如果不熟悉线性代数的概念，要去学习⾃然科学，现在看来就和⽂盲差不多。”，然⽽“按照现⾏的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第⼆代数学模型，这就带来了教学上的困难。”
* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独⽴的性质（维度）的对象的表⽰，矩阵⼜是什么呢？我们如果认为矩阵是⼀组列（⾏）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此⼴泛的应⽤？特别是，为什么偏偏⼆维的展开式如此有⽤？如果矩阵中每⼀个元素⼜是⼀个向量，那么我们再展开⼀次，变成三维的⽴⽅阵，是不是更有⽤？ * 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样⼀种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨⼤的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下⾯，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
宫调音乐
* ⾏列式究竟是⼀个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？⾏列式与其对应⽅阵本质上是什么关系？为什么只有⽅阵才有对应的⾏列式，⽽⼀般矩阵就没有（不要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义⾏列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？⽽且，⾏列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么⼜在很多⽅⾯决定
了矩阵的性质？难道这⼀切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可⾏的？
pearson相关分析* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？新能源主题公园
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这⾥的“相似”是什么意思？
* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让⼈很惊讶，因为Ax =λx，⼀个诺⼤的矩阵的效应，竟然不过相当于⼀个⼩⼩的数λ，确实有点奇妙。但何⾄于⽤“特征”甚⾄“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么？
今天先谈谈对线形空间和矩阵的⼏个核⼼概念的理解。⾸先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根⼦之⼀，从拓扑空间开始，⼀步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是⽐较初级的，如果在⾥⾯定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满⾜完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义⾓度，就有了内积空间，内积空间再满⾜完备性，就得到希尔伯特空间。 总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，⼤致都是“存在⼀个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满⾜某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要⽤“空间”来称呼⼀些
这样的集合呢？⼤家将会看到，其实这是很有道理的。
性病混合型感染
我们⼀般⼈最熟悉的空间，毫⽆疑问就是我们⽣活在其中的（按照⽜顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是⼀个三维的欧⼏⾥德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样⼀个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是⽆穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、⾓度；4. 这个空间可以容纳运动，这⾥我们所说的运动是从⼀个点到另⼀个点的移动（变换），⽽不是微积分意义上的“连续”性的运动，事实上，不管是什么空间，都必须容纳和⽀持在其中发⽣的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在⼀种相对应的变换，⽐如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式⽽已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的⼀个对象集合，⽽变换则规定了对应空间的运动。
下⾯我们来看看线性空间。线性空间的定义任何⼀本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须⾸先得到解决，那就是：
1. 空间是⼀个对象集合，线性空间也是空间，所以也是⼀个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？
2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表⽰的？
我们先来回答第⼀个问题，回答这个问题的时候其实是不⽤拐弯抹⾓的，可以直截了当的给出答案。线性空间中的任何⼀个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例⼦：
L1. 最⾼次项不⼤于n次的多项式的全体构成⼀个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每⼀个对象是⼀个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何⼀个这样的多项式都可以表达为⼀组n+1维向量，其中的每⼀个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那⼀组基线性⽆关就可以。这要⽤到后⾯提到的概念了，所以这⾥先不说，提⼀下⽽已。
L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成⼀个线性空间。也就是说，这个线性空间的每⼀个对象是⼀个连续函数。对于其中任何⼀个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，⼀定可以到最⾼次项不⼤于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后⾯就不⽤再重复了。
所以说，向量是很厉害的，只要你到合适的基，⽤向量可以表⽰线性空间⾥任何⼀个对象。这⾥头⼤有⽂章，因为向量表⾯上只是⼀列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本⾝携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却⼜威⼒⽆穷呢？
根本原因就在于此。这是另⼀个问题了，这⾥就不说了。
下⾯来回答第⼆个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的⼀个最根本的问题。
线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的⼀个点运动到任意的另外⼀个点，都可以通过⼀个线性变化来完成。那么，线性变换如何表⽰呢？很有意思，在线性空间中，当你选定⼀组基之后，不仅可以⽤⼀个向量来描述空间中的任何⼀个对象，⽽且可以⽤矩阵来描述该空间中的任何⼀个运动（变换）。⽽使某个对象发⽣对应运动的⽅法，就是⽤代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简⽽⾔之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，⽤矩阵与向量的乘法施加运动。
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有⼈问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述
可是多么有意思啊，向量本⾝不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，⼀个空间中的对象和运动竟然可以⽤相类同的⽅式表⽰。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中⼤多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。
“矩阵是运动的描述”，到现在为⽌，好像⼤家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出⾝的⽹友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理⾥是跟微积分联系在⼀起的。我们学习微积分的时候，总会有⼈照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，⾼等数学是变量的数学，是研究运动的数学。⼤家⼝⼝相传，差不多⼈⼈都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的⼈，好像也不多。简⽽⾔之，在我们⼈类的经验⾥，运动是⼀个连续过程，从A点到B点，就算⾛得最快的光，也是需要⼀个时间来逐点地经过AB 之间的路径，这就带来了连续性的概念。⽽连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊⼈的数学⾮常强，但就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞⽑腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇⽂章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明
⽩“⾼等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的⽂章⾥，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，⽽是瞬间发⽣的变化。⽐如这个时刻在A点，经过⼀
个“运动”，⼀下⼦就“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何⼀个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们⽇常的经验的。不过了解⼀点量⼦物理常识的⼈，就会⽴刻指出，量⼦（例
如电⼦）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发⽣的，具有这样⼀种跃迁⾏为。所以说，⾃然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词⽤在这⾥，还是容易产⽣歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：
“矩阵是线性空间⾥跃迁的描述”。
可是这样说⼜太物理，也就是说太具体，⽽不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换⽤⼀个正牌的数学术语——变换，来描述这个事情。这样⼀说，⼤家就应该明⽩了，所谓变换，其实就是空间⾥从⼀个点（元素/对象）到另⼀个点（元素/对象）的跃迁。⽐如说，拓扑变换，就是在拓扑空间⾥从⼀个点到另⼀个点的跃迁。再⽐如说，仿射变换，就是在仿射空间⾥从⼀个点到另⼀个点的跃迁。附带说⼀下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述⼀个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使⽤中⽅便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学⾥应⽤的图形变换，实际上是在仿射空间⽽不是向量空间中进⾏的。想想看，在向量空间⾥相⼀个向量平⾏移动以后仍是相同的那个向量，⽽现实世界等长的两个平⾏线段当然不能被认为同⼀个东西，所以计算机图形学的⽣存空间实际上是仿射空间。⽽仿射变换的矩阵表⽰根本就是4 x 4的。⼜扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——⼏何⼯具算法详解》。
⼀旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：
“矩阵是线性空间⾥的变换的描述。”
到这⾥为⽌，我们终于得到了⼀个看上去⽐较数学的定义。不过还要多说⼏句。教材上⼀般是这么说的，在⼀个线性空间V⾥的⼀个线性变换T，当选定⼀组基之后，就可以表⽰为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定⼀组基。线性变换的定义是很简单的，设有⼀种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，
那么就称T为线性变换。
定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是⼀种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的⼀个点跃迁到另⼀个点，⽽线性变换，就是从⼀个线性空间V的某⼀个点跃迁到另⼀个线性空间W的另⼀个点的运动。这句话⾥蕴含着⼀层意思，就是说⼀个点不仅可以变换到同⼀个线性空间中的另⼀个点，⽽且可以变换到另⼀个线性空间中的另⼀个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就⼀定是线性变换，也就⼀定可以⽤⼀个⾮奇异矩阵来描述。⽽你⽤⼀个⾮奇异矩阵去描述的⼀个变换，⼀定是⼀个线性变换。有的⼈可能要问，这⾥为什么要强调⾮奇异矩阵？所谓⾮奇异，只对⽅阵有意义，那么⾮⽅阵的情况怎么样？这个说起来就会⽐较冗长了，最后要把线性变换作为⼀种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才
能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写⼀点。以下我们只探讨最常⽤、最有⽤的⼀种变换，就是在同⼀个线性空间之内的线性变换。也就是说，下⾯所说的矩阵，不作说明的话，就是⽅阵，⽽且是⾮奇异⽅阵。学习⼀门学问，最重要的是把握主⼲内容，迅速建⽴对于这门学问的整体概念，不必⼀开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，⾃乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后⾯还要⼤讲⼀番，这⾥只要把基看成是线性空间⾥的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是⼀个“对⽴⽭盾统⼀体”。这样⼀来，“选定⼀组基”就是说在线性空间⾥选定⼀个坐标系。就这意思。 好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换的⼀个描述。在⼀个线性空间中，只要我们选定⼀组基，那么对于任何⼀个线性变换，都能够⽤⼀个确定的矩阵来加以描述。”
理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的⼀个描述”区别开。⼀个是那个对象，⼀个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的⾯向对象编程中，⼀个对象可以有多个引⽤，每个引⽤可以叫不同的名字，但都是指的同⼀个对象。如果还不形象，那就⼲脆来个很俗的类⽐。⽐如有⼀头猪，你打算给它拍照⽚，只要你给照相机选定了⼀个镜头位置，那么就可以给这头猪拍⼀张照⽚。这个照⽚可以看成是这头猪的⼀个描述，但只是⼀个⽚⾯的的描述，因为换⼀个镜头位置给这头猪拍照，能得到⼀
张不同的照⽚，也是这头猪的另⼀个⽚⾯的描述。所有这样照出来的照⽚都是这同⼀头猪的描述，但是⼜都不是这头猪本⾝。
同样的，对于⼀个线性变换，只要你选定⼀组基，那么就可以到⼀个矩阵来描述这个线性变换。换⼀组基，就得到⼀个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同⼀个线性变换的描述，但⼜都不是线性变换本⾝。
但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照⽚，我怎么知道这两张照⽚上的是同⼀头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同⼀个线性变换呢？如果是同⼀个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见⾯不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以到同⼀个线性变换的矩阵兄弟们的⼀个性质，那就是：
若矩阵A与B是同⼀个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则⼀定能到⼀个⾮奇异矩阵P，使得A、B之间满⾜这样的关系：
A = P-1BP
线性代数稍微熟⼀点的读者⼀下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同⼀个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同⼀头猪的不同⾓度的照⽚也可以成为相似照⽚。俗
了⼀点，不过能让⼈明⽩。
⽽在上⾯式⼦⾥那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的⼀个变换关系。关于这个结论，可以⽤⼀种⾮常直觉的⽅法来证明（⽽不是⼀般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog⾥补充这个证明。
这个发现太重要了。原来⼀族相似矩阵都是同⼀个线性变换的描述啊！难怪这么重要！⼯科研究⽣课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，⽐如什么相似标准型，对⾓化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同⼀个线性变换的。当然，同⼀个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就⽐其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同⼀头猪的照⽚也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把⼀个⽐较丑的矩阵变成⼀个⽐较美的矩阵，⽽保证这两个矩阵都是描述了同⼀个线性变换。
这样⼀来，矩阵作为线性变换描述的⼀⾯，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有⽐这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，⽽且可以作为⼀组基的描述。⽽作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的⼀个点给变换到另⼀个点去，⽽且也能够把线性空间中的⼀个坐标系（基）表换到另⼀个坐标系（基）去。⽽且，变换点与变换坐标系，具有异曲同
⼯的效果。线性代数⾥最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数⾥很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
⾸先来总结⼀下前⾯两部分的⼀些主要结论：
1. ⾸先有空间，空间可以容纳对象运动的。⼀种空间对应⼀类对象。
2. 有⼀种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。
3. 运动是瞬时的，因此也被称为变换。
4. 矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。
5. 矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。
6. 同⼀个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是⼀样的，所以本征值相同。
下⾯让我们把视⼒集中到⼀点以改变我们以往看待矩阵的⽅式。我们知道，线性空间⾥的基本对象是向量，⽽向量是这么表⽰的：
[a1, a2, a3, ..., an]
矩阵呢？矩阵是这么表⽰的：
a11, a12, a13, ..., a1n
a21, a22, a23, ..., a2n
...
an1, an2, an3, ..., ann
不⽤太聪明，我们就能看出来，矩阵是⼀组向量组成的。特别的，n维线性空间⾥的⽅阵是由n个n维向量组成的。我们在这⾥只讨论这个n阶的、⾮奇异的⽅阵，如果⼀组向量是彼此线性⽆关的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的⼀组基，从⽽事实上成为⼀个坐标系体系，其中每⼀个向量都躺在⼀根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）。现在到了关键的⼀步。看上去矩阵就是由⼀组向量组成的，⽽且如果矩阵⾮奇异的话（我说了，只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那⼀组向量也就是线性⽆关的了，也就可以成为度量线性空间的⼀个坐标系。结论：矩阵描述了⼀个坐标系。之所以矩阵⼜是运动，⼜是坐标系，那是因为——“运动等价于坐标系变换”。对不起，这话其实不准确，我只是想让你印象深刻。准确的说法是：“对象的变换等价于坐标系的变换”。或者：“固定坐标系下⼀个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。” 说⽩了就是： “运动是相对的。”
让我们想想，达成同⼀个变换的结果，⽐如把点(1, 1)变到点(2, 3)去，你可以有两种做法。第⼀，坐标系不动，点动，把(1, 1)点挪到(2, 3)去。第⼆，点不动，变坐标系，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2，让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3，这样点还是那个点，可是点的坐标就变成(2, 3)了。⽅式不同，结果⼀样。从第⼀个⽅式来看，那就是我在《理解矩阵》1/2中说的，把矩阵看成是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的过程。在这个⽅式下，
Ma = b的意思是：
“向量a经过矩阵M所描述的变换，变成了向量b。”⽽从第⼆个⽅式来看，矩阵M描述了⼀个坐标系，姑且也称之为M。那么：
三界演义
Ma = b的意思是：
“有⼀个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a，那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量结果是b。”
这⾥的I是指单位矩阵，就是主对⾓线是1，其他为零的矩阵。⽽这两个⽅式本质上是等价的。我希望你务必理解这⼀点，因为这是本篇的关键。正因为是关键，所以我得再解释⼀下。在M为坐标系的意义下，如果把M放在⼀个向量a的前⾯，形成Ma的样式，我们可以认为这是对向量a的⼀个环境声明。
它相当于是说： “注意了！这⾥有⼀个向量，它在坐标系M中度量，得到的度量结果可以表达为a。可是它在别的坐标系⾥度量的话，就会得到不同的结果。为了明确，我把M放在前⾯，让你明⽩，这是该向量在坐标系M中度量的结果。” 那么我们再看孤零零的向量b：
b 多看⼏遍，你没看出来吗？它其实不是b，它是：
Ib
也就是说：“在单位坐标系，也就是我们通常说的直⾓坐标系I中，有⼀个向量，度量的结果是b。”
⽽ Ma = Ib的意思就是说：
“在M坐标系⾥量出来的向量a，跟在I坐标系⾥量出来的向量b，其实根本就是⼀个向量啊！”这哪⾥是什么乘法计算，根本就是⾝份识别嘛。从这个意义上我们重新理解⼀下向量。向量这个东西客观存在，但是要把它表⽰出来，就要把它放在⼀个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按⼀定顺序列在⼀起，就成了我们平时所见的向量表⽰形式。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表⽰就不同。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表⽰⽅式就不同。因此，按道理来说，每写出⼀个向量的表⽰，都应该声明⼀下这个表⽰是在哪个坐标系中度量出来的。表⽰的⽅式，就是 Ma，也就是说，有⼀个向量，在M矩阵表⽰的坐标系中度量出来的结果为a。
我们平时说⼀个向量是[2 3 5 7]T，隐含着是说，这个向量在 I 坐标系中的度量结果是[2 3 5 7]T，因此，这个形式反⽽是⼀种简化了的特殊情况。
注意到，M矩阵表⽰出来的那个坐标系，由⼀组基组成，⽽那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量⽽成的问题。也就是说，表述⼀个矩阵的⼀般⽅法，也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M，其实是 IM，也就是说，M中那组基的度量是在 I 坐标系中得出的。从这个视⾓来看，M×N也不是什么矩阵乘法了，⽽是声明了⼀个在M坐标系中量出的另⼀个坐标系N，其中M本⾝是在I坐标系中度量出来的。
回过头来说变换的问题。我刚才说，“固定坐标系下⼀个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，那个“固定对象”我们到了，就是那个向量。但是坐标系的变换呢？我怎么没看见？
请看：
Ma = Ib
我现在要变M为I，怎么变？对了，再前⾯乘以个M-1，也就是M的逆矩阵。换句话说，你不是有⼀个坐标系M吗，现在我让它乘以个M-1，变成I，这样⼀来的话，原来M坐标系中的a在I中⼀量，就得到b了。
雨鸟喷头
我建议你此时此刻拿起纸笔，画画图，求得对这件事情的理解。⽐如，你画⼀个坐标系，x轴上的衡量单位是2，y轴上的衡量单位是3，在这样⼀个坐标系⾥，坐标为(1，1)的那⼀点，实际上就是笛卡尔坐标系⾥的点(2, 3)。⽽让它原形毕露的办法，就是把原来那个坐标系:
2 0
0 3
的x⽅向度量缩⼩为原来的1/2，⽽y⽅向度量缩⼩为原来的1/3，这样⼀来坐标系就变成单位坐标系I了。保持点不变，那个向量现在就变成了(2, 3)了。
怎么能够让“x⽅向度量缩⼩为原来的1/2，⽽y⽅向度量缩⼩为原来的1/3”呢？就是让原坐标系：
2 0
0 3
被矩阵：
1/2 0
0 1/3
左乘。⽽这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
下⾯我们得出⼀个重要的结论：
“对坐标系施加变换的⽅法，就是让表⽰那个坐标系的矩阵与表⽰那个变化的矩阵相乘。”
再⼀次的，矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过，被施加运动的不再是向量，⽽是另⼀个坐标系。
如果你觉得你还搞得清楚，请再想⼀下刚才已经提到的结论，矩阵MxN，⼀⽅⾯表明坐标系N在运动M下的变换结果，另⼀⽅⾯，把M当成N 的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在M坐标系度量下，有另⼀个坐标系N。这个坐标系N如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN。
在这⾥，我实际上已经回答了⼀般⼈在学习线性代数是最困惑的⼀个问题，那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说，是因为：
1. 从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每⼀个向量施加M变换。
2. 从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另⼀个坐标系，这也归结为，对N坐标系基的每⼀个向量，把它在I坐标系中的坐标出来，然后汇成⼀个新的矩阵。
3. ⾄于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为⼀个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每⼀个向量进⾏内积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说，其实到了这⼀步，已经很容易了。
综合以上1/2/3，矩阵的乘法就得那么规定，⼀切有根有据，绝不是哪个神经病胡思乱想出来的。
我已经⽆法说得更多了。矩阵⼜是坐标系，⼜是变换。到底是坐标系，还是变换，已经说不清楚了，运动与实体在这⾥统⼀了，物质与意识的界限已经消失了，⼀切归于⽆法⾔说，⽆法定义了。道可道，⾮常道，名可名，⾮常名。矩阵是在是不可道之道，不可名之名的东西。到了这个时候，我们不得不承认，我们伟⼤的线性代数课本上说的矩阵定义，是⽆⽐正确的：
“矩阵就是由m⾏n列数放在⼀起组成的数学对象。”
好了，这基本上就是我想说的全部了。还留下⼀个⾏列式的问题。矩阵M的⾏列式实际上是组成M的各个向量按照平⾏四边形法则搭成⼀个n 维⽴⽅体的体积。对于这⼀点，我只能感叹于其精妙，却⽆法揭开其中奥秘了。也许我掌握的数学⼯具不够，我希望有⼈能够给我们⼤家讲解其中的道理了。
我不知道是否讲得⾜够清楚了，反正这⼀部分需要您花些功夫去推敲。
此外，请⼤家不必等待这个系列的后续部分。以我的⼯作情况⽽⾔，近期内很难保证继续投⼊脑⼒到
这个领域中，尽管我仍然对此兴致浓厚。不过如果还有（四）的话，可能是⼀些站在应⽤层⾯的考虑，⽐如对计算机图形学相关算法的理解。但是我不承诺这些讨论近期内会出
现了。
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议