徐胜利，蔡园武2)，牛 飞，程耿东
（大连理工大学，大连 116024）
摘要 拓扑优化中，为避免数值不稳定并满足可制造性要求，必须采用一些控制策略。本文提出了一种基于Heaviside 函数的体积守恒型过滤方法。与以前的Heaviside函数过滤方法不同，本文提出的新方法是体积守恒的，从而保证了优化过程的稳定。通过最小柔顺性问题，该方法与另外四种方法进行了比较。结果表明新方法能得到清晰的拓扑构型，而且优化过程更稳定。
关键词拓扑优化，过滤，体积守恒，Heaviside函数
1 引言
在经典的连续体拓扑优化中（Bendsøe and Kikuchi 1988; Bendsøe 1989），经常存在两种数值困难：棋盘格和网格依赖性（Cheng and Olhoff, 1981）。棋盘格指的是拓扑优化结果中出现的像棋盘一样的黑白交替区域。网格依赖性，又称作解的存在性，指的是不同的网格产生不同的结果。这两种现象会使优化过程不稳定（Sigmund and Petersson, 1998），甚至得不到所期望的结果。为了避免出现以上问题，有必要采用一些控制策略（Sigmund and Petersson, 1998）。
过去20年中，各种控制策略层出不穷。相关的最早文献可以追溯到Niordson于1983年发表的文章。自基于密度法的拓扑优化方法出现以来（Bendsøe 1989），Ambrosio and Buttazzo (1993) 提出了一种周长控制法，Haber et al (1996) 把这种方法用在拓扑优化中。同一时期，Sigmund (1994) 提出了敏度过滤方法。该方法由于简单有效，被广泛应用于拓扑优化设计中。不久，又出现了基于梯度的控制方法（Bendsøe, 1995; Petersson and Sigmund, 1998; Borrvall, 2001; Zhou et al, 2001）。然后，出现了密度过滤方法（Bourdin, 2001; Bruns and Tortorelli, 2001）。当然，还有其他一些方法，如水平集方法（Sethian and Wiegmann, 2000; Wang et al, 2003; Allaire et al, 2004），小波参数法（Kim and Yoon, 2000; Poulsen, 2002），以及相场法（Bourdin and Chambolle, 2003; Wang and Zhou, 2004）等。
在这些方法中，过滤方法是最受欢迎的控制策略之一。在最初的敏度过滤方法（Sigmund, 1994）和密度过滤方法（Bruns and Tortorelli, 2001; Bourdin, 2001）之上，一些学者提出了一些变化形式，如修正的密度过滤法（Guo and Gu, 2004），双向密度法（Wang and Wang, 2005），带有Heaviside函数的密度过滤法（Guest et al, 2004），改进的带有Heaviside函数的密度过滤法（Sigmund, 2007），新的敏度过滤法（Borrvall, 2001），不带权重的敏度过滤法（Sigmund, 2001），平均敏度过滤法（Sigmund, 2007），双向敏度过滤法（Wang and Wang, 2005）等。最近，Sigmund (2007) 提出了一类基于形态学的密度过滤方法，能够得到清晰的0/1拓扑构型，并带有最小尺寸约束。总的来
说，敏度过滤方法和密度过滤方法通常简单有效，但是结果中往往会出现灰边界，这就给拓扑特征的提取带来了困难。通过减小过滤半径，灰区域会有所减少，但是结果中会出现更多的细小结构。采用Heaviside 函数的密度过滤和基于形态学的密度过滤方法可以有效消除灰区域，但是还存在其他问题，如体积守恒和算法稳定性等。
本文综合Heaviside函数过滤方法（Guest et al, 2004）和改进的Heaviside函数过滤方法（Sigmund, 2007），提出了一种体积守恒型Heaviside函数过滤方法。后面将会看到，体积守恒是过滤中一个非
1)国家自然科学基金 (90816025) 资助
2)*******************
常重要的特点。它将使优化过程更加稳定，收敛更快。
本文内容主要如下：第2节给出最小柔顺性优化问题的提法；第3节介绍目前已有的几种过滤方法；第4节详细描述了体积守恒型Heaviside 函数过滤方法；第5节是不同过滤方法的结果比较与讨论；第6节是总结。
2 最小柔顺性问题
考虑一个简单的带有材料用量约束的最小柔顺性拓扑优化问题。设计区域是一个悬臂梁，如图1所示。
F
40
图1 最小柔顺性问题
用的双线性四边形单元对设计区域进行离散。算例采用基于密度的拓扑优化方法，即：设计变量是每个单元的密度。采用改进的SIMP 材料模型，即杨氏模量用单元密度表示为：
04201×e ρ()()[]1 ,0 ,min 0min ∈−+=e p e e E E E E ρρρ (1)
其中是一个小量，代表空材料的杨氏模量，以防止刚度阵奇异；是实心材料的杨氏模量，min E 0E p 是惩罚因子。它们分别取为：，泊松比3,1,9.10min ==−=p E e E 3.0=ν。
优化问题可以写成以下形式：
()()1
0:011::..:min *
*≤≤≤−=−====∑∑ρρρρρe e e e
e e T
e T V v V V g t s
吃菜养心
f F
KU u k u KU U (2)
这里K 、U 和分别是总体刚度阵、位移向量和力向量。对应的小写形式代表的是单元上的值。，0对应于单位杨氏模量时的单元刚度阵，*V 是材料用量，是单元的体积。目
标函数对设计变量的敏度为：
F ()()e k ρ0
e e e e E k k ρ==e k e v e
().,,*0
1min 0V v g E E p f e e e p e e
e e e
e T e e =∂∂−=∂∂∂∂−=∂∂−ρρρρρk k u k u (3)
值得注意的是在密度过滤方法中，(1)-(3)中应该使用物理密度，即过滤后的密度。 3 过滤方法
3.1 敏度过滤
敏度过滤方法最早由Sigmund (1994) 提出，形式为：
()()∑∑∈∈∂∂=∂∂e e N i i e N i i i
i e w f w f x x ρρρρ(4)
其中，是目标函数或约束函数，是单元e 的密度，是与单元相邻的单元，即中心落在以单元e 的中心为圆心，f e ρe N e R 为半径所画的圆内的单元。
{}
R i N e i e ≤−=x x | (5)
i x 是单元的中心点坐标，是权重： i ()i w x ()e
i i R w x x x −−= (6)
3.2 密度过滤 密度过滤方法是Bruns and Tortorelli (2001) 提出的，公式为：
()()∑∑∈∈=e e N i i i N i i i
i e v w v w x x ρρ (7) 过滤后的密度e ρ对过滤前的密度i ρ的一阶导数为：
()()∑∈=∂∂e N j j
j i i i
e v w v w x x ρρ (8) 目标函数对设计变量
竹子化石f e ρ的敏度可以通过链式法则求出：
∑∈∂∂∂∂=∂∂e N i e i i e f f ρρρρ (9)
3.3 Heaviside 函数过滤
为了得到0/1形式的离散解，Guest (2004) 用Heaviside 函数修改了上节中得到的过滤后的密度
e ρ： ⎩⎨⎧≤<==10100~e e e ρρρ (10)
通过引入一个变量β，使Heaviside 阶梯函数(10)光滑化：
βρβρρ−−+−=e e e e e
1~(11) 下图是(11)中β取不同值时的函数曲线：
上海
图2 β取不同值时的光滑化Heaviside 函数 e ρ~对e ρ的一阶导数为： β
ρββρρ−−+=∂∂e e e e e ~ (12)
目标函数对设计变量的敏度通过链式法则求出： f e ρ∑∈∂∂∂∂∂∂=∂∂e N i e i i ρρi i e f f ρρρρ~~(13)
3.4 改进的Heaviside 函数过滤
基于上节中的Heaviside 函数过滤方法，Sigmund (2007) 提出了一种改进形式：
⎩⎨⎧=<≤=11100~e e e ρρρ (14)
同样可以得到它的光滑形式：
出租车资源配置()()βρβρρ−−−−−=e e e e e
1~1 (15) 下图是β取不同值时的函数曲线：
图3 β取不同值时光滑化的改进的Heaviside 函数 e ρ~对e ρ的一阶导数为： ()β
ρββρρ−−+=∂∂e e e e e 1~ (16)
4 基于Heaviside 函数的体积守恒型密度过滤
4.1 新的Heaviside 函数
陕西电视台购物频道
为了满足体积守恒，构造这样一种Heaviside 函数：当ηρ<≤e 0时，0~=e ρ；当1≤<e ρη时，1~=e ρ；当ηρ=e
时，ηρ=e ~。这里η是新引进的一个变量，且[]1 0,∈η。新Heaviside 函数可以表示为： 1010~≤<=<≤⎪⎩
⎪⎨⎧=e e e e ρηηρη
ρηρ (17)
同样的，把它光滑化： ()()[]()()()()()[]
101111~11≤<=<≤⎪⎩⎪⎨⎧+−−+−−−−=−−−−−−−e e e e e e e e e e e e ρηηρηρηηηρηηηρηρβηηρββηρβ (18) 其中有两个参数：β和η。
建设项目环境保护分类管理名录注意：当ηρ=e 时，(18)中的第一项和第三项都等于η，所以新Heaviside 函数(18)是一个连续函数： ()()[]()()()()()[]⎩⎨⎧≤<+−−+−−≤≤−−=−−−−−−−111101~11e e e e e e e e e e e ρηηηηρηηρηρηρβηηρββηρβ (19) 下面是β和η取不同值时的新Heaviside 函数曲线：
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议