2011年全国研究生数学建模竞赛A题
失去的金铃子
自从爱因斯坦1905年提出光子概念以来，光的波粒二象性始终困扰着绝大多数人，至今仍然无法令常人像对其他物理现象一样地信服。光与物质相互作用时象粒子一样服从力学定律，但光又有波的内在性质，如：衍射、双缝干涉、偏振以及光子湮灭。光既可以是粒子，又同时是波，但我们至今不能同时看到这两个方面，光究竟以粒子还是以波的形式出现，只决定于实验。 仔细分析可以发现，对光波的内在性质：衍射、双缝干涉、偏振及光子湮灭的解释需要解决三个问题。第一个问题是光通常是按直线前进的，为什么光经过细缝后前进方向会发生改变？为什么必须是光通过很窄的细缝才会使前进方向发生改变？第二个问题是若干个光子同时作用的最终效果如何确定？是否仅取决于光子的个数？第三个问题是光通过偏振片的真实过程是什么？ 在爱因斯坦之后继续有许多物理学家致力于探索光子波粒二象性的奥秘，并且也取得一定的
进展（尽管与量子光学相比完全是非主流的[见附件3诺贝尔物理奖获得者罗伊的演讲，但本题不涉及量子光学]，进展程度也无法相比，甚至可能包含错误，但科学研究历来主张百花齐放，百家争鸣）。如我国已故的龚祖同院士猜想，光子并非仅是一个质点，其构造可能与氢原子类似，最简单的形式是由一个负电荷和一个与其等量的正电荷组成，负电荷在一个球形的轨道上围绕正电荷旋转（见附件1的11页），因此光线通过一个小孔或一条细缝时，如果其中一个电荷与小孔或狭缝边沿发生弹性碰撞或非弹性碰撞或被边缘吸引，光子的运动方向就会改变（在微观情况下遮挡物也不再可以视为平面），由此产生衍射。如果缝比较宽，则与小孔或细缝边缘发生碰撞的光子比例就会大大减少，直至几乎看不出来衍射。最近，北京大学又有学者提出光子是一个按光速直线前进的电磁场的猜想（见附件2的112页），光子的速度都相等。这个电磁场按照由光的波长所决定的角速度围绕上述前进直线旋转，相位由电场在x方向的投影或磁场在y方向的投影所决定，其旋转方向也只有左旋、右旋两种，因此事实上单个光子只有左旋光子、右旋光子两种。但一个左旋光子与一个右旋光子可以组成一个线性偏振光子对。当一个左旋光子与一个运动方向完全相同的右旋光子相遇时，如果相位完全相反，则发生光子湮灭现象。如果相位完全相同，则增强，由于能量与电磁场的强度是平方关系，相当于有4个光子存在。由于从两条细缝到达屏幕上
同一点的距离不同，分别通过两条缝来的光子就会有相位差，由此产生双缝干涉现象。猜想偏振镜片仅让相位均值方向与偏振镜片光轴平行的线性偏振光子对通过（见附件2的116和117页）。由于正常光线中包含处于各种相位的光子对，在同时与偏振镜片碰撞时，这时各种相位的光子对会重新组合，产生平行于、垂直于偏振镜光轴的光子对，平行于偏振镜光轴的光子对能够通过偏振镜，而垂直于偏振镜光轴的光子对则被偏振镜阻挡，由此大约50%的光线可以通过偏振镜片。这种情况仍然符合能量、动量、角动量守恒定律。（详细情况见附件2）。
上述关于光子波粒二象性的猜想在一定程度上能够自圆其说，但只是定性的，还应该经过定量计算的检验。如果经过数学模型的仿真，肯定无法得到和大量物理实验相吻合的结果，则可以否定该猜想，如果在一定条件下可以得到和大量物理实验相吻合的结果，则上述猜想就前进一步，至少目前不能轻易否定。当然既然是猜想就很可能有错误，尤其对这样难度空前的问题，能够完全解释倒是不正常的。你们的任务是建立仿真这些猜想的数学模型，例如：单缝衍射中衍射缝的尺寸以及光子模型中的尺度、频率等参数对衍射屏上光强的空间分布形式的影响；双缝干涉试验中两条缝之间的距离、缝的宽度与干涉光图样的光强空间分布形式的关系等，并将你们模型得到的结果与诺贝尔物理奖获得者玻恩的光学
经典名著《光学原理》p374（见附件4的 2）中的光的衍射、双缝干涉、多缝干涉的强度近似公式进行比较。你们也完全可以提出改进，而且也可以提出自己的猜想，设法做出尽可能多的数学仿真。
图1 衍射光栅理论图示网络规划与优化技术
图2 简单线光栅的断面
图1、图2及多缝干涉的近似公式中参数定义如下：
N：衍射缝（孔）的个数。
s：衍射缝的宽度
d：衍射缝的间距。
p：
θ0：入射光束与衍射光栅面的法线的夹角。
θ：衍射光线与衍射光栅面的法线的夹角。
k：
ω：光的圆频率。c：真空光速
问题的求解：
一．命题的目的：
博盈投资命题的目的是以下三点：
广东电大首先是这条题目的难度和解决问题所需要的勇气与创造性。这条题目所要研究的是一个困扰全世界科学家几百年的常见现象，是包括爱因斯坦等多名诺贝尔奖获得者百思而不得其解的世纪难题，彻底解决这个问题的难度可谓登峰造极。
1905年爱因斯坦提出光子概念时对光子的构造完全没有涉及，在1907年他曾经讲：“For the rest of my life I will reflect on what light is.”细胞自噬后来他给朋友通讯时还表示，He felt his struggle with the enigma might drive him to the madhouse.但很可惜直到爱因斯坦离开人世，他也没有能够解决这个问题。著名的物理学家费马也因为无法用粒子进行解释而把双缝试验说成“ a phenomenon which is impossible, absolutely, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics . In reality it contains only mystery”. 即使100年后 ，2005年诺贝尔物理奖获得者罗伊在颁奖典礼上对
近一个世纪以来量子光学的巨大进步做了全面的介绍，但非光学专业的学者依然很难理解光的波粒二象性。光的波粒二象性始终困扰着绝大多数人，至今仍然无法给出令常人信服的解释。光与物质相互作用时象粒子一样服从力学定律，但光又有波的内在性质，如：衍射、双缝干涉、偏振以及光子湮灭。光既可以是粒子，又同时是波，但我们永远不能同时看到这两个方面，光究竟以粒子还是以波的形式出现，只决定于实验。
我们命题的目的就是鼓励我国的研究生敢于向世界性难题挑战，敢于质疑世界权威，希望我国研究生能够深刻地认识到：创新往往就是在敢于对别人从未解决过的困难问题所发起的冲锋中实现，越是困难的问题就越需要创新，重大科学发明不是外国人的专利。
其次光的波粒二象性是纯物理问题，怎么又成为数学建模的问题呢？类似地怎么把各种实际问题转化为数学建模问题呢？这是一个十分普遍而又非常有价值的问题，一切从事研究、解决实际问题的工作者都应该培养这种转化的能力。命题人在仔细研究我国已故龚祖同院士和北京大学俎栋林教授的科学论文之后，发现他们的论文都是用光的粒子说来定性或半定量地说明关于光的波动性的几个经典实验，没有能在完全定量的精度上对他们的猜想进行验证。虽然从定性的角度看，解释是比较成功的，能够自圆其说。但是如果不继续
提高到完全定量的高度，则显然无法为科学界所广泛接受。而定量分析正是数学建模的特长，根据两位科学家的猜想来建立数学模型并按照假设产生大量的数据进行仿真；将仿真的结果与真实实验的数据进行对比，如果肯定无法得到和大量物理实验相吻合的结果，则可以否定该猜想，如果在一定条件下可以得到和大量物理实验相吻合的结果，则上述猜想就能够前进一步，至少目前不能轻易否定。这样就把探究光的波粒二象性问题和数学建模紧密地联系在一起。灵活运用这一思想是用数学建模方法解决实际问题的法宝。
光的波粒二象性显然是一个纯物理问题，与数学貌似无关，似乎数学建模对它是爱莫能助，完全插不上手。但数学建模对此并非真的无能为力，仔细分析后发现，用粒子说来解释光的波动性，首要的任务是对体现光波动性的本质的几个实验：衍射、双缝干涉、偏振及光子湮灭等进行解释。这个解释可以被概括为需要回答三个问题。第一个问题是光通常都是按直线前进的，为什么光经过细缝后，光线的前进方向会发生改变？为什么必须光线经过很窄的细缝才会使它的前进方向发生改变？第二个问题是若干个光子同时作用的最终效果如何确定？是否仅取决于光子的个数？第三个问题是光通过偏振片的真实过程是什么？为什么通过偏振片后光强会受到不同程度的削弱？抓住解决问题的关键，制定正确的技术路线，也是研究生应该努力掌握的。
第三，命题时还有一个目的就是因为这条题目充分说明在科学研究中，即使在最前沿的理论研究中，数学建模也占有重要的位置，而且研究生也能够在其中充分发挥数学建模的作用。过去数学建模教材总将牛顿从开普勒天体运动三大定律出发，推导出万有引力定律作为数学建模最成功的范例。由于这样的事例太少，往往造成一种错觉，似乎只有牛顿这样伟大的科学家才能将数学建模的威力发挥到极致。而这条题目说明数学建模不仅是工科研究生必须具备的能力，就是对从事理论研究的理科研究生来说，数学建模能力和创新精神同样不可或缺。从竞赛的情况看，与题目的难度相比，还算是比较好的，这超出了我们的预期。但我们也必须承认总体而言研究生在数学建模能力上还存在明显不足，有比较大的提升空间，因此研究生数学建模活动仍然任重而道远。
二．正确选择解决问题的突破口
尽管命题人已经将希望研究生解决的问题归结为三个问题，提出了仿真的任务，并希
望与诺贝尔奖获得者玻恩的名著“光学原理”中的公式进行对比，做出尽可能多的数学验证，思路及技术路线都比较明确。但对每一个问题仍然有从何处入手的问题、怎样取得初始的进展并迅速地扩大战果的问题。
大多数研究生都从正面理解题目提出的光子经过细缝时发生弹性碰撞、非弹性碰撞及吸引而使运动方向产生改变的思路并进行思考。但往往集中于对细缝做出各种假设，不少的队比较简单地取缝隙两边为矩形截面，少数取缝隙为圆柱边缘形状，还有为数更少的队取缝隙为弯曲的界面。至于光子在前进并与缝隙发生碰撞后，则根据能量守恒及动量守恒定律确定光子碰撞后的运动方向。虽然也得到部分结果，但往往仿真后效果并不理想，直至最后没有完全搞清楚光子经过细缝之后的运动规律，也没有搞清楚衍射为什么一定会发生，始终没有取得重大突破。因为多次实验表明缝隙的形状并不是问题的关键，选择特殊的缝隙形状为研究重点不是正确的研究方向，甚至可能导致误入歧途。
上述情况说明部分研究生思路不开阔，限于对题目的文字的理解，习惯于从固定的视角去看待、考虑问题。只注意了题目明确给出的信息，没有设法再从其他方面获取所要解决问题的有价值的信息，因此工作几乎是一种漫无目的的搜索，效率低下。这些反映研究生在寻解决问题的突破口、制定正确的技术路线方面的能力迫切需要提高，甚至极少数研究生还没有寻突破口的意识。
其实寻本题突破口并不困难。因为题目是希望用粒子说来解释光的几个经典实验：衍射
、干涉、偏振等，但并不因此否定光的波动性。光的波动性能够很好地解释这些经典实验，衍射、干涉等有关公式经过了数百年来众多科学家多次实验的验证，与实验结果吻合度很高。衍射、干涉、偏振等既不是新发现，也不是新实验。因此我们绝对不应该对光的波动性理论及有关公式视而不见、闭门造车。相反我们应该虚心学习、充分利用前人已经取得的成果，只有站在巨人的肩膀上我们才可能看得更远，才能攀登更高的顶峰。不善于学习，拒绝别人的经验，一切研究工作都从零开始、另起炉灶是落后的研究方式，必须摒弃。
电影黑名单
看一下衍射的结果（见上图）复习一下有关的物理知识，仔细回顾这些经典实验的过程和结果，就会大有收获。因为根据多次实验的结果，问题的结论是十分清楚的，从结果来分析过程的逆向思维就会使问题大为简单，而这就是在学习、利用前人已经获得的研究成果。其实逆向思维模式在中学几何证明中经常使用，从需要证明的结论向给定条件靠拢的手法应该并不陌生。从屏幕上出现有规则的、明暗相间的条纹来推测光子的运动规律比漫
无目的地假设缝隙的形状要容易得多。因为光子离开缝隙后是按直线前进的，运动方向不再变化，所以容易从屏幕上光强的分布规律推导出在缝隙口光子运动方向的规律，并进而估计光子在缝隙中运动方向变化的原因和规律。如果进一步分析玻恩的衍射公式：
一条缝的归一化强度函数
其中p是屏幕上的点在水平方向上与中心点的距离，公式显示屏幕上每点都接收到光能，而且屏幕上点的光能有与p的平方近似成反比（正弦函数作用另外讨论）的规律。此外惠更斯的波动理论认为波在前进的过程中遇到障碍后，每一点都可以作为一个新的波源向外扩散，并与其他新波源一起形成新的波阵面。据此不难分析光子通过缝隙，遇到细缝边缘障碍，在缝隙处形成新的波源向前传播，故光子的运动方向应该包括向前的所有方向，可能服从向前-90――+90度之间的分布，这样在屏幕上才可能处处有光子。进一步由于波阵面的扩大，光强与运动距离的平方成反比，去掉距离平方的反比因子，再暂不考虑正弦函数，这样就可能推测光子服从在向前-90――+90度之间的均匀分布。上述猜想既简单，又
合理，在此基础上再研究光子在缝隙内的运动就有的放矢多了。
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