第３２卷第１期２０２１年２月中原工学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＺＨＯＮＧＹＵＡＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＶｏｌ．３２ Ｎｏ．１
Ｆｅｂ．２０２１
收稿日期：
２０２０－１２－０８ 基金项目：
国家自然科学基金青年基金项目（１１６０１５４２）；河南省教育厅高等学校重点科研项目（２１Ａ１１００２６） 引文格式：
云小龙，赵景服．一类具有饱和发生率的ＳＥＩＱＲ模型的动力学分析［Ｊ］．中原工学院学报，２０２１，３２（１）：７４－７８．ＹＵＮ Ｘｉａｏｌｏｎｇ，ＺＨＡＯ Ｊｉｎｇｆｕ．Ｋｉｎｅｔｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ＳＥＩＱＲ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｏｎｇｙｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２
０２１，３２（１）：７４－７８（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）． 文章编号：
１６７１－６９０６（２０２１）０１－００７４－０５一类具有饱和发生率的ＳＥＩＱＲ模型的动力学分析
云小龙，赵景服
（中原工学院理学院，河南郑州４５０００７
）摘 要： 讨论了一类具有饱和发生率的传染病ＳＥＩＱＲ模型，分析了平衡点的稳定性。首先给出了决定疾病流行与否的阈值———基本再生数Ｒ０，然后通过构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，由ＬａＳａｌｌｅ不变集原理证明了Ｒ０＜１时无病平衡点Ｐ０的全局渐近稳定性，最后利用第二加性复合矩阵理论给出了当Ｒ０＞１时地方病平衡点Ｐ＊的全局渐近稳定性。关 键 词： 传染病模型； 饱和发生率；基本再生数；全局渐近稳定性中图分类号： Ｏ１７５ 文献标志码： Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ
．ｉｓｓｎ．１６７１－６９０６．２０２１．０１．０１３Ｋｉｎｅｔｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ＳＥＩＱ
Ｒ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｉｎｃｉｄｅｎｃｅＹＵＮ Ｘｉａｏｌｏｎｇ，ＺＨＡＯ Ｊｉｎｇ
ｆｕ（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｚｈｏｎｇｙｕａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ ４５０００７，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ＳＥＩＱＲ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
ｏｆ ｔｈｅｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｓ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｖａｌｕｅ Ｒ０ｏｆ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｄｉｓｅａｓｅ ｉｓ ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｏｒ ｎｏｔ ｉｓｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｎ ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｓｅａｓｅ ｆｒｅｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍＰ０ｂｙ
ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇＬｙａｐｕｎｏｖ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ＬａＳａｌｌｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｓｅｔ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｗｈｅｎ Ｒ０＜１．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ａｄｄｉｔｉｖｅｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｍａｔｒｉｘ ｔｈｅｏｒｙ，ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｄｅｍｉｃ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍＰ＊ｗｈｅｎＲ０＞１．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ；ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ；ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｒｅｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｎｕｍｂｅｒ；ｔｈｅ ｇｌｏｂａｌ ａｓｙｍｐ－ｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
传染病是由各种病原体引起的、
通过直接接触、间接接触等方式传染给其他个体的一类疾病，严重危害人们的生命健康。本文旨在建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过定性、定量的分析，研究模型的动力学性态，以揭示疾病的流行规律，为预防控制决策
提供理论基础。本文基于ＳＩＲ仓室模型［１－３］、有饱和发生函数的ＳＩＲ模型［４－６］、ＳＥＩＳ模型［７－９］，以及
ＳＥＩＱＲ模型［１
０－１２
］等，建立了一类具有饱和发生率的ＳＥＩＱＲ模型，
给出了模型的基本再生数，讨论了无病平衡点和地方病平衡点的渐近性态，并得出了传染病被消灭或持续存在的条件。
１ 模型建立
本文研究的一类具有饱和发生率的ＳＥＩＱＲ模型，把总人口分为５个仓室：易感者Ｓ（ｔ）、潜伏者Ｅ（ｔ）、染病者Ｉ（ｔ）、隔离者Ｑ（ｔ）、恢复移出者Ｒ（ｔ）。传染病微分方程模型为
第１期云小龙，等：一类具有饱和发生率的ＳＥＩＱＲ模型的动力学分析
ｄＳｄｔ＝Λ－β
ＳＩ
１＋ｂＩ
－μＳ
ｄＥｄｔ＝β
ＳＩ
１＋ｂＩ
－（μ＋ε＋α１）Ｅ
ｄＩ
ｄｔ
＝εＥ－（μ＋γｄ＋α２＋δ１）ＩｄＱ
ｄｔ
＝α１Ｅ＋α２Ｉ－（μ＋γ＋δ２）Ｑ
ｄＲｄｔ＝γ（Ｉ＋Ｑ）＋δ１Ｉ＋δ２Ｑ－μ
烅烄
烆Ｒ
（１）
其中：Λ表示总人口的常数输入率；μ表示自然死亡率；β表示染病者与易感者的接触率；γ表示染病者和潜伏者的自然恢复率；ｄ表示染病者的因病死亡率；ε表示潜伏者转变为染病者的比率；α１、α２分别表示潜伏者和染病者被隔离的比例系数；δ１、δ２分别表示染病者和隔离者的治愈率；βＳＩ／（１＋ｂＩ）为饱和发生率函数。本模型所涉及的参数均是正常数。 将模型（１）的５个方程两端分别相加，得
ｄＮ
ｄｔ
＝
ｄ（Ｓ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｑ＋Ｒ）
ｄｔ
＝Λ－μ（Ｓ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｑ＋Ｒ）－α（Ｉ＋Ｑ）
＝Λ－μ（Ｓ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｑ＋Ｒ）（２）由方程（２）知，当疾病不存在时，人口数量Ｎ（ｔ）最
终趋向于常数Λ
μ，且当Ｎ＞Λ
μ
时，ｄＮ
ｄｔ＜
０，因此模型（１）
的解（Ｓ，Ｅ，Ｉ，Ｑ，Ｒ）最终全部趋向、进入或停留在区域Ｄ１内。
Ｄ１＝（Ｓ，Ｅ，Ｉ，Ｑ，Ｒ）∈Ｒ５＋｜Ｓ＋Ｅ＋Ｉ＋Ｑ＋Ｒ≤Λ｛｝μ（３）２ 基本再生数
由于模型（１）中前３个式子不含Ｒ，Ｑ，考虑如下子系统
ｄＳｄｔ＝Λ－β
ＳＩ
１＋ｂＩ
－μＳ
ｄＥｄｔ＝β
ＳＩ
苏小沫儿１＋ｂＩ
－（μ＋ε＋α１）Ｅ
ｄＩｄｔ＝εＥ－（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）
烅烄
烆Ｉ
（４）
模型（４）存在唯一无病平衡点Ｐ０（Λ
μ
，０，０），利用下一代矩阵法［１３］计算模型（４）的基本再生数。记
Ｆ＝
βＳＩ１＋ｂＩ
烄烆
烌
烎
０
， Ｖ＝
（μ＋ε＋α
１
）
Ｅ
－εＥ＋（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）
（）Ｉ
Ｈ，Ｗ分别是Ｆ和Ｖ关于Ｅ，Ｉ的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵，则Ｈ＝
０βΛ
μ
烄
烆
烌
烎
００
，
Ｗ＝μ
＋ε＋α１０
－εμ＋γ＋ｄ＋α２＋δ
烄
烆
烌
烎
１由矩阵ＨＷ－１的谱半径可得模型（４）的基本再生数：
Ｒ０＝ρ（ＨＷ－１）＝βΛε
μ（μ＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）
（５）３ 无病平衡点的稳定性
定理１ 当Ｒ０＜１时，无病平衡点Ｐ０局部渐近稳定；当Ｒ０＞１时，无病平衡点Ｐ０不稳定。
证明 模型（４）在无病平衡点Ｐ０处的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵为
Ｊ（Ｐ０）＝
－μ０－Λβ
μ
０－（μ＋ε＋α１）Λβ
μ
０ε－（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１
烄
烆
烌
烎
）Ｊ（Ｐ０）的特征方程为
（λ＋μ）（λ２＋ａ
１λ＋ａ２
）＝０（６）式中：ａ１＝μ＋ε＋α１＋μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１；
ａ２＝１－βΛε
μ（μ＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１（））（μ＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α
２＋δ１
）。
根据Ｒｏｕｔｈ－Ｈｕｒｗｉｔｚ定理，当且仅当ａ２＞０时，Ｐ０的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵的所有特征值都具有负实部，即当Ｒ０＜１时，无病平衡点是局部渐近稳定的。当Ｒ０＞１时，特征方程有正实根，因此无病平衡点Ｐ０不稳定。
定理２ 当Ｒ０＜１时，无病平衡点Ｐ０是全局渐近稳定的。
证明 构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数
Ｖ（ｔ）＝εＥ＋（μ＋ε＋α１）Ｉ（７）则Ｖ（ｔ）沿着模型（４）的全导数为：
Ｖ′＝ε Ｅ＋（μ＋ε＋α１） Ｉ
＝εβ
ＳＩ
１＋ｂＩ
－（μ＋ε＋α１）
［］Ｅ＋（μ＋ε＋α１）［εＥ－ （μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）Ｉ］
＝εβＳＩ－（μ＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）Ｉ
≤εβ
Λ
μ
Ｉ－（μ＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）Ｉ＝［Ｒ０－１］（μ＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）Ｉ（８）当Ｒ０＜１时，Ｖ′＝０。由ＬａＳａｌｌｅ不变集原理可知，无病平衡点Ｐ０是全局渐近稳定的。
·
５
７
·
中原工学院学报２０２１年 第３２卷
４ 地方病平衡点的稳定性
当Ｒ０＞１，模型（４）存在地方病平衡点Ｐ＊（Ｓ＊，Ｅ＊
，Ｉ＊），求解模型（４
）可得Ｓ＊＝（μ
＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）＋εｂΛε（β＋ｂμ）
Ｅ＊＝（Ｒ０－１）μ（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）（β＋ｂμ）εＩ＊＝
（Ｒ０－１）μβ＋ｂ烅烄烆μ（９
汉字与中国心
）定理３ 当Ｒ０＞１时，地方病平衡点Ｐ＊局部渐近
稳定。
证明 模型（４）在Ｐ＊处的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵为
Ｊ（Ｐ＊）＝
－βＩ＊１＋ｂＩ＊－μ
０－βＳ＊（１＋ｂＩ＊）２
β
Ｉ＊
１＋ｂＩ＊
－（μ＋
ε＋α１）β
Ｓ＊
（１＋ｂＩ
＊）２
０
ε
－（μ＋
γ＋ｄ＋α２＋δ１烄烆
烌
烎）矩阵Ｊ（Ｐ＊）
的特征方程为λ３＋ｂ１λ２
＋ｂ２λ＋ｂ３＝０
表贴电阻（１０
）式中：
ｂ１＝μ＋ε＋α１＋μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１＋βＩ＊１＋ｂＩ＊＋μ；ｂ２＝（μ＋ε＋α１）βＩ＊１＋ｂＩ＊＋（）
μ
＋（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１） βＩ
＊１＋ｂＩ＊
＋（）β＋μ
＋ε＋α１
＋μ＋γ＋ｄ＋α２
＋δ１
－ βεＳ＊（１＋ｂＩ＊）
２μ＝（２μ＋ε＋α１＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）εβＳ＊
１＋ｂＩ＊＋（）
μ
＋εβＳ＊１＋ｂＩ
＊１－１１＋ｂＩ（
）
＊；ｂ３＝（μ＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）βＩ＊
１＋ｂＩ＊＋（
）
μ
－ βεＳ＊
（１＋ｂＩ＊）２μ＝β２εＳ＊Ｉ＊（１＋ｂＩ＊）２＋βεＳ＊Ｉ＊
１＋ｂＩ
＊１－１１＋ｂＩ（）
＊。ｂ１＞０，ｂ２＞０，ｂ３＞０，ｂ１ｂ２＞ｂ３，
由Ｒｏｕｔｈ－Ｈｕｒｗｉｔｚ判据可知，矩阵的特征根均具有负实部；又由Ｌｙａｐｕｎｏｖ第一方法可得，当Ｒ０＞１时，地方病平衡点Ｐ＊是局部渐近稳定的。
为了证明Ｐ＊的全局渐近稳定性，引入引理１。设
开集Ｄ Ｒｎ，对ｘ∈Ｄ，ｘ ｆ（ｘ）∈Ｒｎ是Ｃ１
营养学报
函数，
考虑微分方程
ｘ′＝ｆ（ｘ）（１１
）设ｘ（ｔ，ｔ０）为方程（１１）满足条件ｘ（０，ｘ０）＝ｘ０
的解，称集合Ｋ为方程（１１）在Ｄ内的吸引集，对每一个紧子集Ｋ１ Ｄ，当ｔ充分大时，都有ｘ（ｔ１，
Ｋ１） Ｋ。
给出假设：
（Ｈ１）模型（４
）在Ｄ内存在一个紧吸引子集Ｋ Ｄ；
（Ｈ２）模型（４
）在Ｄ内有唯一平衡点珚ｘ∈Ｄ。引理１［１４］
若以下条件成立，则模型（４）的唯一平衡点珚ｘ
在Ｄ内是全局渐近稳定的。（１）假设（Ｈ１），（Ｈ２
）都成立；（２）模型（４）满足Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ性质；（３）对模型（４）满足Ｐ（０）∈Ｄ的每一个周期解ｘ＝ｐ（ｔ），模型（４）关于ｐ（ｔ
moea）的二阶复合模型是渐近稳定的；
（４）（－１）ｎｄｅｔ
ｆ
ｘ（珚ｘ（）
）＞０。定理４ 当Ｒ０＞１时，模型（４）
的地方病平衡点Ｐ＊是全局渐近稳定的。
证明 根据引理１，需要验证引理１的４个条件。
记Ｄ２＝｛（Ｓ，Ｅ，Ｉ）∈Ｒ３
＋｜Ｓ＋Ｅ＋Ｉ＜Λ／μ｝，
条件（Ｈ１）等价于模型（４）的一致持久性。对于模型（４）
，其一致持久性的充分必要条件等价于平衡点Ｐ０不稳定。定理１已证，当Ｒ０＞１时，无病平衡点Ｐ０是不稳定的，故模型（４）一致持久，从而（Ｈ１
）成立。平衡点Ｐ＊（Ｓ＊，Ｅ＊，Ｉ＊）是模型（４）在Ｄ２内的唯一平衡点，因此（Ｈ２
）成立。首先验证模型（４）满足Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ性质，模型（４）的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵为
Ｊ＝
－βＩ１＋ｂＩ－
μ
０－βＳ
（１＋ｂＩ）２βＩ１＋ｂＩ－（μ＋
ε＋α１）β
Ｓ（１＋ｂＩ
）２
０
ε－（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１烄烆
烌
烎
）取Ｈ＝ｄｉａｇ（
１，－１，１），则ＨＪＨ＝－β
Ｉ１＋ｂＩ
０
－βＳ
（１＋ｂＩ）２－βＩ
１＋ｂＩ－（μ＋ε＋α１）－βＳ（１＋ｂＩ）２
０
－ε
－（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１烄烆
烌
烎
）显然，ＨＪＨ的非对角线元素非正，模型（４）满足Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ性质，因此引理１的条件（２）成立。
模型（４）的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵的第二加性复合矩阵为
·
６７·
第１期云小龙，等：一类具有饱和发生率的ＳＥＩＱＲ模型的动力学分析
Ｊ［２］
＝
－βＩ
１＋ｂＩ－μ－（μ＋ε＋α１）
β
Ｓ（１＋ｂＩ）
百科影音２
β
Ｓ（１＋ｂＩ）
２
ε－βＩ
１＋ｂＩ－μ－（μ
＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）０
０
β
Ｉ１＋ｂＩ
－（μ＋ε＋α１）－（μ＋
γ＋ｄ＋α２＋δ１烄烆
烌
烎
） 沿模型（
４）任一周期解的二阶复合模型为Ｘ′＝－βＩ１＋ｂＩ－μ－（μ＋ε＋α１（）
）Ｘ＋βＳ（１＋ｂＩ）
２（Ｙ＋Ｚ）Ｙ′＝εＸ＋－βＩ
１＋ｂＩ－μ－（μ
＋γ＋ｄ＋α２＋δ１（）
）ＹＺ′＝βＩ１＋ｂＩＹ＋（－（μ＋ε＋α１）－（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１））烅烄烆
Ｚ（１２
）下面证明二阶复合模型是渐近稳定的。考虑Ｌｙａｐ
ｕｎｏｖ函数Ｖ（Ｘ，Ｙ，Ｚ；Ｓ，Ｅ，Ｉ）＝ｓｕｐ｜
Ｘ｜，ＥＩ
（｜Ｙ｜＋｜Ｚ｜｛｝
）（１３）由一致连续性可知，周期解Ｐ（ｔ）＝（Ｓ（ｔ），Ｅ（ｔ
），Ｉ（ｔ））与边界条件 Ｄ有一确定的距离。故一定存在一个常数ｃ１＞
０使得Ｖ（Ｘ，Ｙ，Ｚ；Ｓ，Ｅ，Ｉ）≥ｃ１
ｓｕｐ｛｜Ｚ｜，｜Ｙ｜，｜Ｚ｜｝（１４）对全部（Ｘ，Ｙ，Ｚ）∈Ｒ３
及（Ｓ，Ｅ，Ｉ）∈Ｐ（
ｔ），计算Ｖ的右导数。注意到
Ｄ＋｜Ｘ（ｔ）｜≤－βＩ
１＋ｂＩ－μ－（μ
＋ε＋α１（）
）
｜
Ｘ（ｔ）｜＋βＳ（１＋ｂＩ）
２（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）＝－βＩ１＋ｂＩ－μ－（μ＋ε＋α１（）
）｜Ｘ（ｔ）｜＋βＳＩ（１＋ｂＩ）２ ＥＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）（１５
）Ｄ＋｜Ｙ（ｔ）｜≤ε｜Ｘ（ｔ）｜－βＩ１＋ｂＩ＋２μ
＋γ＋ｄ＋α２＋δ（
）
１
｜Ｙ（ｔ）｜
（１６
）
Ｄ＋｜Ｚ（ｔ）｜≤βＩ１＋ｂＩ｜Ｙ（ｔ）｜－（（μ＋ε＋α１）＋（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）
）｜Ｚ（ｔ）｜（１７
）有
Ｄ＋ＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜
）＝
Ｅ′Ｅ－Ｉ′（）
ＩＥＩ（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）＋ＥＩ
（Ｄ＋（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜
））＝
Ｅ′Ｅ－Ｉ′（）
ＩＥＩ（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）＋ＥＩ
ε｜Ｘ（ｔ）｜－ＥＩβＩ１＋ｂＩ＋２μ＋γ＋ｄ＋α２
＋δ（
）１
｜Ｙ（ｔ）｜＋ＥＩβＩ１
＋ｂＩ｜Ｙ（ｔ）｜－（２μ＋ε＋α１＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）｜Ｚ（ｔ）（
）
｜＝ＥＩε｜Ｘ（ｔ）｜＋Ｅ′Ｅ－Ｉ′Ｉ－（２μ＋γ＋ｄ＋α２
＋δ１
（））ＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）－ＥＩ
（ε＋α１）
｜Ｚ（ｔ）｜≤ε
ＥＩ｜Ｘ（ｔ）｜＋Ｅ′Ｅ－Ｉ′Ｉ－（２μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１（）
）ＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜
）（１８）由式（１５）及式（１８）可得Ｄ＋｜Ｖ（ｔ）｜≤ｍａｘ｛ｇ１（ｔ），ｇ２（ｔ）｝Ｖ（ｔ）（１９
）当｜Ｘ｜≥ＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜
）时，Ｄ＋｜Ｖ（ｔ）｜＝－βＩ
１＋ｂＩ－μ－（μ
＋ε＋α１（）
）｜
Ｘ（ｔ）｜＋βＳＩ（１＋ｂＩ）２
ＥＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）≤－βＩ１＋ｂＩ－μ－（μ＋ε＋α１（）
）｜Ｘ（ｔ）｜＋βＳＩ（１＋ｂＩ）２ Ｅ
｜Ｘ（ｔ）｜＝ｇ１（ｔ）｜Ｘ（ｔ）｜＝ｇ１（
ｔ）｜Ｖ（ｔ）｜（２０）当｜Ｘ｜≤ＥＩ（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜
）时，Ｄ＋｜Ｖ（ｔ）｜＝Ｄ＋ＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）≤ε
ＥＩ｜Ｘ（ｔ）｜－Ｅ′Ｅ－Ｉ′Ｉ－（２μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１（）
）ＥＩ
（｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）（
≤εＥＩ＋Ｅ′Ｅ－Ｉ′Ｉ
－
（２μ＋γ＋ｄ＋α２
＋δ１
））ＥＩ
（Ｙ（ｔ））＋｜Ｚ（ｔ）｜＝ｇ２（ｔ）｜Ｙ（ｔ）｜＋｜Ｚ（ｔ）｜）＝ｇ２（
ｔ）｜Ｖ（ｔ）｜（２１
）将模型（４
）改写为Ｅ′Ｅ＝βＳＩ（１＋ｂＩ）Ｅ
－（μ＋ε＋α１）Ｉ′Ｉ＝εＥＩ－（
μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１烅烄烆）（２２
）由式（２０）－式（２２
）求得ｍａｘ｛ｇ１（ｔ），ｇ２（
ｔ）｝≤Ｅ′
Ｅ－μ
（２３
）因此，
∫
ω
０ｍａｘ｛ｇ１（ｔ），ｇ２（ｔ）｝ｄｔ≤ｌｎＥ（ω）Ｅ（０
）－ωμ＝－ωμ（２４）由式（１９）和式（２４）可得，ｌｉｍｔ ∞
Ｖ（ｔ）＝０。故由式
·
７７·
中原工学院学报
２０２１年 第３２卷
（１４）可知，当ｔ ∞时，
（Ｘ（ｔ），Ｙ（ｔ），Ｚ（ｔ）） ０（２５
）即二阶复合模型是渐近稳定的，这样就验证了条件（３
）。设Ｊ（Ｐ＊）是模型（４）在Ｐ＊的Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵，则ｄｅｔ（Ｊ（Ｐ＊））＝－
βＩ＊
１＋ｂＩ＊＋（
）
μ（μ
＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）－βＩ＊ε１＋ｂＩ＊·βＳ＊（１＋ｂＩ＊）
２＋βＳ＊ε（１＋ｂＩ＊）
２
βＩ＊１＋ｂＩ＊＋（）
μ＝－βＩ１＋ｂＩ＊＋（）
μ（μ
＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）＋β
Ｓ＊ε（１＋ｂＩ＊）２μ（２６
）又
βεＳ＊＝（μ＋ε＋α１）（μ＋
γ＋ｄ＋α２＋δ１）（１＋ｂＩ＊）（２７）因此ｄｅｔ（Ｊ（Ｐ＊））＝
－βＩ＊
１＋ｂＩ＊（μ
＋ε＋α１）（μ＋γ＋ｄ＋α２＋δ１）＜０（２８）则（１－）３
ｄｅｔ（Ｊ（Ｐ＊））＞０，这样就验证了引理１的全部条件满足，故Ｐ＊是全局渐近稳定的。
５ 结语
本文利用常微分方程理论和传染病动力学的相关知识，建立并研究了一类具有饱和发生率的ＳＥＩＱＲ模型，得到传染病流行与否的阈值Ｒ０，以揭示疾病的流行规律。证明了如果基本再生数Ｒ０＜１，
则疾病最终消失；如果基本再生数Ｒ０＞１，则疾病将流行，人口将稳定在地方病平衡点Ｐ＊。本文为传染病的预防和控制提供了一定的理论基础，具有现实意义。但由于本文所建立的传染病模型是一定区域内的常数人口输入，通常易感染者是随时间区域位置发生改变的，故接下来可以考虑建立偏微分方程组，讨论传染病模型的自由边界问题，使模型更加完善、结果更具现实意义。
参考文献：
［１］ ＫＥＲＭＡＣＫ Ｗ Ｏ，ＭＣＫＥＮＤＲＩＣＫ Ａ Ｇ．Ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
ｔｏｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｐｉｄｅｍｉｃｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ＴｈｅＲｏｙａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｌｏｎｄｏｎ Ｓｅｒｉｅｓ Ａ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃａｌａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，１９２７，１１５（７７２）：７００－７２１．［２］ ＴＡＰＡＳＷＩ Ｐ Ｋ，ＣＨＡＴＴＯＰＡＤＨＹＡＹ Ｊ．Ｇｌｏｂａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ
ｒｅ－ｓｕｌｔｓ ｏｆ ａ“ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ－ｉｎｆｅｃｔｉｖｅ－ｉｍｍｕｎｅ－ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ”（ＳＩＲＳ）ｅｐｉｄｅｍｉｃ ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｅｃｏｌｏｇｉｃａｌ Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ
，１９９６，８７（１／３）：２２３－２２６．
［３］ ＬＩ Ｍ Ｙ，ＧＲＡＥＦ Ｊ Ｒ，ＷＡＮＧ Ｌ，ｅｔ ａｌ．Ｇｌｏｂａｌ ｄｙ
ｎａｍｉｃｓ ｏｆ ａＳＥＩＲ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｖａｒｙｉｎｇ ｔｏｔａｌ ｐｏｐ
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作者简介：云小龙（１９９３－），男，硕士研究生，主要研究方向为非线性微分方程。Ｅ－ｍａｉｌ：４９６５０３０８６＠ｑｑ
．ｃｏｍ通信作者：赵景服（１９８０－），女，讲师，博士，主要研究方向为非线性偏微分方程。Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈｅｎｇｑｉｎｇ
１１０２＠１６３．ｃｏｍ（责任编辑：苏安婕）
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