2024学年江苏省南通市如皋中学高三高考保温金卷数学试题试卷 考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）
A ．
22
B ．2
C ．3
D ．2
2．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合1|2B x y x ⎧⎫ radeon 9200
==
⎨⎬-⎩⎭
，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<
D ．{|12}x x <<
3．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．93
B ．123
C ．163
D ．183
4．已知集合{}
15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M
N =（ ）
A ．{|12}x x -≤<
B ．{}|25x x -<<
C ．{|15}x x -≤<
D ．{}|02x x <<
意思自治5．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫
=⋅+
+ ⎪⎝
⎭
（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）
A ．32
π B ．
56
π C ．
76
π D ．43
π-
6．已知函数2
()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t 的
取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+
D ．(],112ln 2-∞-+
7．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A ．
12
13
B ．
1314
C ．甜菜斑蝇
2129
D ．
1415
8．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12
x π
=-
B ．12
x π
=
C ．3
x π
=-
D ．3
x π
=
9．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．20π
10．若函数3
2
()3f x ax x b =++在1x =处取得极值2，则a b -=（ ） A ．-3 B ．3
C ．-2
D ．2
11．函数
的定义域为（ ）
A ．[，3）∪（3，+∞）
B ．（-∞，3）∪（3，+∞）
C ．[，+∞）
D ．（3，+∞）
12．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sin a ＞sin b
B ．c a ＞c b
C ．a c ＜b c
D ．
11
c c b a
--＜ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知实数
满足
则
的最大值为________.
14．动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，直线AB 过(4,0)且交点P 的轨迹于,A B 两点，则以AB 为直径的圆必过_________.
15．已知公差大于零的等差数列{}n a 中，2a 、6a 、12a 依次成等比数列，则12
2
a a 的值是__________． 16．若非零向量a ，
b 满足,6
a b π
=
，3a =，7a b +=，则b =______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：22
22:1x y C a b +=（0a b >>），四点()111P ，，()201P ，，3212P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，，4212P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B ，.P 是椭圆C 上异于A B ，的动点，求APB ∠的正切的最大值. 18．（12分）已知函数()1621f x x =--． （1）解不等式()2f x x ≤+；
郑道传（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．
19．（12分）已知函数2()126ln a
f x x a x x
=+--存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 的极大值点和极小值点分别为1x 和2x ，且()()1226f x f x e <-+，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数）
20．（12分）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为p ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每k 个()5k ≤一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1k +次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验 次 数为X ．
（1）求X 的分布列及其期望；
（2）（i ）试说明，当p 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少； （ii ）当0.1p =时，求使该方案最合理时k 的值及1000件该产品的平均检验次数．
21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形.//.223AB CD AD DC ==，且PAD 与ABD 均为正三角形.E 为AD 的中点,G 为PAD 重心,AC 与BD 相交于点F .
(1)求证://GF 平面PDC ； (2)求三棱锥G PCD -的体积.
22．（10分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）. （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表： 时间（小时） [0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
男
生
女
生 总
计 每周平均体育锻炼时间不超过2小时 每周平均体育锻炼时间超过2小时 总计
附：K 2()()()()
2
()
库仑定律教案
n ad bc a b c d a c b d -=
++++. P （K 2≥k 0） 0.100 0.050 0.010 0.005 0k
2.706
3.841
6.635
7.879
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解题分析】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，
新世纪健康饮食可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 2
2
MF MN =
，故()12
2222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
，即可求解. 【题目详解】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：
则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，
而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．
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