均值不等式四个式子

均值不等式是初中数学中的基本不等式，它是由加权平均值的概念导出的。具体来说，假设一组数据为 $a_1,a_2,...,a_n$，相应的权值为 $w_1,w_2,...,w_n$，那么其加权平均值为：

$$\frac{w_1a_1+w_2a_2+...+w_na_n}{w_1+w_2+...+w_n}$$

财务危机在任意非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和任意正实数 $w_1,w_2,...,w_n$ 的情况下，均值不等式总是成立的。下面展示均值不等式的四个常见式子。

1. 算术平均数（AM）和几何平均数（GM）不等式

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对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，其算术平均数为

$$AM=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$$

其几何平均数为

$$GM=\sqrt[n]{a_a_n}$$

则有

$$AM\geq GM$$

即算术平均数不小于几何平均数。

国外育儿经2. 平均数不等式

对于一组非负实数 $a_1,a_2,...,a_n$，则有

$$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_a_n}$$干事创业

即算术平均数不小于几何平均数。

3. Cauchy不等式

对于两组实数 $a_1,a_2,...,a_n$ 和 $b_1,b_2,...,b_n$，则有

$$(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$$

即平方和的乘积不小于乘积的平方。

4. Jensen不等式

设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的凸函数，$x_1,x_2,...,x_n$ 是 $[a,b]$ 中的任意数字，$w_1,w_2,...,w_n$ 是任意正数且满足 $w_1+w_2+...+w_n=1$，则cdma1x

$$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+...+w_nf(x_n)\geq f(w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n)$$

即加权平均数在凸函数下大于等于函数的加权平均数。

本文发布于:2024-09-20 14:40:00，感谢您对本站的认可！

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