打鱼打渔随机过程笔记
报道性摘要
2015-05-10 许铁 混沌巡洋 第一部分：为什么要研究随机过程？ 人类认识世界的历史，就是一认识和描绘各种运动的历史，从宏观的天体运动到分子的运动，到人心理的运动-我们通称为变化，就是一个东西随时间的改变。 人们最成功的描绘运动的模型是牛顿的天体运动，确定性是牛顿体系最大的特征。给定位置和速度，运动轨迹即确定。但是20实际后的科学却失去了牛顿美丽的确定性光环。
因为当人们试图描绘一些真实世界，充满复杂而未知因素的运动时候，人们发现不确定的因素（通常称之为噪音）对事物的变化至关重要，而牛顿的方法几乎难以应用。而我们所能够给出的最好的对事物变化的东西，是一套叫概率论的东西。而与之相应的产生的一个全新的研究运动的方法-随机过程, 对不确定性下的运动进行精细的数学描述。 我们周边充满了各种各样的数据，所谓大数据时代，这些数据最基本的特点就是含有巨量的噪音， 而随机过程就是从这些噪音里提取信息的武器。 拉什迪
* 其实我们生活中也处处充满“噪音”。比如说我们每天发邮件，经常有一些人时回时不回。
那些不回的人到底是忘了还是真的不想回，我们却不知道。一个书呆子统计学家会告诉你，你无法从一次的行为评判他，而要看他一贯的表现。
第一个随机过程方法的伟大胜利是爱因斯坦的布朗运动。一些小花粉在水里，受到水分子不停碰撞，而呈现随机的运动（花粉颗粒由于很小比较容易受到水分子热扰动的影响） 。 研究这些花粉的微小运动似乎有点天然呆，我们却从中到了分子世界重要的信息。而花粉那无序与多变的轨道，也为我们提供了随机运动的范式（随机游走）。
复杂网络理论及其应用 计算机生成的十个粒子的布朗运动轨迹
如果给随机过程打个比方，它就像是一个充满交叉小径的花园。你站在现在的点上，看未来的变化，未来有千万种变化的方式， 每一种可能又不断分叉变化出其它可能。 第二部分： 描述随机过程的武器
随机过程怎么研究？几样神器是不可缺少的。
1. 概率空间： 面对不可确定的未来，无非有两件事需要关心，一个是有哪些可以实现的可能，一个是每种可能的大小， 前者定义一个事件空间（态空间）， 后者定义一个数-概 率。 关键这些信息从哪里来呢？ 我们如何知道要发生什么？ 又如何知道多多大可能发生？ -- 历史。
概率论的思维基点其实是: 日光之下并无新事。 我们对未来的预测来源于对过于的经验积累， 而沟通过去经验与未来预测的工具就是概率。所谓一件事发生可能性大小，就是一件事在历史中发生的频率。
当然很多情况下概率也可以通过已知理论用演绎法推得，但是最根本的，还是由经验确定的概率。 概率，我们中学数学都学过它是一个事件出现的频率，但它的含义其实很深很深。因为一个事件出现的频率来自于历史，而概率却用于对未来的预测，因此，概率包含的一个基本假设就是未来和过去的一致性-你要用概率，你所研究的对象要有可重复性。这其实假设了概率所研究的事件具有的某种稳定性，一旦这些一个过程是一个随时间剧烈变化的过程，概率几乎就不能应用。所以这里只能说概率是一种近似，他对于研究那些比较简单的物理过程，如投掷硬币，才完全有效。 所以， 所谓概率空间，只能是一种近似，他是人类现有知识的总和， 我们用它描述已知的未知， 但是却从来无法描述未知的未知-被我们称作黑天鹅的事件，因为真正的未来，永远无法只有已知的可能性（感兴趣的请参看
本人旧文-高斯与天鹅）。在大多数时候，我们还是日光之下并无新事，因此，概论的威力依然不可小觑。 有关概率空间的思维，可以立刻灭掉一些看似烧脑实际脑残的题目： 假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车，另两扇门后面什么都没有。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一扇门后， 知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且，当然，那里什么都没有。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得到轿车？
回答这个问题的关键即事件空间，在主持人打开门之前，事件空间即车的位置有三种可能，你有1/3 的可能拿到车。当主持人选择打开门的时候， 它实际上帮你做了一个选择，那就是告你某个车库没有车，这时候事件空间发生了变化，因为你的已知变了。如果说以前的事件空间是或者你选择的车库有车（1/3）， 或者另外两个车库中的某一个有车(各1/3)。现在的情况呢？被打开的车库有车的概率变为0， 因此你选择的车库没车的情况下车的位置已经变成确定的了，概率为2/3。而原来你车库有车的选项却不受到这一事件的影响（依然1/3概率）， 所以你当然要选择换车库。 这个例子第一个说明的道理是概率是主观
的，来自于你头脑中的信息。 回过头看， 主持人的举动增加了你对两个车库的信息， 而车是不变的，所以你要根据新的信息调整概率空间。 * 此实例是好的思维方法的力量的典范，如果你没有这个事件空间的角度， 恐怕要做无数的试验了。 条件概率： 现实生活中的一般都以条件概率的形式出现，即给定一定的已知条件，信息我们会得到什么样的概率。对这一大类问题可以引出整个贝叶斯分析理论，将在后续篇章中介绍。
2. 随机变量 ： 你投掷筛子，得到6个结果，每种结果有1/6 的可能。你把态空间的种种可能性都用数字表达出来，用一套用轻度的数学语言描述， 就是随机变量。 这个东西包含所有输出的可能性以及相应的概率，这些可能性（态空间）和概率的对应关系我们称之为分布函数。如果态空间是连续的，我们就得到连续的分布函数形式。
图： 一个二维高斯分布
血竭提取物
分布函数： 血液循环系统
随机变量已经包含了两个随机过程研究的核心武器：态空间和分布函数。分布函数是提取随机过程内有用信息的第一手段。分布函数-是在大量数据中提取信息的入口。
随机变量的实现：随机变量可以看做一个实验，你在实验之前，结果是不确定的，你所有的是一团可能性。 当你做完实验，却得到一个唯一的结果，只是预先不可知。
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