求多元函数二阶偏导数的矩阵方法Ξ左亚龙 贺筱军 (空军工程大学导弹学院数学教研室 陕西三原 713800) 多元函数求偏导问题是多元函数微分学中的一项重点和难点内容。在求解这类题目时，既要严格区分自变量与中间变量，而且要注意不能丢掉偏导函数作为复合函数时的偏导数。特别求二阶偏导时，学生容易漏项，有没有比较好的方法?先考察下例: 例1 u=f(x+y,x y,x y z)，求92u 9x2
解 设t=x+y,v=x y,w=x y z，则u=f(t,v,w)，按照多元复合函数求导法则求导如下:
9u 9x=9f
9t+
9f
9v y+
9f
9w y z=f′1+y f′2+y z f′3
92u
9x2=f″11+f″12 y+f″13 y z+y f″21+y f″22 y+ y f″23 y z+y z f″31+y z f″32 y+y z f″33 y z
由二阶偏导的结果可以看出符号f″ij构成的数表具有一定的排列规律。于是推测，形如上题的一类函数:u=f(t,v,w)，其中t=Υ(x,y,z),v=Ω(x,y,z),w=<(x,y,z)，在求u对自变量x、y 和z的二阶偏导数时是否有一定的规律可循?我们对一般的多元复合函数u=f(t,v,w)求二阶偏导数:
9u
9x=f′19t
9x+f′2
9v
9x+f′3
9w
9x
92u
9x2=f″11
9t
9x
2
+f″12
9t
9x
9v
獭兔行情预测
食用菌多糖9x+f″13
9t
9x
9w
9x+f′1
92t
精神专科9x2+ f″21
9v
9x
9t
9x+f″22
9v
9x
2
+f″23
9v
9x
9w
9x+f′2
92v
9x2+ f″31
9w
9x
9t
9x+f″32
9w
9x
9v
9x+f″33
9w
9x
2
+f′3
92w
9x2
利用矩阵乘积和完全二次型表示，可将上式简洁地表示为
92u 9x2=9t
9x
9v
9x
9w
9x
f″11f″12f″13
f″21f″22f″23
f″31f″32f″33
9t
9x
9v
9x
9w
9x
+(f′1 f′2 f′3)
92t
9x2
92v
9x2
92w
9x2
同理有
92u
9x9y=f″11
王茂亮
9t
9x
9t
9y+f″12
9t
9x
9v
9y+f″13
9t
9x
9w
9y+f′1
92t
9x9y+
f″21
9v
9x
9t
9y+f″22
9v
9x
9v
复方阿司匹林9y+f″23
9v
9x
9w
9y+f′2
92v
9x9y+
f″31
9w
9x
9t
9y+f″32
9w
9x
9v
9y+f″33
9w
9x
9w
9y+f′3
92w
9x9y=
13
V o l15,N o11 M ar.,2002
高等数学研究
STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS
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9t
9x 9v 9x 9w 9x
f ″11f ″12f ″13f ″21f ″22f ″23f ″31
f ″32
f ″33
9t
9y 9v
9y 9w 9y
+f ′1f ′2f ′3
92t 9x 9y
92v
9x 9y
92w 9x 9y
类似地，我们可以依次得出92u 9x 9z ,92u
9z 2
等的表达式。可见“规律”是明显的。
同样，这种方法亦适用于二中间变量、二自变量的多元复合函数的情形以及相近的情形。如以下两例:
例2 已知u =f (x ,e x y
)，其中f 具有二阶连续偏导数，求
92u
9x 9y
。解 设t =x ,v =e x y ，按照上面的结论则有:
92u
9x 9y =
9t 9x 9v 9x
f ″11f ″12f ″21f ″229t
9y
9v 9y +f ′1f ′2
92t
9x 9y 92v 9x 9y
=
1
y e
x y
f ″11f ″12f ″21
f ″22
x e
x y
+f ′1f ′2
e
x y
+x y e x y
=
f ″11+y e x y
尾翼的作用f ″21f ″12+y e x y
f ″22
x e
x y
+e x y (1+x y )f ′2=
x e x y
f ″12+x y e
2x y
f ″22+e x y
(1+x y )f ′2
例3 已知z =f (u ,x ,y ),u =x e y
，
其中f 具有二阶连续偏导数，求92
z
9x 9y
。
解 设t =x e y ,v =x ,w =y ，则有
92z
9x 9y
=9t 9x 9v 9x 9w 9x
f ″11f ″12f ″13f ″21f ″22f ″23f ″31f ″32f ″339t
9y 9v
9y 9w 9y
+f ′1f ′2f ′3
92t 9x 9y
92v
9x 9y
92w 9x 9y
=(e y 1 0)f ″11f ″12f ″13f ″21f ″22f ″23
f ″31
f ″32
f ″33
x e
y
01
+f ′1f ′2f ′3
e
y
00
=(e y f ″11+f ″21 e y f ″12+f ″22 e y
f ″13+f ″23)
x e
y
01
+e y f ′1=
x e y (e y f ″11+f ″21)+e y f ″13+f ″23+e y
f ′1
用这种公式化的方法求常见的这几种多元复合函数的二阶偏导数时，可以避免因忽略偏导函数仍是多元复合函数的事实而产生的错误。在求这几种多元复合函数的二阶偏导数时有着较好的
效果。
23 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 15,N o 11
M ar .,2002
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