性质
∙两个向量的点积(内积)在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: ∙从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵:
化学在生活中的应用
这里的是单位矩阵。
∙一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是±1；如果行列式是−1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。
∙旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。
这里的指数是以泰勒级数定义的而是以矩阵乘法定义的。A矩阵叫做旋转的“生成元”。 旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。生成元可以通过 M 的矩阵对数来到。
二维空间
在二维空间中，旋转可以用一个单一的角定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐
标的列向量关于原点逆时针旋转的矩阵是:
三维空间
在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-i
θ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。
[编辑] Roll, Pitch 和 Yaw
主条目：Tait-Bryan角
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。关于右手笛卡尔坐标系的x-, y- 和z-轴的旋转分别叫做pitch, yaw和roll旋转。因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元巨葛庄
很容易表达。
∙绕x-轴的主动旋转定义为:
这里的是 roll 角。涨潮海岸
∙绕y-轴的主动旋转定义为:
生产性活动
这里的是 pitch 角。
∙绕z-轴的主动旋转定义为:
这里的是 yaw 角。
在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号, , 和；但是为了避免混淆于
欧拉角这里使用符号, 和。
任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角, , 和来刻画，并且可以表示为roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。
是在中的旋转矩阵
遥感学报在中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转 SO(3)。这里讨论的矩阵接着提供了这个的表示。更高维的情况可参见Givens旋转。
角-轴表示和四元数表示
主条目：轴角和四元数和空间旋转
在三维中，旋转可以通过单一的旋转角和所围绕的单位向量方向来定义。
这个旋转可以简单的以生成元来表达:
在运算于向量r上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：
晋中阳光农廉网角-轴表示密切关联于四元数表示。依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数Q:
这里的i, j和k是Q的三个虚部。
欧拉角表示
主条目：欧拉角
在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角来定义。有一些可能的欧拉角定义，每个都可
以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的主动旋转矩阵可表达为:
进行乘法运算生成:
因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。
[编辑]对称保持SVD表示
对旋转轴和旋转角，旋转矩阵
这里的的纵列张开正交于的空间而是度 Givens 旋转，就是说
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