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中国地球科学联合学术年会 2016
中国核应急救援队康佳星胡英陈辉*冯俊
成都理工大学数学地质四川省重点实验室成都 610059
解放军体育学院时频分析在地震资料处理和解释中占有重要地位，Huang提出的EMD作为一类重要的时频分析方法在实际中得到了广泛应用。本文深入研究了VMD的基本原理，通过对理论数据及实际地震资料进行处理，对比分析了一维、二维VMD与一维、二维EMD在参数选取、分解精度、抗噪性等方面的异同及相关算法的优缺点。结果表明，VMD无论是在分解精度还是在抗噪性上均优于EMD，然而VMD未能有效改善EMD中存在的端点效应，且在VMD中参数的选取存在一定的人为因素，以上问题仍需深入研究。 1.引言
经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）是一种强有力的处理非线性非平稳信号的分解方法，但随着EMD的广泛应用，EMD的缺点也逐渐披露，如缺乏严格的数学理论模型支持、模态混叠现 象严重、对噪声及采样敏感等。基于EMD算法有许多改进算法，例如：局部均值分解(Local Mean Decomposition，LMD)，LMD利用更精确的约束优化技术代替了包络线的插补，很好地减少了端点效应的影响，但对EMD出现的模态混叠现象并没有得到明显的改进；集合经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD），EEMD针对EMD方法的不足，提出了一种噪声辅助数据的分析方法，EEMD有效地解决了EMD的模态混叠现象；完备集经验模态分解(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD)，是在EEMD基础上作进一步改进，弥补了EEMD 加噪去除不干净的问题。以上提到的基于EMD的改进算法虽在一定程度上改善了EMD的部分缺点，但本质上对信号的分解仍是基于时域的递归分解。变分模态分解（Variational Mode Decomposition，VMD）是一种基于频域的完全非递归的信号分解方法，在一定程度上克服了EMD的诸多缺点。本文首先对VMD及其二维VMD算法（2D-VMD）的基本原理进行阐述，然后利用理论数据和实际资料对比分析了一维、二维EMD和VMD的处理结果，最后给出两类方法的对比结果，为地震信号的时频分析提供应用基础。
2.方法原理
VMD是一种基于变分模型的完全非递归的信号分解方法。VMD目的是将复杂的实际信号分解为K个具有特定稀疏特性的模态函数u k，为此假设每个模态函数都围绕各自的中心频率ωk扰动，通过估算每个模态函数的带宽，从而确立使模态函数带宽之和最小的变分约束模型：
为求解该变分约束模型，同时引入二次罚函数项α和拉格朗日乘子λ，从而得到扩展的拉格朗日算子：
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通过交替算子法（ADMM）求解该算子的鞍点，从而不断得到u k、ωk、λ的更新算子，最终各个模态及相应的中心频率被一同提取出来。
2D-VMD是基于1D-VMD算法的拓展算法，2D-VMD可以将一个复杂的二维信号分解为有限个具有特定方向和振动特性的二维离散分量信号，也称为固有模态函数（intrinsic mode functions ，IMF），这里的IMF分量也可看做二维调幅—调频信号（AM-FM）。每一个模态函数是围绕在各自中
心频率附近的有限带宽。2D-VMD算法与1D-VMD算法相类似，在保证数据不失真的前提下，使子信
号带宽之和最小。不同于1D-VMD中解析信号的计算，在2D-VMD中，为了通过外差解调将二维信号的频率调制到基带，我们需要单边傅里叶谱，因此先在谱域上定义模态函数解析信号的单边傅里叶谱，进而求得二维解析信号。2D-VMD具体分解步骤如下：
（1）计算每一个模态函数的二维解析信号。
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（2）对于每一个模态，通过与指数函数的结合，即完成谱域中的频移，频移到各自估计的中心频率，从而实现将模态的频谱调制到基带。
赫冀成（3）通过对解调信号进行高斯平滑，从而估算每一个模态的带宽。
（4）得到一个使每个模态的估计带宽之和最小的变分约束模型，同时引入二次罚函数项和拉格朗日乘子算子将其变为非约束问题，然后利用交替算子法求解该问题。
3.实验分析与结论
本文首先利用VMD对含有两个余弦信号的合成信号、由不同类型信号组成的合成信号、加入随机噪声的合成信号进行处理，并就分解精度、模态个数、是否存在模态混叠现象、抗噪性与EMD进行对比说明。其次，利用VMD对地震剖面进行处理，对产生的IMF分量进行优选，并将选出来的IMF分量进行重构，对重构的信号进行时频分析，并与EMD分解效果进行对比。最后，本文将2D-VMD运用到地震剖面处理中，并与BEMD进行对比讨论。主要结论如下：
(1)利用VMD与EMD分别对理论数据及实际地震数据进行处理，结果显示VMD相较于EMD优点表现在以下几方面：①有严格的数学模型支持。②算法效率高。对信号基于谱域分解比基于时域分解更加合理且算法效率高。③较好地克服了模态混叠。本文分别利用VMD和EMD对两个频率相近的余弦信号组成的合成信号进行分解，结果显示VMD对频率相近的信号能实现更好的分离。④分解结
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果更精确。对比经VMD和EMD分解后得到的IMF分量，其中EMD分解为从高频到低频的一系列IMF分量，VMD分解后得到的IMF分量不具有此特征；从个数上说，VMD需要人为给定，EMD自适应分解为有限个IMF分量；此外VMD分解得到的每个IMF分量都是围绕各自中心频率的有限带宽，而EMD分解后得到的IMF分量频带较宽，因此VMD分解结果更精确。⑤抗噪性强。本文利用VMD与EMD对加入随机噪声的合成信号进行分解，通过改变噪声，观察VMD和EMD前后两次分解结果，结果显示VMD前后两次分解效果差异不明显，而EMD分解个数前后不同，且分量有差异，即EMD对噪声比较敏感，VMD抗噪性较强。⑥对VMD分解后得到的IMF分量进行时频分析得到的结果更能准确反映地下情况。
(2)本文利用2D-VMD与BEMD分别对地震剖面进行处理，结果显示BEMD分解后得到的信息主要集中在IMF1剖面，而IMF2剖面包含的原信号信息已经很少，IMF3、IMF4包含的原信号信息已经非常少，可作为残余分量，即BEMD仍存在严重的模态混叠现象。而经2D-VMD分解后得到的IMF 分量都是围绕各自中心频率的有限带宽，每个剖面都包含了原信号的部分有效信息，即2D-VMD克服了BEMD出现的模态混叠现象，使分解结果更精确。
(3)根据对以上实验结果的分析，不管是1D-VMD还是2D-VMD算法仍存在以下问题亟待解决：
①端点效应。实验表明，VMD分解中仍存在端点效应问题，本文中采用信号延拓来改善端点效应，但同时也增加了计算量，因此到一种合适的方法来改善VMD出现的端点效应很有必要。②参数的选择。
VMD算法中参数的确定或范围尚缺乏理论依据，如K值需要事先给定。由于VMD中每个模态的区分主要是中心频率不同，因此，刘长良采用观察中心频率的方法来确定K值。唐贵基将K值的选取与二次罚函数项的选取结合，利用粒子算法寻出最优参数组合。本文中K值的选取参照EMD或EMD改进算法对信号处理后得到的IMF分量个数，去掉其残余分量及与原信号相关性较小的IMF分量。
4.致谢
本研究由国家自然科学基金项目（41174114）、四川省科技厅重点项目（2016JY0200）四川省教育厅自然科学项目（14ZA0061、16ZB0101）、数学地质四川省重点实验室开放基金资助项目（scsxdz2013008、scsxdz2013001）、成都理工大学中青年骨干教师培养计划联合资助。
参考文献
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轻点CHINA学生CHINESE[2] K.Dragomiretskiy et al.,Two-Dimensional Variational Mode Decomposition[C],Energy Minimization Methods in Computer Vision and Pattern Recognition,2015,8932(3):197-208
tm2007[3] Ya-Juan Xue et al.,Application of the Variational-Mode Decomposition for Seismic Time-frequency
Analysis[J],IEEE Journal of Selected Topics in Applied Earth Observatios & Remote Sensing,2016,1-11
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