在数字信号处理中，信号可以被转换为Z域表示，这就将离散的时间信号转换为复平面上的函数。在Z域中，我们可以观察到信号的相位和振幅响应，而这些都是由零极点分布所决定的。 诸病源侯论
最小相位滤波器是一种重要的数字滤波器，其零极点分布具有一些特征。这篇文章将讨论最小相位零极点分布的一些属性。最初，我们将从最小相位滤波器的定义开始，然后探讨Z域中的零极点分布，最后我们将简要介绍一些最小相位滤波器的应用。
最小相位滤波器
最小相位滤波器是一种具有最少相位延迟的数字滤波器。它们具有全通特性，即它们不会改变信号的振幅响应。因此，它们对于减少信号延迟非常有用。
对于一个具有传递函数$H(z)$的系统，我们可以通过对其进行因式分解得到其最小相位滤波器$H_{min}(z)$：
第一首完整的七言诗 $$H(z)=A(z)A^*(\frac 1 z)H_{min}(z)$$
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其中，$A^*(\frac 1 z)$表示$A(z)$的共轭倒数。最小相位滤波器的特征是它的零极点分布会出现在零极点平面的左半平面内。这意味着最小相位滤波器中的所有极点都在单位圆内，而所有零点都在单位圆外。 最小相位零极点分布的特征是极点都在单位圆内，而零点都在单位圆外。这种性质的原因可以通过最小相位滤波器的定义来解释。
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对于一个普通的数字滤波器，其传递函数可以写成如下形式：
其中，$z_i$和$p_j$分别是系统的零点和极点。而对于最小相位滤波器，其传递函数可以写成：
首先，由于$A(z)$是全通函数，其零点和极点分别在单位圆内外，所以$A^*(\frac 1 z)$的零极点分布可以从$A(z)$的零极点分布推导出来，在单位圆反转后位置相反。其次，最小相位滤波器的零点分布在单位圆上，这是因为其在极点相对于单位圆的位置对称。
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应用
最小相位滤波器在信号处理中有着广泛的应用。其中一个主要应用是计算系统的对数增益响应。
对于一个系统的增益响应$G(\omega)$，我们可以将其转换为分贝单位来表示：$G_{dB}=20\log_{10}|G(\omega)|$。然而，如果我们直接对$G_{dB}$求逆傅里叶变换（IDFT）得到的时间域信号会带有振荡和不合理的延迟。因此，可以将$G(\omega)$通过最小相位滤波器来近似，得到最小相位增益响应$G_{min}(\omega)$，然后再对其求逆傅里叶变换得到时间域信号。
总结
在数字信号处理中，最小相位滤波器是具有全通特性的数字滤波器。其零极点分布的特点是所有极点在单位圆内，而所有零点在单位圆外。最小相位滤波器在信号处理中有着广泛的应用，例如计算增益响应的时间域信号。
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