对图像变换的分类进⾏⼀个简单的梳理：
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1、等距变换
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等距变换也叫做刚体变换，主要由⼀个旋转矩阵与⼀个平移矩阵构成，具有六⾃由度。 ⽽对于⼆维平⾯：
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当 ε=1是保向的， ε=−1是逆向的，其分块形式为：
R 是旋转矩阵。t是平移⽮量，有3个⾃由度（1旋转⾓ θ+两个平移 tx,ty），需要2组点4个⽅程求解，等距变换的不变量是：长度，⾓度，⾯积。
在等距变换下，欧⼏⾥得距离（旋转矩阵是正交的）不变（⾏列式的值为1或-1）的齐次坐标变换。
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2、相似变换
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相似变换其实是等距变换与均匀缩放的复合，在旋转矩阵上加⼊⼀个缩放因⼦，⾃由度为7（6+1）。
图像中的点⽤齐次坐标表⽰时，⼆维平⾯下：
当 s=1是保向的， s=−1是逆向的，其分块形式为：
其中 R是旋转矩阵，t是平移⽮量， s是缩放尺度，有4个⾃由度（1旋转⾓θ+2个平移 tx,ty+1个缩放尺度），需要2组点4个⽅程求解，相似变换的 不变量是:⾓度，长度的⽐例，⾯积的⽐例。
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3、仿射变换
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仿射变换是⼀个平移变换（t）和⼀个⾮均匀变换（A）的复合，A是可逆矩阵，并不要求是正交矩阵。
仿射变换的不变量是：平⾏线，平⾏线的长度的⽐例，⾯积的⽐例。⾃由度为12（9+3）。
⼆维平⾯下：
其中 A是仿射矩阵。t是平移⽮量， s是缩放尺度，有6个⾃由度（4个仿射矩阵的元素+2个平移tx,ty），需要3组点6个⽅程求解。仿射变换的 A矩阵是可以做SVD分解的，即：
D=diag(λ1,λ2) 仿射变换 A可以看作是⼀个旋转ϕ+ x,y⽅向按照⽐例因⼦ λ1,λ2的缩放+回转 −ϕ+旋转 θ的复合变换，
仿射变换的 不变量是：平⾏线，平⾏线的长度的⽐例，⾯积的⽐例。
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4、射影变换
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夏尔丹射影变换（projection transform）当图像中的点的齐次坐标的⼀般⾮奇异线性变换，射影变换就是把理想点（平⾏直线在⽆穷远处相交）变换到图像上，射影变换的不变量是：重合关系、长度的交⽐。⾃由度为15（16-1）
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当图像中的点的齐次坐标的⼀般⾮奇异线性变换。有些⽂献中把射影变换矩阵称为单应性矩阵变换矩阵如下所⽰： 其中 A是旋转矩阵。t是平移⽮量， s是缩放尺度，有8个⾃由度（矩阵中的8个h），需要4组点8个⽅程求解。同样的，射影变换的A矩阵是可以做分解的，QR分解，SVD分解都有各⾃不同的含义。我们常说的矩阵内外参数矩阵就是QR分解中的⼀种（QR分解不唯⼀），即把单应性矩阵分解成=内参矩阵 ×外参矩阵 。给定世界坐标系中的⼆维平⾯，⽤相机对⼆维平⾯拍照，通过对应点求拍摄照⽚的单应性矩阵（射影矩阵）的过程就称为 相机标定，直接⽤代数的⽅法求解参数会有⼀定的误差，在张正友的标定⽅法中，讲的就是如何通过迭代使得误差最⼩。具体可以见我写的第⼀篇⽂章 张正友相机标定法。对⼀般的两张照⽚也可以求单应性矩阵，具体的应⽤就是把其中的⼀张变换到另⼀张上，进⼀步可以做图像融合。
射影变换的 不变量是：长度的交⽐。
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