[最新考纲]
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，＝tan α.
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知 识 梳 理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
| 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ＋α (k∈Z) | π＋α | －α | π－α | 药事管理－α | ＋α |
正弦 | sin α | －sinα | －sinα | sinα | cosα | cosα |
余弦 | cos α | －cosα | cosα | －cosα | sinα | －sinα |
正切 | tan α | tanα | －tanα | －tanα | | |
口诀 | | 函数名改变，符号看象限 |
| | | | | | |
3.特殊角的三角函数值
角α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 150° | 180° |
角α的弧度数 | 0 | | | | | | | π |
sin α | 0 | | | | 1 | | | 0 |
cos α | 1 | | | | 0 | － | － | －1 |
tan α | 0 | | 1 | | | － | － | 0 |
| | | | | | | | |
辨 析 感 悟
1．对三角函数关系式的理解
(1)若α，β为锐角，sin2 α＋cos2β＝1. (×)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立． (×)
(3)(教材练习改编)已知sin 欣欣百宝箱α＝，α∈，则cos α＝.(×)
2．对诱导公式的认识
(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角． (√)
(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． (√)
(6)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)
3．诱导公式的应用
(7)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝. (×)
(8)(2013·广东卷改编)已知sin＝，则cos α＝－.(×)
[感悟·提升]
1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠＋kπ，k∈Z，如(1)、(2)．
2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【例1】 (1)已知tan α＝2，则＝___________，
4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________.
(2)(2014·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝，且＜θ＜，则cos θ－sin θ的值为________．
解析 (1)＝＝＝－1，
战国时期的嵌错赏功宴乐铜壶出土于4sin波特率发生器2 α－3sin αcos α－5cos2α＝
＝＝＝1.
(2)当＜θ＜时，sin θ国际标准化比值＞cos θ，
∴cos θ－sin θ＜0，
又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，
∴cos θ－sin θ＝－.
答案 (1)－1 1 (2)－
规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin 新兴县实验小学α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝，0＜α＜π，则tan α＝______.
(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________.
解析 (1)法一 联立方程
由①得cos α＝－sin α，将其代入②，
整理得25sin2α－5sin α－12＝0.
又0＜α＜π，∴∴tan α＝－.
法二 ∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2，
即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，
∴sin α－cos α＝，
由得∴tan α＝－.
(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，①
tan2α＝9tan2β，②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③
①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cos α＝±.
答案 (1)－ (2)±
考点二 利用诱导公式化简三角函数式
【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.
(2)设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°
＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.
(2)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝
＝＝.
答案 (1)1 (2)
规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了．
(2)诱导公式应用的步骤：
任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→
0～2π的角的三角函数→锐角三角函数
注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．
【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.
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