首页 > 学术百科

Eigen教程（3）之矩阵和向量的运算

转载于:

矩阵和向量的运算

提供⼀些概述和细节：关于矩阵、向量以及标量的运算。

介绍

Eigen提供了matrix/vector的运算操作，既包括重载了c++的算术运算符+/-/*，也引⼊了⼀些特殊的运算⽐如点乘dot、叉乘cross等。

对于Matrix类（matrix和vectors）这些操作只⽀持线性代数运算，⽐如：matrix1*matrix2表⽰矩阵的乘机，vetor+scalar是不允许的。如果你想执⾏⾮线性代数操作，请看下⼀篇（暂时放下）。

加减

左右两侧变量具有相同的尺⼨（⾏和列），并且元素类型相同（Eigen不⾃动转化类型）操作包括：

⼆元运算 + 如a+b

⼆元运算 - 如a-b

⼀元运算 - 如-a

复合运算 += 如a+=b

复合运算 -= 如a-=b

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()

{

Matrix2d a;

a << 1, 2,

3, 4;

MatrixXd b(2,2);

b << 2, 3,

1, 4;

std::cout << "a + b =\n" << a + b << std::endl;

std::cout << "a - b =\n" << a - b << std::endl;

std::cout << "Doing a += b;" << std::endl;

a += b;

std::cout << "Now a =\n" << a << std::endl;

Vector3d v(1,2,3);

Vector3d w(1,0,0);

std::cout << "-v + w - v =\n" << -v + w - v << std::endl;

}

输出：

a +

b =

3 5

4 8

a -

b =

-1 -1

2 0

Doing a += b;

Now a =

3 5

4 8

-v + w - v =

-1

-4

-6

标量乘法和除法

乘/除标量是⾮常简单的，如下：

钻采工艺

⼆元运算 * 如matrix*scalar

⼆元运算 * 如scalar*matrix

⼆元运算 / 如matrix/scalar

复合运算 *= 如matrix*=scalar

复合运算 /= 如matrix/=scalar

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()

{

Matrix2d a;

a << 1, 2,

3, 4;

Vector3d v(1,2,3);

std::cout << "a * 2.5 =\n" << a * 2.5 << std::endl; std::cout << "0.1 * v =\n" << 0.1 * v << std::endl; std::cout << "Doing v *= 2;" << std::endl;

v *= 2;

std::cout << "Now v =\n" << v << std::endl;

}

结果

a * 2.5 =

2.5 5

7.5 10

0.1 * v =

0.1

0.2

0.3

Doing v *= 2;

Now v =

表达式模板

这⾥简单介绍，在⾼级主题中会详细解释。在Eigen中，线性运算⽐如+不会对变量⾃⾝做任何操作，会返回⼀个“表达式对象”来描述被执⾏的计算。当整个表达式被评估完（⼀般是遇到=号），实际的操作才执⾏。

这样做主要是为了优化，⽐如

VectorXf a(50), b(50), c(50), d(50);

...

a = 3*

b + 4*

c + 5*d;

Eigen会编译这段代码最终遍历⼀次即可运算完成。

for(int i = 0; i < 50; ++i)

a[i] = 3*b[i] + 4*c[i] + 5*d[i];

因此，我们不必要担⼼⼤的线性表达式的运算效率。

转置和共轭

表⽰transpose转置

表⽰conjugate共轭

表⽰adjoint(共轭转置) 伴随矩阵

MatrixXcf a = MatrixXcf::Random(2,2);

cout << "Here is the matrix a\n" << a << endl;

cout << "Here is the matrix a^T\n" << a.transpose() << endl;

cout << "Here is the conjugate of a\n" << a.conjugate() << endl;

cout << "Here is the matrix a^*\n" << a.adjoint() << endl;

输出

Here is the matrix a

(-0.211,0.68) (-0.605,0.823)

(0.597,0.566) (0.536,-0.33)

Here is the matrix a^T

(-0.211,0.68) (0.597,0.566)

(-0.605,0.823) (0.536,-0.33)

Here is the conjugate of a

(-0.211,-0.68) (-0.605,-0.823)

(0.597,-0.566) (0.536,0.33)

Here is the matrix a^*

(-0.211,-0.68) (0.597,-0.566)

(-0.605,-0.823) (0.536,0.33)

对于实数矩阵，conjugate不执⾏任何操作，adjoint等价于transpose。

transpose和adjoint会简单的返回⼀个代理对象并不对本省做转置。如果执⾏ anspose() ，a不变，转置结果被赋值给b。如果执

⾏ anspose() Eigen在转置结束之前结果会开始写⼊a，所以a的最终结果不⼀定等于a的转置。

Matrix2i a; a << 1, 2, 3, 4;

正丁醇cout << "Here is the matrix a:\n" << a << endl;

a = a.transpose(); // do NOT do this

cout << "and the result of the aliasing effect:\n" << a << endl;

Here is the matrix a:

1 2

3 4

and the result of the aliasing effect:

1 2

2 4

这被称为“别名问题”。在debug模式，当assertions打开的情况加，这种常见陷阱可以被⾃动检测到。对 anspose() 这种操作，可以执⾏in-palce转置。类似还有adjointInPlace。

MatrixXf a(2,3); a << 1, 2, 3, 4, 5, 6;

电子科技大学学报cout << "Here is the initial matrix a:\n" << a << endl;

cout << "and after being transposed:\n" << a << endl;

Here is the initial matrix a:

1 2 3

4 5 6

and after being transposed:

1 4

2 5

3 6

矩阵-矩阵的乘法和矩阵-向量的乘法

向量也是⼀种矩阵，实质都是矩阵-矩阵的乘法。

⼆元运算 *如a*b

复合运算 *=如a*=b

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

int main()

{

ecms

Matrix2d mat;

mat << 1, 2,

3, 4;

Vector2d u(-1,1), v(2,0);

std::cout << "Here is mat*mat:\n" << mat*mat << std::endl;

std::cout << "Here is mat*u:\n" << mat*u << std::endl;

std::cout << "Here is u^T*mat:\n" << u.transpose()*mat << std::endl;

std::cout << "Here is u^T*v:\n" << u.transpose()*v << std::endl;

std::cout << "Here is u*v^T:\n" << anspose() << std::endl;

std::cout << "Let's multiply mat by itself" << std::endl;

mat = mat*mat;

std::cout << "Now mat is mat:\n" << mat << std::endl;

}

输出

Here is mat*mat:

7 10

15 22

Here is mat*u:华南热带作物学院

Here is u^T*mat:

2 2

Here is u^T*v:

-2

报告格式

Here is u*v^T:

-2 -0

2 0

Let's multiply mat by itself

Now mat is mat:

7 10

15 22

m=m*m并不会导致别名问题，Eigen在这⾥做了特殊处理，引⼊了临时变量。实质将编译为：

tmp = m*m

m = tmp

如果你确定矩阵乘法是安全的（并没有别名问题），你可以使⽤noalias()函数来避免临时变量 c.noalias() += a*b 。点运算和叉运算

dot()执⾏点积，cross()执⾏叉积，点运算得到1*1的矩阵。当然，点运算也可以⽤u.adjoint()*v来代替。

#include <iostream>

#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;

using namespace std;

int main()

{

Vector3d v(1,2,3);

Vector3d w(0,1,2);

cout << "Dot product: " << v.dot(w) << endl;

double dp = v.adjoint()*w; // automatic conversion of the inner product to a scalar

cout << "Dot product via a matrix product: " << dp << endl;

cout << "Cross product:\n" << v.cross(w) << endl;

}

输出

Dot product: 8

Dot product via a matrix product: 8

Cross product:

注意：点积只对三维vector有效。对于复数，Eigen的点积是第⼀个变量共轭和第⼆个变量的线性积。

基础的归约操作

Eigen提供了⽽⼀些归约函数：sum()、prod()、maxCoeff()和minCoeff()，他们对所有元素进⾏操作。

本文发布于:2024-09-22 04:38:54，感谢您对本站的认可！

本文链接：https://www.17tex.com/xueshu/65771.html

上一篇：线性代数发展史

下一篇：ansys 复合材料分析

标签：矩阵运算操作转置表达式变量乘法结果

留言与评论（共有 0 条评论）