i n e o p e r a t o r o p
e r a t i o n 将式(１０
)所得微结构骨架线以几何结构加拓扑结构的形式存储，其中几何结构存储所有骨架线端点的坐标数据，而拓扑结构则存储骨架线两个端点在几何结构中的索引编号.弯曲算子操作只改变骨架线的几何结构而不改变其拓扑结构.通过对平行于任一坐标轴的骨架线进行弯曲算子操作，即可实现骨架线几何结构中的所有节点数据的坐标变换，从而获得整体微结构骨架线的弯曲效果.本文指定z 轴方向为弯曲轴向㊁y 轴方向为
弯曲周向㊁x 轴方向为向心方向，以此为例介绍对规则微结构施加弯曲算子的方法.将原模型中所
有平行于向心方向的骨架线单元集合记为S (x )
，如图５所示,S (x )
角先生
在所指定的弯曲周向分层,
将其层数记为０,１, ,W ，层间距记为L １,０,L ２,１,
,L W ,W －１.对S (x )
进行弯曲算子操作即可获得整体微结构的弯曲效果，其表达式如下:
C i ＝S (x
)
机械工程师考试大纲
０A R T (
θ(i ))(１２
)θ(i )＝２ðW
i ＝１
a r c s i n
L i ,i －
１２R 图５㊀弯曲算子操作流程图
F i g ．５㊀B e n d i n g o p e r a t o r o p
e r a t i o n
f l o wc h a r t 其中,C i 为弯曲算子操作过后位于弯曲周向第i
层的骨架线端点坐标齐次矩阵;S (x )
０
为原模型中位于弯曲周向第０层的骨架线端点坐标齐次矩
阵;A R T (θ(i )
)
为四阶齐次旋转矩阵，旋转角度为θ(i );θ(i )
为以S (x )
倒逼沿弯曲周向前i 层的层间距L １,０,L ２,１, ,L i ,i －１为弦长求取的弯曲圆心角之
和;R 为微结构的弯曲系数，其取值应足够大，以保证最大旋转角度θ(W )ɤ２π,
从而避免弯曲算子操作过后微结构沿弯曲周向头尾两端出现重合部分.由弯曲算子操作原理可知:R 越小,
弯曲效果越明显；当R 趋于无穷大时，模型不做改变.通过弯曲算子操作得到弯曲微结构骨架线后，即可通过式(１１)中定义的仿射算子操作生成弯曲微结构模型.
４㊀结果
４．１㊀建模技术性能比对
将本文所提出的微结构建模技术与现在主流的三维建模软件３Ｇm a t i c １２．０(比利时,M a t e r i a l i s e )及C r e o ４．０(美国,P T C )所采用的微结构建模技术进行比较.图６所示分别为采用上述３种建模技术生成的６ˑ６ˑ６单元的微结构模型
.
(a )C r e o ４．０
㊀
(b )３Ｇm a t i c １２．０
(c
)本文图６㊀微结构比对图
F i g ．６㊀C o m p
a r i s o no fm i c r o s t r u c t u r e s 如图６a 所示,C r e o ４．０的微结构建模技术为
阵列建模，即先建立模型基本单元，再对其进行阵列，模型的调控都是在单元的基础上实现的，因此无法对微结构的局部进行独立控制.图６b 所示的模型由３Ｇm a t i c １２．０生成，其建模方法与C r e o
４．０的建模方法一致，为阵列建模，不同的是,３Ｇ
m a t i c １２．０还提供了在单方向上以排为单位调控
微结构杆单元尺寸的功能，且能对生成的微结构节点进行拖动，但它同样无法做到对微结构任意杆单
元的尺寸进行独立控制.不同于前两种方式
７５５ 功能性微结构可控参数建模技术研究
雷鹏福㊀戴㊀宁㊀汪志鹏等
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议