2.3.3 基本⼆维变换
基本⼆维变换有⽐例变换（Scaling）、旋转变换（Rotating）、错切变换（Shearing）和平移变换（Translating）。 1）⽐例变换
温泉浴片大连雾霾⽐例变换就是将平⾯上任意⼀点的横坐标放⼤或缩⼩S11倍，纵坐标放⼤或缩⼩S22倍，即
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其中S称为⽐例变换矩阵。图2．24是⽐例变换的⼏个例⼦。图中（b）是S11=S22的情况，（C）是S11≠S21的情况
2）旋转变换
旋转变换就是将平⾯上任意⼀点绕原点旋转θ⾓，⼀般规定逆时针⽅向为正，顺时针⽅向为负。从图2．25可推出变换公式：
3）错切变换
在旋转变换矩阵中，⾮对⾓线元素有何⼏何意义？观察图2．26中的例⼦。变换矩阵中元素S21起作把图形沿X⽅向“错切”的作⽤，Y 值越⼩，错切量越⼩。S12则有将图形向Y⽅向“错切”的作⽤，同样其作⽤的⼤⼩与X值成正⽐。
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4）平移变换
平移交换指的是将平⾯上任意⼀点沿X⽅向移动C。，沿Y⽅向移动ty（图2．27），其变换公式为
由上式可见，平移交换不能直接⽤2X2矩阵来表⽰。下述齐次坐标变换矩阵则可解决这个问题。
注意：这句话关键(疑问点在于为什么⼆位转换需要3x3的矩阵)
2.3.4 齐次坐标
如把平⾯上的点P=[Xy］放到空间去表⽰为[X Y H]，使得x＝ X/H， y＝Y/H 则称［X Y H」是点 P的齐次坐标。如规定齐次坐标的第三个分量H必须是 1，则称为规范齐次坐标。P=[xy」的规范齐次坐标是[x y 1]。显然，⼆维空间中描述的点与齐次坐标空间描述的点是⼀对多的关系。使⽤齐次坐标之后，平移交换可⽤矩阵乘法表⽰如下:
注意：现在可以看到平移的时候x1=x*1+x*0+x*tx,y1=y*0+y*1+y*ty即等于相加的做法，现在所有的转换都可以使⽤矩阵乘法了
实际问题中常遇到的是较为复杂的变换，但这些均可通过⼀系列的基本变换复合⽽成。下⾯举例说明。
例1 绕任意点C=［Cx Cy］的旋转变换。图2.28总的变换可通过三个基本变换复合⽽成。先进⾏平移交换，平移量为-Cx和-Cy，然后绕原点旋转θ⾓，最后再进⾏平移量为Cx和Cy的平移变换。因此，任⼀点P经过逐次变换后的齐次坐标为
变换矩阵称为复合变换矩阵。
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例 2相对于任意点 C=［Cx Cy］的⽐例变换
与例1其复合变换阵三个变换复合⽽成。即为
由上述计算过程知，⼀个简单⽐例变换需要有三个计算步骤。对第⼀次平移，可看成是将变换物移动到坐标系的原点，第⼆次平移则可看成将变换物移回原位。
例3 相对于直线 ax+by+c=0 进⾏对称变换
此例可由五个基本变换复合⽽成，复合变换矩阵可按下式进⾏计算
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