一 时频分析产生的背景
在传统的信号处理领域，基于Fourier 变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征，它们在传统的信号分析与处理的发展史上发挥了极其重要的作用。但是，Fourier 变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的功率谱并不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。然而，在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量（如相关函数、功率谱等）是时变函数。这时，只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示。 时频分析的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。时频分析是当今信号处理领域的一个主要研究热点，它的研究始于20世纪40年代，为了得到信号的时变频谱特性，许多学者提出了各种形式的时频分布函数，从短时傅立叶变换到Cohen 类，各类分布多达几十种。如今时频分析已经得到了许多有价值的成果，这些成果已在工程、物理、天文学、化学、地球物理学、生物学、医学和数学等领域得到了广泛应用。时频分析在信号处理领域显示出了巨大的潜力，吸引着越来越多的人去研究并利用它。
二 常见的几种时频分析方法
一般将时频分析方法分为线性和非线性两种。典型的线性时频表示有短时傅立叶变换(简记为STFT)、Gabor 展开和小波变换(Wavelet Transformation ，简记为WT)等。非线性时频方法是一种二次时频表示方法(也称为双线性)，最典型的是WVD(Wigner-Ville Distribution)和Cohen 类。
1 短时傅立叶变换STFT
为了分析语音信号，Koenig 等人提出了语谱图(Spectrogram)方法，定义为信号的短时傅立叶变换STFT 的模平方，故亦称为STFT 方法或者STFT 谱图。离散短时傅立叶变换定义如下:
()()()m j m X e m n m x n STFT ϖωϖ-∞-∞=-=
∑,
式中()n ω是时间窗函数。短时傅立叶变换的基本思想是用一个时间宽度足够窄的固定的窗函数乘时间信号，使取出的信号可以被看成平稳的，然后对取出的
这一段信号进行傅立叶变换，便可以反映出该时间宽度中的频谱变化规律，如果让这个固定的窗函数沿着时间轴移动，那就可以得到信号频谱随时间变化的规律了。光电吊舱
短时傅立叶变换(STFT)虽然有着分辨率不高等明显缺陷，但由于其算法简单，实现容易，所以在很长一段时间里成为非平稳信号分析标准和有力的工具，它己经在故障诊断的信号分析和处理中得到了广泛的应用。
2. Gabor 展开
1946年，Gabor 提出了一种同时使用频率和时间来表示一个时间函数的思想和方法，这种方法便是后来的Gabor 展开，连续的Gabor 展开公式定义如下：
()()∑∑∞-∞=∞-∞==福建交通厅厅长
m n mn mn t g a t s
式中 ()()t jn mn e mt t g t g Ω-=
系数mn a 称为Gabor 展开系数，而()t g mn 则称为(m,n)阶Gabor 基函数，T 为时间采样间隔，Ω为频率采样间隔。mn a 的积分表示形式则被称为Gabor 变换。
从定义中可以看出，Gabor 展开式将信号()t s 展开成了平移和调制窗函数的离散集合，我们仍然可以看出当窗函数已经选定的情况下，时间采样间隔T 和频率采样间隔Ω的选取是否恰当必然影响到了Gab
or 展开的完备性、唯一性和数据完整性，所以Gabor 提出保证其完备性的必要条件是π2≤ΩT ，即过采样Gabor 展开或者临界采样Gabor 展开，在实际应用当中，离散Gabor 展开一般都是需要过采样的。
为了使Gabor 基函数具有更好的时间频率局域性能，Gabor 选择了高斯函数。对于Gabor 基函数()t g mn 的选择，只要时频采样网格足够多，即处于π2>ΩT 过采样状态下，基函数可以是任何形式。有很多性能很好的窗函数可以用来构造Gabor 基函数，最常用的窗函数是矩形函数和高斯函数。
Gabor 展开的思想在很大程度上开创了时频分析的先河，近年来许多学者在Gabor 展开的离散化和有限化方面作了大量的研究工作，其中包括运用解析方法来进行临界采样Gabor 展开，运用框架理论来进行过采样Gabor 展开等等，现在Gabor 展开己经在暂态信号检测，时变滤波，图像信号处理等领域取得了成功的应用。
3.小波变换eaglelake
在短时傅立叶变换和Gabor 展开中我们都使用了固定的时间窗函数，这就引出了时间分辨率和频率分辨率的概念，时间分辨率和频率分辨率是一对矛盾。根据海森堡的测不准原理，即时间窗函数的长度越长，频率分辨率就越高，而对于
时间分辨率则越差。为了平衡时间分辨率和频率分辨率这个矛盾，可以采取对存在高频分量的部分采用高的时间分辨率和低的频率分辨率，而对于低频分量则采用高的频率分辨率和低的时间分辨率的方法，这就是多分辨分析的思想。
小波变换是一种在时间-尺度平面内，利用多分辨率分析思想分析非平稳号的方法。所谓小波，就是一个满足容许条件()⎰∞∞
-=0t ϕ的一个函数族()t b a ,ϕ
()t b a ,ϕ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a b t a ϕ1 0,,≠∈a R b a 可以看出函数族是由窗函数()t ϕ在时间上平移b ，在尺度上伸缩a ，再乘上归一化因子a 1后的结果，所以非平稳信号()t s 的连续小波变换定义为 ()()()()()[]t t S dt t t s b a WT b a b a s ,,*,,ϕϕ==⎰∞∞三权分立的弊端
深圳指数- 其中*ϕ是小波基函数ϕ的共轭。
将小波变换和短时傅立叶变换两者的基函数相比较，可以看出，小波变换基函数的尺度参数决定了小波变换的多分辨分析特性，即利用时间-尺度联合函数来分析非平稳信号的“变焦距”法，以达到分析信号局部特性的目的。
小波变换由于其本身分辨力的优良吐能，因此一经提出，很快就成了非平稳信号分析和处理的一大热点，经过近20年的发展，小波变换取得了突破性的发展，形成了多分辨分析，框架和滤波器组三大完整丰富的小波变换理论体系。现在小波变换己经被广泛地应用在信号的奇异性检测、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等等诸多领域、在分形和混沌理论中也有了很多的应用。
以上是线性时频的几种表示，它们采用基于被分析信号和具有时频局部特性的基本分析或综合函数之间的内积或扩展方法而实现的。魏格纳-威利变换(Wigner-Ville ，WVD)和Cohen 类则是采用对信号的双线性乘积进行核函数加权平均的方法来实现的非线性时频表示，它们表示的是信号的能量密度分布。 4魏格纳-威利变换
WVD 是一种二次型变换，具有许多优良的性质，但当分析多频率成分的信时，由于是二次型变换，不可避免地出现交叉项干扰，这是它的缺点，围绕这个问题，许多学者提出了改进形式，以及新的时频分布。后来，L.Cohen 将这些时频分布统一为双线性时频分布理论，给出了一个统一的数学公式，通过选取同的核函数，可以得到不同的时频分布，其中WVD 是最简单的形式。确定性时间连续信号的WVD 定义为:
()ττττd e t s t s t WVD j s Ω-∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=Ω⎰22,*
即把过去某一时间信号乘上未来某一时间信号，再对两个时间差τ求傅里叶变换。
由于其本身满足的大部分所期望的数学性质，如实值性，对称性，边缘积分特性，能量守恒，时频移位等特性，所以WVD 确实反映了非平稳信号的时变频谱特性，而且能作相关化解释，从而成为非平稳信号分析处理的一个有力的工具。但是由于其对多分量信号产生无法解释的难以抑制的所谓“交叉项干扰”，从而限制了它的发展。
WVD 本质上是一种双线性变换，它满足二次叠加原理，即令信号
()()()t bs t as t s 21+=
郑州大学文学院则WVD 二次型分布有交叉项，由此可见，信号中包括的分量成分越多，那交叉项就越多。含有n 个分量的信号，交叉项有()2
1-n n 个。对于信号项而言，它只出现在其有限时频支撑区，而交叉项则出现在各个有限时频支撑区之间，且交叉项的总能量为零，即说明信号的所有能量依然是在信号项里面，因此交叉项的出现极大的干扰了时频分布。这个缺点也抑制了二次型时频分布的推广。
1966年，L.Cohen 利用特征函数和算子理论将各种形式的时频表示方法之间的关系做了研究，指出包括STFT 谱图在内，所有的二次型时频分布都可以通过对WVD 的时频二维卷积得出，如伪Wigner-Vill
e 分布(PWD)，平滑Wigner-Vine 分布(SWD)，平滑伪Wigner-Ville 。分布(SPWD)修正平滑伪Wigner-Ville 分布(MSPWD)等等，因此将它们统称为Cohen 类时频分布。Cohen 类时频表示的一个最大特点是时移不变与频移不变特性自动满足。由于只是各种变形WVD 的统一形式，Cohen 类也避免不了交叉项干扰这个缺点。近年来发展起来的自适应时频分析，由于自适应方法潜在的优异性能，引起了人们的广泛关注，形成了非平稳信号处理领域内时频分析研究的一个新热点。
三 时频分析的优点和缺陷的讨论
时频分析以联合时频分布的形式来表示信号的特性，具有很多的优点:
1）它克服了傅里叶分析时域和频域完全分离的缺陷，将时频两域联合起来对信号进行分析，能同时考虑到两个方面的性能。
2）弥补了信号的时间能量密度和频谱能量密度不能充分描述信号的物理特性的缺陷。
3）在时频相平面上，可以精确地定位在某一时刻出现了哪些频率分量，以及某一分量出现在哪些时刻。
4）对于不同情况的信号，通过对核函数施加一些约束条件，就可以设计符合期望性能的时频分布，来满足处理信号的要求。
5）为非平稳信号的分析提供了有效的工具，为信号的分析开辟了新的途径。
时频分析虽然具有很多优点，但同时也具有不少缺点:
1）由于双线性形式的时频分布是非线性的，使得两个信号和的时频分布已不再是两个信号各自分布的和，即存在交叉项。
2）在时频域进行去噪时计算复杂，不易实现。
3）时频分布虽然反映了信号的能量分布，但不能用信号的“瞬时能量”来解释某一时刻或某一频率处的时频分布。
四时频分析的应用前景
现实中很多信号，比如语音信号，都是时变非平稳的，时变非平稳特性是现实信号的普遍规律，联合时频分析技术正是应现实的科学和工程应用需求而产生和发展起来的。对于许多信号，仅用时域或频域里的各种方法去分析往往不能揭示信号内部的局部特征和信息，而时频分析作为一种能将频谱随时间的演变关系明确表现出来的新手段，自然更符合实际应用的需要，在设备故障诊断中特别适合齿轮冲击故障、滚动轴承故障、转子支承松动故障、碰摩故障等一些具有明显非平稳特征的故障，相信随着各种算法的不断完善，时频分析必将有更广阔应用前景。
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