第 2 讲
一、算律
§4-6 结合律、交换律及分配律（2课时)
（Associative Law Commutative Law and distributive law )
定义 若的代数运算，则可称是的代数运算或称二元运算。
§4、结合律：
代数运算就是二元运算，当元素个数时，譬如同时进行运算:，这已经超出了我们定义的范围，这个符号至少现在是没有意义的。皂基
对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果。两两运算的过程叫做加括号。加括号的方法显然不止一种: ；； … … …
加括号的方法不一样，其运算的结果是否一样？
例1:设“”是整数中的减法：则特取，
，而
其运算的结果不一样。
例2：设“”是整数中的加法:则
定义1:设是集合的一个代数运算，如果都有
,
则称满足结合律。
例2、 “+”在中适合结合律。
例1、“—”在中不满足结合律。
上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的。注意：
定义2:设中的代数运算为，任取个元素
，如果所有加括号的方法最后算出的结果是
一样的，那么这个结果就用来表示。
注意：从定义2可知，“"也可能是有意义的。
定理1（p11。 定理）：如果的代数运算满足结合律,那么 对于的任意个元素来说，所有加括号的方
法运算的结果总是唯一的,因此,这一唯一的结果就可用
来表示。
证明:因是有限数，所以加括号的方法必是有限的。
任取一种加括号的方法，往证:
湍流动能
对用数学归纳法。当n=2时,结论成立。假设对〈n,结论成立，即所有加括号的方法运算的结果是唯一的。设，和分别是和个元素经加括号而运算的结果.，由归纳假设，
蒙特利尔公约
§5、交换律
定义3：设是集合的一个代数运算，如果都有
,
则称满足交换律。
定理2：设的代数运算同时满足结合律和交换律,那么
中的元的次序可以任意掉换.
证明：用数学归纳法。当n=2时定理成立，假设当元素的
个数为时，定理成立,元素的个数为n时，设
是的按任意一个次序相乘的结果。这里的
是1,2，n 的一个排列，而是的一个
排列。因此，有
。所以，
满足交换律的运算一般用“+”表示。
§6、分配律
定义4：设都是集合，而是的代数运算，
而是的代数运算，如果，都有
那么称满足左分配律。
定理3：设和如上，如果满足结合律，且满足左分配律，那么，都有
[论证思路]
采用数学归纳法,归纳假设中央排水系统时命题成立。
定义5：设和同上，若，若有
,
那么称满足右分配律
定理4：设和同上,若适合结合律,
而适合右分配律。那么
。
注意:定义4与定义5，、定理3与定理4是对称的两对概念，所以定理4的证明可依据定理3的思路解之。
作业： ②，。
二、一一映射,同态及同构
§7、
1、一一映射(双射。Bijection）
在高等代数中,已对各类映射作了系列性的介绍，这里只简要的复习。
定义1、设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。
定理1：设国营农场是到的一个双射，那么由可诱导出
(可确定出）到的一个双射（通常称是的逆映射）
结论：设是映射,那么：
（1）是双射可唯一的确定一个逆映射，
使得：
；
也是的逆映射，且;
（2)是双射同时是有限集或同时是无限集。
2、变换（transformation）
定义2：设是映射，那么称为的变换。
当是双射(单射，满射）时，也称为一一变换(单射变换,满射变换)
例2
§8、同态（Homomorphism）
比较代数系统的一种方法
定义3：设集合都各有代数运算（称及为
代数系统）而是映射，且满足下面等式：
（习惯上称可保持运算）
那么称是到的同态映射.
例3、设，其中中的代数运算就是创造新体验中
的加法，而中的代数运算为数中的乘法。
不是同态映射。
例4、设与同例3，今设，
那么
如果同态映射是单射（满射）,那么自然称是同态单射（同态满射）,而在近世代数中，同态满射是尤其重要的.
定义4：若是到的同态满射，那么习惯上称
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