电阻法测温的原理及数学计算

1引言

温度测试是电器安全测试中应用最广，也是最复杂，最容易出现测试误差的部分，很多产品都会在涉及温度的测试中出现这样那样的问题，其测量的方法和精度会对产品的合格性评定产生决定性的影响。在电器产品的试验中，常用到的测量温度或温升的方法，除了电阻测温法之外，还有红外线测温法，热电偶测温法。但是，电阻测温法由于其准确度高，而且可以通过计算得到线圈内部的温度，因此特别广泛的应用于线圈、绕组等部件的测量，特别是对于马达等旋转线圈的内部温度测量。

2电阻法测温的基本原理：

电阻法是利用线圈在发热时电阻的变化，来测量线圈的温度，具体方法是利用线圈的直流电阻，在温度升高后电阻值相应增大的关系来确定线圈的温度，其测得是线圈温度的平均值。在一定的温度范围内，电机线圈的电阻值将随着温度的上升而相应的增加，而且其阻值与温度之间存在着一定的函数关系。

对于铜线圈来说，线圈的热态温度的计算公式是：t2=R2R1(t1+234.5)-234.5（1式中R1———冷态线圈电阻，单位是欧姆R2———断电瞬时热态线圈电阻，单位是欧姆t1———冷态温度，一般等同于测量电阻R1时的环境温度，单位是摄氏度———与铜线圈有关的常熟。如果是铝线圈，该常数为缅铃229根据以上公式求出t2后，若要求得到温升，将计算得到的温度t2,与试验结束时环境空气温度t3之差即可得到，即温升为(t2-t3)K：△t=R2R1(t1+234.5)-234.5-t3（2）冷态时的电阻（电机运行前测得的电阻）和热态时的电阻（运行后测得的电阻）必须在电机同一出线端测得。线圈冷态时的温度在一般情况下，可以认为与电机周围环境温度相等。这样就可以计算出线圈在热态的温度了。

线圈温升是安全标准中的一项重要指标。那么，为什么不直接带电测量线圈的电阻而得到其温升呢？这是因为，带电测线圈电阻在目前的技术条件下尚无法到达所需要的精确度。因此，要达到精确测量线圈电阻，只能使用高精度的数字电桥。而数字电桥只能在断电的环境下才能开展测量，它对电流非常敏感，线圈从电源断开后还需短路几秒钟（实际操作一般是5秒）再接到电桥上测电阻，以避免残余电量烧坏电桥。

正是由于以上原因，我们没办法得到断电瞬间T0时刻的线圈电阻值马延春R2。只能通过间接的方

法来得出R2，因导体电阻随温度变化呈现某一规律，所以，推算出断电瞬时T0的电阻值R2就可推算出线圈温升t2。线圈断开电源后，温度逐渐下降，所以测得的电阻值并不是线圈断电瞬时的电阻值，我们可以通过短时间等间隔读取的电阻测量值，利用作图法和回归分析法来确定断电瞬时的电阻值，从而推算出线圈温升。

3线圈温升推算的数学方法

在以上描述的试验过程中，我们将得到一组数据，例如第5秒谢文广中科院(T1=5)时的电阻值r1，第10秒(T2=10)时的电阻值r2，第15秒(T3=15)时的电阻值r3，……，相当于自变量为t，因变量为r的函数r＝R(t)的一些已知解值，在图形r-t图形上画出来就是一些已知的点坐标。现在我们需要从中出规律，从而推断出T0=0时的R2。

4作图法

目前有两种方式，一种是作图法，也就是在r-t图上把所有已知点按坐标标示出来，在这些点上作出一条近似模拟曲线。然后根据曲线的走向判断其在T0=0点的R2的值，从而得出t2。用作图法处理数据时，我们通常采用的是“目测法”，这种方法虽然简单明了，易学易用，

但常常因人而异即使对同一组数据来说，也会得出不同的结果来。因此一般只在快速估算作业使用。在实验室中，不推荐使用此种方式

5回归分析法

另一种方式就是应用数理统计中的回归分析法来求R2研究一个随机变量与一个（或几个）可控变量之间的相关关系的统计方法称为回归分析。所谓回归分析法，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式）。通过回归方程，我们可以得到近似模拟的r-t数学函数方程，从这个方程代入我们已知的点坐标，就可以得到R2的值。

回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。

数理统计法

6一元线性回归方程

一元线性回归方程（也就是一元一次回归方程）在平面坐标系中表现为一条直线，回归分析中称为回归直线，即；rc=a+bt（3）rc表示r的估计值，借以区别r的实际观察值；a表示直线的起点值，即纵轴截距；b表示斜率，即回归系数。

对于不完全线性相关的两个变量所有散点，要配合一条直线，数学证明，利用最小平方法配合的直线是最合理的直线回归方程表达式。基本原理为所配合的直线模型可以使实际值r与理论值（估计值）rc离差的代数和等于0，使离差平方和最小，图形上看就是所有的散点都比较均匀的分布在这条直线周边，这条直线使各个散点但该直线的距离比任何其他直线与散点的距离都要小。根据已知的实际观察值t、r地质与勘探利用最小平方法求参数a、b，具体公式为：b=n∑tr-∑t∑rn∑t2-(∑t)2=tr-t·rt2-(t)2=tr-t·rδ2t（4）a=r-bt=∑rn-b∑tn

（5）a→表示当自变量数值为0时，因变量的取值。b→又称回归系数。表示当t每变动一个单位，因变量平均来说变动多少。δ2为t的方差[1,2]

7非线性回归方程

前面讨论的回归分析与回归模型都假定是线性的,而在实际中我们通过作图法发现得到的数

据并不是严格按照直线来分布的，因此为了得到更准确的数据，我们需要得到一元多次（y=b0+b1x+b2x2+......+bmxm）的非线性回归模型。由于任一连续函数按微积分概念在一个小的区间内均可用分段多项式来逼近，所以在实际问题中，不论r与自变量t的关系如何，可以把变换成多元线性回归分析问题，最常见的一种情形是多项式回归。具体在本次的一元回归问题中，变量r和t的关系可以假定为m次多项式：

r=b0+b1t+b2t2+......+bmtm（6）其中m≥2令Y=r,X1=t,X2=t2,……,Xm=tm则上式就可以转化为多元线性方程Y=b0+b1X1+b2X2+......+bmXm由上可见，求一元多次的多项式回归的问题就转化为多元线性回归模型。具体的多元线性回归方程模拟本文就不再详述，可参考相关数学书籍。由于实践证明，一元多次回归求出的R2值比一元一次回归要更接近真实值，越是次数越高越精确。在本文试验中，在满足试验精度要求的情况下，为了减少计算量，只应用了一元二次方程来求R2。[1,2]

8电阻法推算软件

从以上的数学分析，可以得出基本的思路。具体实际进行测试时，我们会使用如图1所示软件来进行计算，这个电阻法计算软件是基于一元四次回归方程来进行R2的推算的。只需要