⽬录
局部均值分解(local meanvdecomposition，LMD)是 Smith 等⼈于2005年提出，该算法可以⾃适应将复杂的⾮平稳信号分解成⼀系列的乘积函数(product function，PF)，每个 PF函数有明确的物理意义(由包络信号和纯调频信号相乘得到)，包络信号即瞬时幅值函数，纯调频信号可以求得瞬时频率。 ⼀、LMD 算法
1、基本原理
LMD算法的具体步骤如下：
1）出输⼊信号 的所有局部极值点 ，计算相邻局部极值点的均值 和包络估计值 ，计算公式为：
2）将 各点⽤直线连接并采⽤移动平均⽅法进⾏平滑处理，得到局部均值函数 ，同理，将 各点⽤直线连接并采⽤移动平均⽅法进⾏平滑处理，得到包络估计函数 。
巴塞杜氏病3）将局部均值函数 从原始信号 中分离出得到 ，并⽤包络估计函数 对其进⾏解调，可得。
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4）将 视为输⼊信号 ，重复上述步骤得到 。若 ，则说明 不是纯调频函数，重复上述迭代步骤 次，直到 为纯调频函数，即 。
5）将迭代过程中的所有包络估计函数相乘得到包络信号 ，即瞬时幅值函数。6）将包络信号 和纯调频信号 相乘得到原始信号 的第⼀个分量。
分量的瞬时幅值就是包络信号 ，瞬时频率为：
7）将 分量从原始信号 中分离出来：
8）将 作为原始信号 重复以上步骤，循环 次，
直到 为单调函数。
x (t )n i m i a i m =i (n +i n )/2；a =i +1i ∣n −i n ∣/2
玩具滑翔机制作i +1m i m (t )11a i a (t )11m (t )11x (t )h (t )11a (t )11S (t )11h (t )=11x (t )−m (t )；S (t )=1111h (t )/a (t )
1111S (t )11x (t )a (t )12a (t )=12 1S (t )11n S (t )1n a (t )=n →∞lim
1n 1a (t )1a (t )=1a (t )a (t )...a (t )=11121n a (t )k =1∏n
1k a (t )1S (t )1n x (t )PF (t )1PF (t )=1a (t )S (t )
11n PF (t )1a (t )1f (t )=12π1dt
d [arccos (S (t ))]
1n PF (t )1x (t )u (t )=1x (t )−PF (t )摇摇变
1u (t )1x (t )k u (t )k
利⽤LMD算法对信号进⾏分解后，各分量与原始信号的关系如下：
2、算法的优缺点
LMD ⽅法是⼀种基于 EMD ⽅法发展⽽来的新的时频分解⽅法，它的出发点在于从原信号中更加合理地⾃适应分解出符合信号固有时频属性的稳态⼦波成分，同样属于⼀种经验分解⽅法，相对于 EMD 在端点效应、过包络、⽋包络等⽅⾯有⼀定的优势，减少了迭代次数，提⾼了运算效率。但是在端点效应和模态混叠问题上仍有较⼤的改进空间。
石门一中苏光⼆、LMD 应⽤+MATLAB 代码
利⽤LMD算法对信号进⾏分解后，通过筛选最优的IMF分量进⾏重构，可以实现信号的去噪；也可以将LMD与近似熵、样本熵结合，作为⼀种特征提取⽅法。
1、去噪
⾸先使⽤LMD分解，获得⼀系列由⾼频到低频分布的乘积函数（product functions，PF）；通过计算原始信号与各个PF分量之间的相关系数，确定含噪信号与有效信号之间的分界位置，将分界分量之前的分量剔除，实现初步降噪。然后，针对LMD分解结果中的残留噪声，使⽤SVD法，以加权能量贡献率（percent of contribution to total energy，PCTE）作为奇异值阶数的确定⽅法，对分界PF分量进⾏降噪处理，实现⼆次滤波。
2、特征提取
3、改进VMD 分解
1）快速⾃适应局部均值分解（Fast and Adaptive Local Mean Decomposition，FALMD）
采⽤顺序统计滤波器求取信号上下包络线的均值来获得局部均值函数及包络估计函数，然后将信号分解为若⼲PF分量及⼀个残余分量。该算法⼀⽅⾯改变了 LMD 严格的终⽌条件，提⾼了运算速率，另⼀⽅⾯减少了对极值点的依赖，在⼀定程度上抑制了端点效应。
2）改进LMD算法在微电⽹电能质量扰动信号检测中的应⽤
从边界条件、包络估计和筛选停⽌准则等⽅⾯对 LMD 算法进⾏改进：提出四点波形曲率延拓，寻最优匹配波形⽤以改善“端点效应”。采⽤三次样条函数插值提⾼计算速度，使得筛选过程更快，间接减⼩了“端点效应”和“模态混叠”的影响。进⼀步提出了⾃适应筛选停⽌准则，通过内外层循环判据确定筛选停⽌条件，从⽽抑制“模态混叠”。
3）Robust Local Mean Decomposition (RLMD)
RLMD是⼀种改进的局部均值分解，由⼀组优化策略⽀持。优化策略可以处理LMD中的边界条件、包络估计和筛选停⽌准则。它同时从混合信号中提取⼀组单分量信号（称为乘积函数）及其相关解调信号（即AM信号和FM信号），这是与其他⾃适应信号处理⽅法（如EMD）相⽐最吸引⼈的特征。RLMD可⽤于时频分析。
MATLAB代码以及对应的案例在下⾯的链接⾥：
参考⽂献
[1] Smith J S. The local mean decomposition and its application to EEG perception data[J]. Journal of the Royal Society Interface, 2005, 2(5): 443-454.
[2] 林江刚, 胡正新, 李晶, 等. 低转速下基于AE信号与LMD的滚动轴承故障诊断[J]. 动⼒⼯程学报, 2019, 292(04): 293-298.
[3] 董林鹭, 蒋若⾠, 徐奴⽂, 等. 基于LMD–SVD的微震信号降噪⽅法研究[J]. ⼯程科学与技术, 2019, 51(05): 126-136.
丛文景[4] 徐艳春, ⾼永康, 李振兴, 等. 改进LMD算法在微电⽹电能质量扰动信号检测中的应⽤[J]. 电⽹技术, 2019, 422(01): 332-341.
[5] 张坤, 马朝永, 胥永刚, 等. 快速⾃适应局部均值分解及轴承故障诊断应⽤[J]. 振动⼯程学报, 2020.
[6] Zhiliang Liu, Yaqiang Jin, Ming J. Zuo, et al. Time-frequency representation based on robust local mean decomposition for multi-component AM-FM signal analysis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2017, 95: 468-487.x (t )=PF (t )+u (t )
i =1∑k i k
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