A spatiotemporal modeling method for curing
temperature field based on LTSA
刘 硕，张师源，林 朗
LIU Shuo, ZHANG Shi-yuan, LIN Lang
（中南大学 机电工程学院，长沙 410083）
摘 要：芯片固化热过程是典型的非线性分布参数系统，针对其无限维、时空耦合的特性，提出一种数
据建模方法—基于局部切空间排列（LTSA）的时空建模方法。首先使用非线性方法LTSA对炉温系统进行维数约减，得到能够表征系统非线性特征的空间基函数，然后利用时空分离得到低阶时间系数并使用径向基神经网络（RBFNN）拟合，通过时空合成，得到全局的时空温度分布。利用dSPACE实时采集与控制平台对实验室固化炉进行实验验证，结果表明，该模型能够准确预测温度数据，相较于传统的KL时空模型精度更高，对工业热过程的准确建模与实时控制有较好的推广应用价值。 关键词：芯片固化炉；局部切空间排列；时空分离；dSPACE实时仿真平台中图分类号：TP183 文献标识码：A 文章编号：1009-0134(2021)05-0138-06
收稿日期：2019-12-30
作者简介：刘硕（1995 -），男，山东济宁人，硕士研究生，研究方向为温度系统建模与控制。0 引言
芯片固化环节是半导体芯片生产的一个关键过程，该环节需要在固化炉内进行。在固化过程中，环氧树脂等材料通常需要特定的固化温度，以及稳定均匀的温度场分布[1]。因此，对固化炉温度场的分析与控制有很高的要求，而分析与控制的关键，就是对炉内温度场建立一个准确、可靠的模型。
固化炉的热动态过程属于典型的非线性分布参数系统（Distributed Parameter System ，DPS ），通常用偏微分方程（Partial Differential Equation ，PDE ）来表 示
[2]
。DPS 具有无限维时空动态特性以及非线性特
性，因此精确的PDE 很难获得。在工程应用中，通常将无限维DPS 近似为有限维的常微分方程（Ordinary Differential Equation ，ODE ）[3]，所以模型的降阶技术是非常重要的。
对于模型已知的DPS ，邓华[4]等提出了一种基于谱近似的智能建模方法，将谱方法用于时空分离和模型降维，得到低阶ODE 模型，并设计了神经网络观测器用于ODE 的状态估计；蒋勉[5]将谱方法所得到的基函数进行展开和截断获得系统的最优基函数，并通过传统智能方法来近似系统时间动态，得到了热轧过程的时空耦合模型。但是由于在工程中很难确定系统结构和参数，所以上述方法不便于对实际工业过程应用。
对于模型未知的DPS ，基于数据的Karhunen-Loève （KL ）方法已经被广泛使用。NejibSmaoui [6]对两个偏微分方程的仿真数据进行KL 分解，得到其数据系数，利用神经网络模型预测数据系数，得到了一个智能神经网络模型；Qi C 等结合KL 与传统的集中参数方法，提出了KL-Hammerstein 模型[7]、KL-Wiener 模型[8]、KL-Volterra 模型[9]；Liu Z [10]等提出了一种适用于锂离子电池温度分布在线估计的KL-极限学习机（Extreme LearningMachines ，ELM ）模型，使用ELM 对时间系数进行拟合。传统的时空分离建模中，KL 方法是一种线性降维方法，其得到的空间基函数不能完全精确的表达系统的非线性特征。
本文提出一种基于局部切空间排列（Local Tangent Space Alignment ，LTSA ）[11]的炉温时空建模方法，该方法是一种基于数据的非线性建模方法，利用LTSA 对芯片固化温度数据进行时空分离和降维，得到的空间基函数可以更精确地表达系统的非线性特征。然后将时空数据投影到空间基函数上，得到低阶的时间系数。利用一种智能学习算法径向基神经网络（Radial Basis Function Neural Network ，
RBFNN ）拟合低阶时间系数，该方法能够处理系统内部的非线性规律，并且可以克服局部最小的问题[13,14]。最后通过时空合成，得到固化温度场的全局时空温度分布。通过在实验室简易固化
炉上采集的数据进行建模分析，并与传统的KL 时空建模进行比较。结果表明该方法拟合效果比较准确，对于工业热过程的分析与控制具有良好的意义。
1 问题描述
芯片固化炉的热动态过程是一个二维的分布参数系统，其分布在x 和y 方向上的热过程可以表述为：
2222c (,,)x y T T T
Q x y t t x y
ρρλλ∂∂∂=++∂∂∂
(1)
其边界条件为：
()
air T T h T T x y
∂∂+=−∂∂ (2)
初始条件为：
0=(,,0)T T x y
(3)
其中，T （x ，y ，t ）为时空分布的温度，℃；ρ为炉内传热气体的密度，kg/m 3；c ρ为传导介质的比热容，J/（kg .℃）；λx 和λy 为传热介质在x 和y 方向的传导率，W/（m .℃）；Q （x ，y ，t ）为热源，W/m 3；h 为对流传热的传导率，W/（m .℃）；T air 为环境大气的温度，℃；x ，y 为炉室内的坐标，m ；t 为时间变量，s 。
平原往事小说2 基于LTSA 的时空建模策略
提出了一种基于LTSA 的时空建模策略，通过非线性降维方法局部切空间排列（LTSA ）来代替传统的
KL 方法对模型进行降维，获得空间基函数和低阶时间系数，利用径向基神经网络（RBFNN ）对时间系数进行建模，通过时空合成，得到全局的固化炉温度场时空 分布。
在基于数据的时空分离框架下，将时空变量 T （S ，t ）写成时空分离的形式，如下：
1
(,)()()N
i i i T S t S a t ϕ==∑
(4)
其中
表示可以表征空间信息的空间基函数，a i
（t ）表示与空间基函数相对应的低阶时序系数。
得到空间基函数之后，将时空分布的数据T （S ，t ）向基函数上投影，即可获得对应的时间系数：
()((),(,))i i a t S T S t ϕ=
李忠仁
(5)
括号表示内积，得到时间系数之后，对其使用基于数据的方法建模，建模预测时间系数为
。得到
后，进行时空重构，获得全局的温度场时空分布：
1
(,)()()n
i
i i T S t S a t ϕ==∑ (6)
2.1 局部切空间排列
局部切空间排列算法（LTSA ）是一种局部非线性降维方法，在降维过程中可以保留系统的非线性特征。算法主要思想是利用样本点邻域的局部切空间来表征局部的几何性质, 然后将局部切空间进行排列得到全局的
低维坐标 。算法的主要步骤如下：
1）局部坐标拟合
对于给定的样本点集，以输入
空间的欧式距离为标准，构建每个点x i 的局部邻域，点
x i 包含自身在内的k 个邻域点所构成的邻域矩阵表示为
m 。
将X i
化邻域矩阵解，其前d 个最大的奇异值对应的左右奇异向量构成的矩阵为Q i 、V i 。所以局部切空间中样本点的局部坐标矩阵为：
()()11[,...,][(),...,()]i i T T i k i i i i ik i Q x x Q x x θθΘ==−− (7)2）局部坐标排列
将所有样本点的局部坐标矩阵排列起来，得到全局
坐标系统，全局坐标可以反映局部坐标中
的局部几何结构，即：
()() (1,...,;1,...,)i i ij i i j j L i N j k ττθε=++==
(8)
其中，L
i 为待定的映射矩阵；i τ的中心化矩阵。记，，则式(8)可以被转化为矩阵形式：
11/T i i k k i i i
T T k L E =+Θ+ (9)
令11/T k k k H I k =−，则重构误差E i 可以写为：
i i k i i E T H L =−Θ
(10)
极小化重构误差来保证局部坐标的低维特征：
2
2
()min i
i
i k i i
L i
i
E T E T H L ==−Θ∑∑ (11)
式(11)中取最小值，即i i k i L T H +
=Θ，其中，i +Θ为i
Θ的伪逆。则重构误差又可以写成：
2
()min ()i
i k i i L i
E T T H I +=−ΘΘ∑
(12)
即：
()()T E T trace T T ==Φ
(13)
式(12)中，
为排列矩阵。，S i 满足
。为保证式(13)有唯一
解，对T 加上中心化和标准化约束。所以矩阵Φ的第2到第d+1小的特征值所对应的特征向量即为全局坐标T 。
2.2 径向基神经网络
径向基神经网络（RBFNN ）是一种可靠的前馈神经网络，一般具有三层的网络结构，能够处理系统内部难以理解的复杂的函数关系，可以到系统的最佳逼近，很好的逼近任意非线性函数。RBFNN 具有训练速度快、逼近效果好等优点，且不会陷入局部最小的麻烦。RBFNN 的基本结构分为三层：输入层、输出层和隐含层，其结构示意图如图1所示。
图1 RBFNN 基本结构
其中输入层、隐含层、输出层的节点个数分别为m 、n 、k ，x i 表示输入层第i （i=1，…，m ）个节点的输入信号，y j 表示输出层第j （i=1，…，k ）个节点的输出信号，h s （X ）为隐含层第s （s=1，…，n ）个节点的激活函数，w sj 表示连接第s 个隐含节点和第j 个输出节点的权值。
输入层主要作用为输入信息到系统中，与隐含层之间没有权值连接，不改变数据，输入信号需要进行归一化处理。
隐含层主要作用是通过激活函数对输入信息进行处理，并将处理后的数据传递到输出层，其神经元个数根据实际需要来具体确定。激活函数为径向基函数，通常使用高斯径向基函数。高斯径向基函数是一个非线性函数，可以将系统输入变换到高维进行处理，具有局部响应的特征，其表达式如下，其中，c s 和s δ为第s 个神经元激活函数的中心和宽度：
2
22(,), 1,...,s
s
x c s s h x c e
s n
δ−−
== (14)输出层主要作用是通过线性函数对隐含层的输出进行响应。其每个节点和隐含层各个节点有权值连接，通过加权求和得到径向基神经网络的最终输出，如下：
1
(,), 1,...,n
j sj s s s y w h x c j k ===∑
(15)
3 实验验证
本文利用实验室自制芯片固化炉进行固化热过程的实验，利用dSPACE 实时半实物仿真平台进行加热板控制信号的传送和固化炉温度数据的采集。3.1 实验系统
芯片固化炉的结构如图2所示，四个相同的700W 加热板均匀分布在其内部，每个加热板由一个脉宽调制信号（PWM ）控制，引线框架水平面上均匀的布置16个相同的传感器，负责采集温度信息。传感器的平面位置分布如图3
所示。
图2 芯片固化炉结构图
图3 热电偶传感器的平面分布
dSPACE 实时系统是由德国dSPACE 公司研发的一套基于MATLAB/Simulink 的实时控制与测试平台。该系统实现了与MATLAB/Simulink 的无缝连接，并可以进行代码的自动生成，无需编程即可实现控制策略的测试与应用，已广泛的应用到机器人、工业控制、无人等 领域。
本文所使用的dSPACE 实验平台以DS1006板卡为
dSPACE 系统的处理器，与主控计算机相连并进行数据交换。通过MATLAB/Simulink 制定合适的控制策略，并通过DS2103板卡和继电器将控制信号PWM 波输出到加热板上。通过热电偶传感器采集固化炉温度信号，经过DS2002板卡传输到dSPACE 系统，并输入到控制计算机
中。图4为dSPACE 实验平台的硬件框图。
图4 dSPACE 实验平台硬件框图
3.2 实验结果
实验通过dSPACE 系统控制固化炉温度到190℃左右，然后输入随机的PWM 占空比信号，其中第三个加热板的输入信号如图5所示。采集2800组实验数据，采样间隔为10s ，其中前1400组实验数据用于训练模型，后1400
组实验数据用于测试模型的效果和精度。
对训练数据使用LTSA 算法进行时空分离和降维，邻域点为13个，空间基函数的阶数为n=5，获得五阶空间基函数。其中，第二阶和第四阶的空间基函数如图6所示。
W h V
3:0 オ∄
图5 加热板3 PWM
输入信号
(a) φ2（S
）
房龙网(b) φ4（S ）
图6 第2阶与第4阶空间基函数
将时空分布的温度数据向基函数上投影得到相应的时间系数a i （t ），使用RBFNN 模型来近似时序动态特性，输入为四块加热板的PWM 输入信号，输出为时间系数，其隐藏层节点个数选为100。使用训练数据训练模型，使用测试数据验证模型的准确性。测试数据的第二阶和第四阶时间系数拟合效果如图7所示，其中蓝表示模型预测值，红表示真实值。从图中可以看出，模型具有很好的拟合准确度。
W h V
D ˄W ˅
(a) a 2（t
）
(a) a 2（t ）
图7 时间系数拟合效果
将空间基函数(S ϕ（
S ）和预测输出的时间系数()a t 进行合成，得到时空分布的温度场(,)T
S t 。为了评价所建立模型的精确度，给出以下几个误差指标。
预测误差：
一个死刑犯的遗嘱
(,)(,)(,)i i i e x t y x t y
x t =− (16)
均方根误差：
RMSE =
(17)
相对误差：
(,)(,)
i i e x t ARE y x t =
(18)
选取11号传感器观察模型在测试数据上的效果，其中图8为预测温度和实际温度对比，图9为11号传感器的相对误差（ARE ）。11号传感器的温度数据在测试数据上的最大误差为1.9697℃，最大相对误差为1.09%，相对误差基本在1%以内。因此，模型对于固化炉温度场
的预测精度是比较高的。
禁欲主义
图8 11
号传感器预测数据与实际数据对比
图9 11号传感器相对误差分布
选取最后一个时间点即28000s 时，将模型输出的温
度数据进行三阶插值，得到此时刻的固化炉温度场全局空间分布。图10为该时刻模型预测温度空间分布，图11为该时刻模型输出的相对误差分布。可以看出模型在空间上的相对误差大约都在1%以内，精度较高，可以准
确预测固化炉温度场。
图10 28000s
时模型预测温度分布
图11 28000s 时模型预测相对误差分布
中国知网首页为了展现所提出的模型与KL 方法的对比，使用同
样的实验环境和实验数据，通过KL-RBFNN 对固化炉温度场进行时空分离建模。两种方法误差对比如表1所示，从表中可以看出，所提出的基于LTSA 的时空分离策略建模精度比传统的KL 要高。
表1 两种方法的RMSE 值对比
LTSA
KL 训练数据 1.7433 2.1461测试数据
1.8467
2.3105
4 结语
1）提出了一种基于LTSA 的时空建模方法，对芯片固化炉炉温系统进行了基于数据的建模分析，实验结果可以看出，该方法对于固化热过程的建模比较有效。
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