第三章傅里叶变换§3.1 引言§3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析§3.3典型周期信号的傅里叶级数频谱§3.4傅立叶变换§3.5典型非周期信号的傅里叶变换FT §3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换§3.7傅里叶变换的基本性质§3.8卷积特性§3.9周期信号的傅里叶变换§3.10抽样信号的傅里叶变换§3.11抽样定理第三章 复习课§3.1 引言法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分变换分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理. §3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析周期信号的傅里叶级数两种表现形式: 1: 三角函数级数2: 指数形式一周期信号展开成三角函数形式的傅里叶级数. 1 周期信号: 2 傅里叶级数展开表达式: fwnnTtftfT121110
2sin2cossincos121211110twbtwatwbtwaatf1 无限项和1110sincosnnntnwbtnwaa2 n正整数100110TttTdttfa 信号的平均值、直流分量3 1001cos12TttTndttnwtfa的偶函数是1nw4 1001sin12TttTndttnwtfb的奇函数是1nw5 补充正交三角函数系tnwtnwtwtw1111sincossincos1上的积分为零乘积在区间任何不同的两个函数的2211TT即有
肥皂水mnmndttmwtnwTTtt0coscos2111100mnmndttmwtnwTTtt0sinsin2111100nmdttmwtnwT tt0sincos10011所有nnba导系数利用正交函数系性质推3 满足狄利克雷条件：充分条件①在一个周期内若有间断点存在间断点数目应该是有限个②在一个周期内极大值和极小值数目应该是有限个③在一个周期内信号绝对可积100Tttdttf注：我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.同频率项加以合并110cosnnntnwcctf的函数都是
护士应具备的素质122sincosarctannwcbcabacnnnnnnabnnnnnn5 画频谱图幅度谱、相位谱P91页图3-1 单边谱谱线：每条线代表某一频率分量的幅度. 包络线：连接各谱线顶点的曲线.反映各频率分量的幅度变化情况6 周期信号频谱特点. ①离散谱: 离散频率点上出现在111320www ②收敛性. ③谐波性: 是各谐波频率111132nwwww二指数形式的傅里叶级数1 展开式: 6111ntjnwnntjnweFenwFtf 证明：思路由三角形式→指数形式7sincos1110nnntnwbtnwaatf食品价格连续上涨
8sincos1111211211tjnwtjnwjtjnwtjnweetnweetnw9122011 ntjnwjbatjnwjbaeeatfnnnn令10321211njbanwFnn利用欧拉公式: 得
的奇函数是的偶函数是1121111nnnnjbanwFnwbnwa把1011代入9得
12111011ntjnwtjnwenwFenwFatf00Fa令111111ntjnwntjnwenwFenwFntjnwenwFtf1121式写为nFnwF1计算傅里叶系数整数1001111ndtetfFnwFTtttjnwTn 证明：把45代入10即可. 2: 000caF21nnjnnjbaeFFn
21nnjnnjbaeFFnnnnnncFbaF212221nnncFF3 两种傅氏级数系数间的关系. 4 画复数频谱. P93页双边谱 5 周期复指数信号频谱图的特点: ①引入了负频率变量没有物理意义.只是数学推导的结果. ②一般是复函数nF 和相位谱合一相位幅度谱和的正负表示是实函数时可以用当0nnFF③三、函数的对称性与傅立叶系数关系是偶函数tftftf0nb是奇函数tftftf只含正弦项000naa是奇谐函数tf21Ttftf 1 只含直流项、余弦项3 2 波形沿时间轴平移半个周期并相对该轴上下反转此时波形不发
生变化。tft00a为偶数nbann0只含基波奇次谐波正弦余弦分量是偶谐函数tf21Ttftf4 若波形沿时间轴平移半个周期后此时波形不发生变化。tft0na为奇数nbn0只含偶次谐波分量、直流分量nTttdttfTnPF1001212内容周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开式中各谐波分量有效值的平方和即时域和频域能量守恒。四、帕塞瓦尔定理能量守恒公式证明表达式代入将tf
dttnbtnaaTPTnnn20111011sincos1dttntnbatnbtnatnbtnaaaTTnnnnnnnnnn1011121121111 10201sincos2sincossincos21dttnbtnaTaTnnnn10211211120sincos11222021nnnbaannCF 21nnnnnnnnFFFFFFP212122012202是正交函数系tt11sincos11011020TiTjidttgjidttgtg 又注满足NnnnnnntjnnntnbtnaatftnbtnaaeFtf11101110sincossincos1tftftN2tENntfN
时波形等于当任意周期函数表示为傅立叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。实际采用有限项级数代替无限项级数——有了误差方均误差衡量误差方均误差说明①五、傅立叶有限级数与最小方均
误差越丰富烈所包含的高频分量波形变化越剧的跳变沿高频分量主要影响脉冲tf ②包含的低频分量越丰富波形变化越缓慢所的顶部低频分量主要影响脉冲tftf③的不连续点。④当信号中任一频率分量的幅度和相位发生相对变化时波形发生失真。⑤吉布斯现象当选取傅立叶有限级数的项愈多在所合成的波形中出现的峰起愈靠近总跳变值的并从不连续点开始起伏振荡形式衰减下去。当所选取的项数N很大时该峰起值趋于一个常数大约等于§3.3典型周期信号的傅里叶级数频谱一：频谱图双边谱单边谱为正整数ntjnwnnnnnnneFntnwcctnwbtnwaatf11101110cossincos信号ft可以分解成一系列正弦
一滴清分量的加权和要想观察ft 中包含哪些频率分量以及各分量的相对大小关系.从表达式看不直观采用另一种表征方式.即频谱图的方式. nw相位频谱二：周期性方波信号的频谱121T1T1t 奇函数只含正弦项奇谐函数奇次谐波项奇次正弦项幅度频谱nnFC1w13w12ww1110sincosnnntnwbtnwaatf000naa为偶数为奇数nndttnwtfbnTtTn0sin201215cos3coscos5sin3sinsin2151213121215113112twtwtwtwtwt wtf2nwwww11153nc2231251wwwwww111115432的频谱画
2coscos2sin14111twtwtwtf1512212110cbacc421015.0arctan011abnc51www112www11 2n15.04三: 110cosnnntnwcctf四：周期性脉冲频谱3TtfET决定
ntjnwenwFtf11sin2221111111122111212111nwTEnwnwTEtjnwTtjnwTnsadtEedtetfFnw FTT tfTT22E33221001111111121sawFnwsawFnsawFnFnTETEwTETE06311处为wwwwwwwww11111165中国农工银行
432221TE1nwF64212122202100sin0111nwnwkksaknwnwnw 既过零点1111432wwww五：结论 1 ：周期信号的频谱具有离散性谐波性收敛性。离散性谐波性对于所有信号都成立收敛性不是对于所有信号成立对工程应用上的实际信号都成立。六：参数变化对频谱的影响。变化不变1T线疏密程度不变。即谱线间隔不变即谱不变不变1211TwT1. 减小幅值过零点向高频端移动增大幅值过零点向低频端移动变化过零点变化112TETE信号的频带变宽收敛性变差尺寸扩大收敛性变化21nwsa重要概念信号的有效频带B 信号的频带有多种定义方式工程中常用的有几种人为规定⑴以信号最大幅度的1/10为限其他部分忽略不计. ⑵以信号功率
的1/2为限其他部分忽略不计.半功率点频宽⑶以信号振幅频谱中的第一个过零点
为限.本书⑷以信号能量的90为限其他部分忽略不计. 选用哪种频带定义方式根据工程需要选用本书选3. kBBww2第一个过零点有重要的物理意义....对系统要求就高带宽度也要加宽所以要求实际系统的频频带宽由于信号本身的要传送高频信号这是一对矛盾通信系统来说在互相制约成反比和信号的频带宽度说明信号的变化速度
wB变化不变T收敛性不变包络线不变波形形状不变过零点不变不变2变化度大小谱线间隔发生变化幅变化TEwT21加密谱线间隔变小即谱线T谱线幅度将变为无穷小变为非周期信号周期信号连续谱离散谱T2 3: 信号边沿变化对频谱影响由1缓慢变化为0 211tf分量信号中包含更多的高频收敛性差频带宽度宽
的收敛性越差信号边沿越陡峭信号立即由1跳变为0 212tf1100121111TTtttjnnwdtetfTFnF时1T离散谱演变为连续谱谱线间隔01谱线图将化为乌有谱线的长度01tnF——非周期信号的频谱分析①周期信号演变为非周期信号。§3.4 傅立叶变换周期信号的频谱②③从物理概念上考虑既然成为一个信号必然含有一定的能量。无论信号怎么样分解所含能量不变。不管周期增大到什么程度频谱分布依然存在。从数学角度上看无限多的无穷小量之和仍可等于一个有限值此有限值取决于信号的能量。所以对非周期信号进行频谱分析将引入一个新的量——频谱密度函数。一：从周期信号的傅立叶级数推导出非周期信号的傅立叶变换——极限方法1Ttf周期设周期信号⑴enFtfntjn 1122111111TTtjn⑵dtetfTnF011tnFT12T式两边乘做一下变形⑶dtetfnFTnFtjn22111112dtetfnFimTnFimFtjT11121101111nF 定义称
为频谱密度指单位频带的频谱值。11021nFimFtf41dtetfFtj称为原信号即傅立叶正变换的频谱密度函数简称频谱函数。任何变换都应存在逆变换即tfF还原由511111ntjnnenFtf12011111nFnFdnn1111110ntjnnenFimtf621dwewFjwt傅立叶逆变换dtetftfFTFtjwFtf的频谱求记为deFFFTtftj211tfwF的时间函数求说明看P100图3-18 jeFFtfwF函数的频谱函数一般是复是⑴非周期信号的幅度频谱。⑵非周期信号频谱是连续谱形状与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的相位频谱。二傅立叶变换的条件绝对可积dttf的傅里叶变换一定存在tf充分条件一定绝对可积的傅里叶存在反过来若tftf不一定某些不满足绝对可积条件的信号如周期信号、阶跃信号、符号函数借助冲激函数概念也存在傅立叶变换。F w w三：傅立叶变换的几点说明1.傅立叶正变换给出了非周期信
陈道学
号的频谱数学表达式tf时间函数可以表示为频率在区间内的指数函数连续和傅立叶变换提供了信号的频率描述和时间描述之间相互变换工具。2：关于连续谱说明具有离散频谱的信号其能量集中在一些谐波分量中具有连续频谱的信号其能量集中在所有的频率中每一频率分量包含的能量则为无穷小量对周期信号是用实际振幅nC作出的对非周期信号是用密度函数F作出的。§3.5典型非周期信号的傅里叶变换FT 一：单边指数信号为正实数attetfat000tf1t求FT
jwajwtatjwtdteedtetfwF100001122wFwwFwwFwwFawa2200arctanwwwwwwwaw22是奇函数是偶函数谱是连续谱收敛性。说明非周期信号的频wwFt1tf二双边指数信号为正实数atetfta求FT 222waajwttajwtdteedtetfwF002222wFwwFwwFawaaa2wF0w三
矩形脉冲信号22tutuEtf222wjwtjwtsaEdtEedtetfwFt22tffwBBfw2:12频带宽度
2wSaEwF1412212240nnnnwwwwFE22说明一个零点以内但主要信号能量处于第围上分布在无限宽的频率范规律变化而它的频谱却以有限范围内矩形脉冲在时域集中于2wSa12242122kkwwkk22212222212kkwwkk注位谱合在一张图上为实函数幅度谱和相wF四：符号函数010001sgntttttf分析公式去求存在不过不能用但不满足绝对可积条件FTFTtsgntaettfsgn11先构造一个函数011tftfatf的特点:211wFtf求
lim10wFwFtfa思路解①11wFtf求
222001111wajwjwtatjwtatjwtdteedteedtetfwFwjwajwaawFwF22010limlim22002wFwwF
wwFw0022www ②t11sgnttft11taettfsgn1wwFw22w §3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换奇异信号在信号与系统的时域分析和频域分析中占有同样重要作用FTt 的wFttf1dtettFTjwt000jwtjwtedtettttFT一: 1：正变换
0tt1tt0wF1ww0wtw21211dwewwFTtfjwttfw2：逆变换2121wdteFTjwt21wFT去理解矩形脉冲2wEEFTttf1t1wwFttfwF1w 说明: 1白谱均匀谱在整个频率范围内频谱是均确植嫉?2δt的频谱等于常数白谱包含幅度相等的所有频率分量3在时域变化异常激烈的信号δt在频域将包含所有频率分量4时域和频域具有对称性FTt的的推导由wFt1tFT11dwejwt21t二: 思路: 1式两边对t求导tjwFTdwejwtjwt可看出21用公式表达求jwdwedwejwtFTjwtjwt21 同理: ndtdjwtFTnn2wjtFTnndwdnn存在但不满足绝对可积条件FTdttutusgn2121ttujwjwwwtFTFTtFTtuFT122121212121212sgnsgn思路方法一利用符号函数构造辅助函数三：阶越函数的FT 说明处出现冲激所以在中含直流分量将包含高频分量并且点有跳变变化迅速在
00wtuttut1tutfwwF00001attetfat011tutftfatftutf的关系与①：构造辅助函数方法二：利用单边指数函数取极限11wFtf求10limwFwFajwatfFT11②解t1tutftate1tf0a§3.7傅里叶变换的基本性质22wftFFTtftfwftFFTtfFTwF则若则2wftFwFtf即一：对称性1t21w 例 1 例2：已知
2wSaEwFE2wtfEt22tFE2t2wFE2w222cwcw2t12cw2cw21222EwEccwcw作频谱函数先把wttF12tfwF的原函数23wftF的频谱则思路1jtaFT求jwawt1121tfjwa的原函数awwajwajwaatewfee22211例4: 分析niFtfFTii321若niiiniiiFatfaFT11则二：线性即相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。wwtee211122wTeFT211即211tFT求例3 222waatae21121wte分析例：求图所示信号的FT。
2121:222222wwwSawSaSaSatfFTwFtututututf解12tft22三：奇偶虚实性考虑一般情况设ft是t的复数。即
21wjXwRwFtjftftfwjwRdtwtjwttjftfwtjwtedtetjftfwFjwtjwtsincossincos2121即有dtwttfwttfwXdtwttfwttfwRcossinsincos2121特殊情况讨论的奇函数是的偶函数是有的奇函数的偶函数是实函数wwtdttfwXwwtdttfwRwwwwXwRwFtftftftfawRwXsincos:arctan0:2212结论即wFtfwFtfwFtfwjXwRwFwjXwRwFwXwXwRwR的奇函数。的偶函数相位谱是的幅度谱是wwtfwFwF实信号的频谱具有很重要的特点正负频率部分的频谱是相互共轭的。:tftftfb是实偶函数00cos20sincos2coswtdttfwFwtdttfwXwtdttfwtdttfwR结论实偶函数的傅里叶变换仍然是实偶函数
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