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1.2eigen中矩阵和向量的运算

1.2 矩阵和向量的运算

1.介绍

eigen给矩阵和向量的算术运算提供重载的c++算术运算符例如+，-，*或这⼀些点乘dot()，叉乘cross()等等。对于矩阵类（矩阵和向量，之后统称为矩阵

类），算术运算只重载线性代数的运算。例如matrix1*matrix2表⽰矩阵的乘法，同时向量+标量是不允许的！如果你想进⾏所有的数组算术运算，请看下

⼀节！

2.加减法

因为eigen库⽆法⾃动进⾏类型转换，因此矩阵类的加减法必须是两个同类型同维度的矩阵类相加减。

这些运算有：

双⽬运算符：+，a+b

双⽬运算符：-，a-b

单⽬运算符：-，-a

复合运算符：+=，a+=b

复合运算符：-=，a-=b

例⼦：

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()

{

Matrix2d a;

a << 1, 2,

3, 4;

MatrixXd b(2,2);

b << 2, 3,

1, 4;

std::cout << "a + b =\n" << a + b << std::endl;

std::cout << "a - b =\n" << a - b << std::endl;

std::cout << "Doing a += b;" << std::endl;

a += b;

std::cout << "Now a =\n" << a << std::endl;

Vector3d v(1,2,3);

Vector3d w(1,0,0);

std::cout << "-v + w - v =\n" << -v + w - v << std::endl;

}

3.标量乘法和除法

标量的乘除法⾮常简单：

双⽬运算符：*，matrix*scalar

双⽬运算符：*，scalar*matrix

即乘法满⾜交换律

双⽬运算符：/，matrix/scalar

矩阵中的每⼀个元素除以标量

复合运算符：*=，matrix*=scalar

复合运算符：/=，matrix/=scalar

#include <iostream>

新闻自由与言论自由#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()

{

Matrix2d a;

a << 1, 2,

3, 4;

Vector3d v(1,2,3);

std::cout << "a * 2.5 =\n" << a * 2.5 << std::endl;

std::cout << "0.1 * v =\n" << 0.1 * v << std::endl;

std::cout << "Doing v *= 2;" << std::endl;

v *= 2;

std::cout << "Now v =\n" << v << std::endl;

}

//output

a * 2.5 =

2.55

7.510

0.1 * v =

0.1

0.2

0.3

Doing v *= 2;

Now v =

4.对表达式模板的注释

在eigen中，+号算术运算符不会通过⾃⾝函数执⾏任何计算，它们只是返回⼀个表达式，来描述计算的过程。实际的计算是在执⾏等号时，整个表达式开

始进⾏计算。

⽐如：

VectorXf a(50), b(50), c(50), d(50);

...

a = 3*

b + 4*

c + 5*d;

eigen把它编译成⼀个循环，这样数组只执⾏依次运算，就像下列循环⼀样：

for(int i = 0; i < 50; ++i)

a[i] = 3*b[i] + 4*c[i] + 5*d[i];

因此，在eigen 中，你不必担⼼使⽤相当⼤的算术运算表达式，它会提供给eigen更多优化代码的机会。

5.转置和共轭

矩阵类的成员函数transpose(),conjugate(),adjoint()，分别对应矩阵的转置，共轭，共轭转置矩阵，特此说明adjoint()并不表⽰伴随矩

阵，⽽是共轭转置矩阵！！！！

例⼦：

MatrixXcf a = MatrixXcf::Random(2,2);//⽣成随机的复数类型矩阵

cout << "Here is the matrix a\n" << a << endl;

cout << "Here is the matrix a^T\n" << a.transpose() << endl;

cout << "Here is the conjugate of a\n" << a.conjugate() << endl;

cout << "Here is the matrix a^*\n" << a.adjoint() << endl;

//output

Here is the matrix a

(-0.211,0.68) (-0.605,0.823)

(0.597,0.566) (0.536,-0.33)

Here is the matrix a^T

(-0.211,0.68) (0.597,0.566)

(-0.605,0.823) (0.536,-0.33)

Here is the conjugate of a

(-0.211,-0.68) (-0.605,-0.823)

(0.597,-0.566) (0.536,0.33)

Here is the matrix a^*

(-0.211,-0.68) (0.597,-0.566)

(-0.605,-0.823) (0.536,0.33)

对于实矩阵，是没有共轭矩阵的，同时它的共轭转置矩阵（adjoint()）等于它的转置(transpose()).

对于基本的算术运算，转置和共轭转置函数返回的是矩阵的引⽤，⽽不会实际转换矩阵对象。如果你对b做anspose()，这个将在求转置矩阵的同时，

将结果赋值给b。但是如果将anspose(),eigen将会在计算a的转置完成之前开始赋值结果给a，因此，这样的赋值将不会将a替换成它的转置，⽽是：

Matrix2i a; a << 1, 2, 3, 4;

cout << "Here is the matrix a:\n" << a << endl;

a = a.transpose(); // !!! do NOT do this !!!

cout << "and the result of the aliasing effect:\n" << a << endl;

//output

Here is the matrix a:

and the result of the aliasing effect:

结果不再是a的转置，⽽是发⽣了混叠（aliasing issue）.在调试模式中，在到达断点之前，这样的错误很容易被检测到。

为了将a替换为a的转置矩阵，可以使⽤transposeInPlace()函数：

MatrixXf a(2,3); a << 1, 2, 3, 4, 5, 6;

cout << "Here is the initial matrix a:\n" << a << endl;

cout << "and after being transposed:\n" << a << endl;

//output

Here is the initial matrix a:

123

456

全国政法队伍建设工作会议

理化指标and after being transposed:

36透解祛瘟颗粒获批临床使用

同样地，对于共轭转置矩阵（adjoint()）也有类似的成员函数(adjointInPlace()).

6.矩阵-矩阵乘法和矩阵-向量乘法

矩阵乘法使⽤*运算符；

双⽬运算符：a*b

复合运算符：a*=b

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()

{

Matrix2d mat;

mat << 1, 2,

3, 4;

Vector2d u(-1,1), v(2,0);

std::cout << "Here is mat*mat:\n" << mat*mat << std::endl;

std::cout << "Here is mat*u:\n" << mat*u << std::endl;

std::cout << "Here is u^T*mat:\n" << u.transpose()*mat << std::endl;

std::cout << "Here is u^T*v:\n" << u.transpose()*v << std::endl;

std::cout << "Here is u*v^T:\n" << anspose() << std::endl;

std::cout << "Let's multiply mat by itself" << std::endl;

mat = mat*mat;

std::cout << "Now mat is mat:\n" << mat << std::endl;

}

//output

Here is mat*mat:

710

1522

Here is mat*u:

Here is u^T*mat:

Here is u^T*v:

-2

Here is u*v^T:

-2 -0

Let's multiply mat by itself

Now mat is mat:

710

1522

说明，前述表达式m=m*m可能会引起混叠的问题，但是对于矩阵乘法⽽⾔，不必担⼼：eigen将矩阵的乘法看作⼀种特殊的情况，它引⼊⼀个临时变量，

因此它将编译成以下代码：

tmp = m*m;

m = tmp;

如果你想让矩阵乘法安全的进⾏计算⽽没有混叠问题，你可以使⽤noalias()成员函数来避免临时变量的问题，例如：

7.点乘和叉乘

点乘dot()，叉乘cross().点乘也可以使⽤u.adjoint()*v。

例⼦：

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

using namespace std;

int main()

{

Vector3d v(1,2,3);

Vector3d w(0,1,2);

cout << "Dot product: " << v.dot(w) << endl;//点乘

double dp = v.adjoint()*w; // automatic conversion of the inner product to a scalar

cout << "Dot product via a matrix product: " << dp << endl;

cout << "Cross product:\n" << v.cross(w) << endl;//叉乘

}

//output

Dot product: 8

Dot product via a matrix product: 8

Cross product:

注意：叉乘只能⽤于维数为3的向量，点乘使⽤于任何维数的向量。当使⽤复数时，第⼀个变量是共轭线性运算，第⼆个是线性运算。

8.基本的算术化简计算

eigen提供⼀些简化计算将给定的矩阵或向量编程单个值，⽐如对矩阵的所有元素求和sum()，求积prod()，求最⼤值maxCoeff()和求最⼩值minCoeff()：

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace std;

int main()

{

Eigen::Matrix2d mat;

mat << 1, 2,

3, 4;

cout << "Here is mat.sum(): " << mat.sum() << endl;//对矩阵所有元素求和

cout << "Here is mat.prod(): " << mat.prod() << endl;//对矩阵所有元素求积夏洛蒂勃朗特

cout << "Here an(): " << an() << endl;//对矩阵所有元素求平均值

cout << "Here is mat.minCoeff(): " << mat.minCoeff() << endl;//取矩阵的元素最⼩值

cout << "Here is mat.maxCoeff(): " << mat.maxCoeff() << endl;//取矩阵元素的最⼤值

cout << "Here ace(): " << ace() << endl;//取矩阵元素的迹

}

//output

Here is mat.sum(): 10

Here is mat.prod(): 24

Here an(): 2.5

Here is mat.minCoeff(): 1

Here is mat.maxCoeff(): 4

Here ace(): 5

矩阵的迹返回的是矩阵对⾓线元素的和，等价于a.diagonal().sum().

同时求最⼤值和最⼩值的函数可以接受引⽤的实参，来表⽰其最⼤最⼩值的⾏数和列数：

Matrix3f m = Matrix3f::Random();

std::ptrdiff_t i, j;//i,j是⼀个整型类型

float minOfM = m.minCoeff(&i,&j);//矩阵可以接受两个引⽤参数

cout << "Here is the matrix m:\n" << m << endl;

cout << "Its minimum coefficient (" << minOfM << ") is at position (" << i << "," << j << ")\n\n";//输出最⼩值所在⾏数列数

RowVector4i v = RowVector4i::Random();

int maxOfV = v.maxCoeff(&i);//向量只接受⼀个引⽤参数

cout << "Here is the vector v: " << v << endl;

cout << "Its maximum coefficient (" << maxOfV << ") is at position " << i << endl;//输出最⼤值所在列数

//output

Here is the matrix m:

0.680.597 -0.33

-0.2110.8230.536

0.566 -0.605 -0.444

Its minimum coefficient (-0.605) is at position (2,1)

Here is the vector v: 103 -3

Its maximum coefficient (3) is at position 2

9.运算的有效性

eigen库会检查你定义的运算。通常它在编译时检查并产⽣错误信息。这些错误信息可能很长很丑，但是eigen将重要信息⽤⼤写字母来显⽰出，例如：

Matrix3f m;

Vector4f v;

v = m*v; // Compile-time error: YOU_MIXED_MATRICES_OF_DIFFERENT_SIZES

top model在许多情况下，当使⽤动态绑定矩阵时，编译器将不会在编译时检查，eigen将会在运⾏时检查，yejiuis说程序有可能因为不合法的运算⽽中断。

MatrixXf m(3,3);

VectorXf v(4);

v = m * v; // Run-time assertion failure here: "invalid matrix product"

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标签：矩阵运算转置算术向量计算

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