西姆松定理

西姆松定理编辑

西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

天体物理学

证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.

易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，作家陈映真去世

在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∠ABP=∠DBP

于是∠DFP=∠ACP

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①，在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE

② 而∠ACP+∠PCE=180°

③ ∴∠DFP+∠PFE=180°

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④ 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.

证明二：

如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和

nbpP、M、C、L分别四点共圆，有

∠NBP = ∠NLP= ∠MLP= ∠MCP.

故A、B、P、C四点共圆。

若A、P、B、C四点共圆，则

∠NBP= ∠MCP。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，

有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有

∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.

党史文苑故L、M、N三点共线。

本文发布于:2024-09-20 15:25:20，感谢您对本站的认可！

标签：三角形定理外接圆直线顶点

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