第59卷第1期吉林大学学报(理学版)V o l.59 N o.1 2021年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n)J a n2021
d o i:10.13413/j.c n k i.j d x b l x b.2020253
胡传丰1，任靖雯1，胡慧1，蔺宏伟1,2
(1.浙江大学数学科学学院，杭州310027;
待业青年
2.浙江大学计算机辅助设计与图形学国家重点实验室，杭州310058)摘要：利用等几何分析方法求解薄板多孔结构最小柔度拓扑优化问题，在材料均匀分布的设 环境与资源保护委员会计域中实现最佳的特征参数分布，以提高薄板多孔结构的力学性能.通过三向周期极小曲面
(T P M S)设计多孔单元，并分析多孔单元特征参数与材料分布间的关系.该方法以多孔单元 特征参数为优化变量求解优化问题，保证了静力平衡分析过程中应力函数的连续性，提高了
计算精度.同时基于优化结果设计多孔结构可调控多孔单元数，且多孔单元间光滑连接.
关键词：多孔结构；三向周期极小曲面；等几何分析；拓扑优化
中图分类号:T P391;O29文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2021)01-0065-12 T o p o l o g y O p t i m i z a t i o n f o rP a r a m e t r i cP o r o u s
袁木S t r u c t u r eB a s e d o n I s o-G e o m e t r i cA n a l y s i s
HU C h u a n f e n g1,R E NJ i n g w e n1,HU H u i1,L I N H o n g w e i1,2
(1.S c h o o l o f M a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,Z h e j i a n g U n i v e r s i t y,H a n g z h o u310027,C h i n a;
2.S t a t eK e y L a b o r a t o r y o f C A D&C G,Z h e j i a n g U n i v e r s i t y,H a n g z h o u310058,C h i n a)
A b s t r a c t:W e u s e d i s o-g e o m e t r i c a n a l y s i s m e t h o d t o s o l v e t h e m i n i m u m c o m p l i a n c e t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n f o r t h e t h i n p l a t e p o r o u s s t r u c t u r e,a n d t h e o p t i m a l c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r d i s t r i b u t i o n w a s r e a l i z e d i n t h ed e s i g nd o m a i no f u n i f o r m l y d i s t r i b u t e dm a t e r i a l s,w h i c h i m p r o v e d t h em e c h a n i c a l p e r f o r m a n c e o f t h et h i n p l a t e p o r o u ss t r u c t u r e.T h et r i p l y
p e r i o d i c m i n i m a ls u r f a c e(T P M S)w a s p r e s e n t e d t o d e s i g n t h e p o r o u s e l e m e n t,a n d t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e p o r o u s e l e m e n t c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r a n d t h em a t e r i a l d i s t r i b u t i o nw a s a n a l y z e d.T h e p o r o u s e l e m e n t c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r sw e r et a k e na so p t i m i z a t i o nv a r i a b l e st os o l v et h eo p t i m i z a t i o n p r o b l e mi nt h e p r o p o s e d m e t h o d,w h i c he n s u r e d t h e c o n t i n u i t y o f s t r e s s f u n c t i o n i nt h e p r o c e s so f s t a t i ce q u i l i b r i u ma n a l y s i s
a n d i m p r o v e d t h e c a l c u l a t i o n a c c u r a c y.M e a n w h i l e,t h e n u m
b e r o f p o r o u s e l e m e n t s
c o u l
d b
e c o n t r o l l e d
b y d e s i g n i n gp o r o u s s t r u
c t u r eb a s e do no p t i m i z a t i o n r e s u l t s,a n
d t h
e p o r o u s e l e m e n t sw e r e c o n n e c t e d s m o o t h l y.
K e y w o r d s:p o r o u s s t r u c t u r e;t r i p l y p e r i o d i c m i n i m a l s u r f a c e(T P M S);i s o-g e o m e t r i c a n a l y s i s; t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n
收稿日期:2020-08-31.
第一作者简介：胡传丰(1994 )，男，回族，博士研究生，从事几何建模设计和拓扑优化的研究,E-m a i l:h u b u r y@z j u.e d u.c n.通信作者简介：蔺宏伟(1973 )，男，汉族，博士，教授，从事几何设计㊁计算机图形学和拓扑数据分析的研究,E-m a i l:h w l i n@z j u.e d u.c n.
基金项目：国家自然科学基金(批准号:61872316;61932018).
* 第23届计算机辅助设计与图形学学术会议(C A D&C G2020) 推荐论文.
66吉林大学学报(理学版)第59卷
多孔结构是一种由大量孔洞组成的实体结构，在自然界和人工制品中广泛存在，如木材㊁骨骼㊁珊瑚
㊁海绵等，可长期承受较大的静态载荷和周期载荷.与传统结构相比，多孔结构具有质量轻㊁比表面积大㊁高渗透性㊁高比强度等优点，以及抗冲击性[1]㊁阻尼增强[2]㊁缺陷容忍性[3]等特性.这些优良特性使其应用范围远超出单一功能材料，因而广泛应用于组织工程㊁轻量化设计及能量吸收等领域.在组织工程领域，高渗透性和高比表面积的多孔结构，有助于建立一个适宜细胞附着㊁迁移繁殖㊁营养运输和新陈代谢等的生物微环境，常被作为组织支架移植到人体组织缺损部位，辅助组织修复再生[4-6].在轻量化设计领域，由于多孔结构质量轻㊁相对密度低，因此利用多孔结构进行飞机机翼内部结构设计可有效降低机翼重量，同时提高机翼抗弯刚度[7].在能量吸收领域，由于多孔结构具有较大的压缩应变，因此在受到外力冲击时，可借助自身结构特性将动能转变为压缩能，从而提高能量吸收能力[8].多孔结构的力学性能不仅与材料相关，还与自身分布相关，所以需对多孔结构进行结构分析和优化设计，以提高其力学相关性能.
多孔结构的设计方法主要包括C A D(m a n a g e m e n t s o f t w a r e c o m p u t e r a i d e dd e s i g n)造型设计方法和隐式曲面造型设计方法，其中C A D造型设计方法适用于设计简单规则的多孔结构.C h e a h等[9]通过对多面体形状的研究，设计了基于多面体的多孔单元库;L a l等[10]提出利用微球填充方法设计多孔支架.隐式曲面造型以三向周期极小曲面(t r i p l yp e r i o d i cm i n i m a l s u r f a c e,T P M S)为研究热点.Y o o首先利用T P M S设计了多孔单元库，同时提出了利用六面体单元映射的方法构建多孔结构[11]；之后, Y o o通过对T P M S与实体进行求交并构建多孔结构，求交运算中引入了距
离场算法替代B o o l e操作，极大减少了时间的消耗[4]，并利用径向基函数进行空间插值控制孔径大小分布，构建了非均质多孔结构[5].为在多孔结构设计中充分利用多孔单元库,Y a n g等[12]利用S i g m o i d函数和G a u s s径向基函数以任意形状的过度边界融合两种不同类型的多孔单元，生成了形状更复杂的多孔结构;S h i等[13]结合T P M S和S i g m o i d函数从C T数据中重建多孔支架结构;F e n g等[6]利用T样条函数表示几何模型，通过分析T P M S的相关参数与多孔结构的孔隙率㊁比表面积之间的关系，设计了孔隙率㊁比表面积可控的多孔结构;S a v i o等[14]基于T P M S提出了C A D环境下变厚度多孔结构几何建模的方法.
拓扑结构优化设计以力学原理和数学规划算法为基础，通过优化方法改变工程结构的尺寸㊁形状和拓扑，在给定的设计域和约束条件下，实现结构的最佳性能设计.目前的拓扑优化方法主要分为4类：变密度法[15-16]㊁水平集法[17-18]㊁拓扑导数法[19]和相场法[20].相比于传统有限元分析方法，等几何分析方法紧密结合几何模型信息，避免网格划分过程，具有高阶连续性，在保证几何精确性的同时，可有效降低求解问题的自由度，提高计算模拟精度和效率[21-22].由于拓扑优化中的变密度法具有直观的数学模型，且实现简单㊁计算高效，因此，可将等几何分析与变密度法融合发展形成基于变密度的等几何拓扑优化方法.H a s s a n i等[23]提出了结合优化准则法的等几何拓扑优化方法，并通过二维平面优化问题算例表明该方法可有效抑制棋盘格现象;Q i a n[24]提出了一种基于B样条函数的变密度框架下拓扑优化方法，将密度分布引入B样条函数空间，并将控制点对应的相对密度值作为优化变量进
行拓扑优化;L i u等[25]利用变密度框架下的等几何拓扑优化方法分析了全局应力约束下的拓扑优化问题.
目前，针对多孔单元的拓扑优化研究已取得许多成果[26-29]，对多孔结构的拓扑优化，主要包含以下两类方法：第一类方法[30-32]先优化设计域的材料密度分布，然后根据密度分布将分析单元替换为对应材料密度下的多孔单元；第二类方法[33-34]预先设计晶格和单元结构，然后在一个单元内优化结构尺寸或壁厚.这两类方法各有其优缺点，例如：第一类方法在结构层次上，而不是在每个多孔单元中优化拓扑结构；第二类方法在结构层和单元层上都得到了优化，但仅适用于具有一定壁厚的规则多孔单元；上述方法均为基于有限元分析的优化方法，从而导致在处理相互连通的多孔单元时，无法保证多孔单元密度分布或壁厚分布的连续性，进而相邻多孔单元不能光滑连接.特别地,L i等[26]基于T P M S 提出了功能梯度周期曲面，构建多孔单元结构与密度建立映射关系，利用有限元分析方法求解柔顺度和热传导问题，寻最优的单元密度分布，最后对单元密度进行空间插值获得节点对应密度值，并生成功能梯度多孔结构.本文提出的变密度框架下多孔结构等几何拓扑优化方法可有效结合上述两类方法的优势，通过T P M S多孔单元特征参数改变单元壁厚，同时建立与材料相对密度间的映射关系，以
多孔单元特征参数作为优化变量进行拓扑优化，保证优化构建的多孔结构中多孔单元光滑连接.
suffer软件本文利用T P M S 设计参数多孔单元，并分析多孔单元特征参数与材料分布间的关系，再利用变密度
框架下的等几何拓扑优化模型对多孔单元特征参数分布进行结构分析与优化，以实现最佳的多孔单元特征参数分布，提高多孔结构的力学性能.相比基于传统有限元分析的结构优化，等几何分析的物理模型和多孔单元特征参数采用B 样条表示，提高了仿真计算的精度，同时多孔结构中多孔单元个数可调控，无需与分析单元数保持一致，且多孔结构中多孔单元间连接的连续性得到了保证.本文方法主要有以下创新点:1)提出了基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化方法;2)多孔结构中多孔单元个数可调控;3)多孔结构中多孔单元间光滑连接.1 预备知识
1.1 B 样条
p 次B 样条曲线定义[35]为
C (u )=ðm i =0N i ,p (u )P i ,(1)其中{P i }是控制点,N i ,p (
u )是定义在节点向量U =(u 0,u 1, ,u m +p +1)上的p 次B 样条基函数，且满足u 0ɤu 1ɤ ɤu m +p +1.B 样条基函数为N i ,0=1,u i ɤu <u i +1,0，其他{,N i ,p (u )=u -u i u i +p -u i N i ,p -1(u )+u i +p +1-u u i +p
+1-u i +1N i +1,p -1(u ).(2)由此延伸定义出B 样条曲面和B 样条体，分别为
S (u ,v )=ðm i =0ðn j =0
N i ,p (u )N j ,q (v )P i j ,(3)V (u ,v ,w )=ðm
i =0ðn j =0ðl k =0N i ,p (u )N j ,q (v )N k ,r (w )P i j k .(4
)特别地，由于本文研究薄板多孔结构优化问题，实际薄板以B 样条曲面形式表示，但针对平面应力问题，薄板以二维B 样条曲面表示.1.2 三向周期极小曲面
T P M S 是在欧氏空间中沿3个独立方向周期性无限延伸的隐式曲面，具有平均曲率为零的特点，并将空间平滑而连续地一分为二，产生连通性优异的孔结构，是多孔结构设计领域中一种较好的设计
工具.由于T P M S 参数表达形式相对复杂，因此通常采用F o u r i e r 级数定义的周期曲面对其逼近[3
6]:ψ(r )=ðk A k c o s [2π(h k ㊃r )/λk -P k ]=C ,(5)其中A k 为振幅,h k 为倒空间的格矢量,r 为空间位置矢量,λk 为波长,P k 为相位,C 为等值面阈值常数.表1列出了P ,D ,G ,I W P 4种类型T P M S 的表达式，其中阈值C 的有效范围确保T P M S 连通.αu ,αv ,αw 表示曲面在空间3个方向上的周期.
特别地，相比于其他类型的T P M S ，这4种曲面具有更大的表面积，在多孔结构设计中应用广泛[37].此外，本文利用移动四面体方法[38]提取T P M S ，并构建多孔结构，如图1所示，均为一个完整周期内的曲面.
南方电视台少儿频道表1 T P M S 三角函数表达式
T a b l e 1 T r i g o n o m e t r i c f u n c t i o n e x p r e s s i o no fT P M S T P M S 类型
三角函数表达式C 的有效范围P
ψP (u ,v ,w )=c o s (αu u )+c o s (αv v )+c o s (αw w )=0.9C [-1,1]D ψD (u ,v ,w )=c o s (αu u )c o s (αv v )c o s (αw w )-s i n (αu u )s i n (αv v )s i n (αw w )=0.6C [-1,1]G ψG (u ,v ,w )=s i n (αu u )c o s (αv v )+s i n (αv v )c o s (αw w )+s i n (αw w )c o s (αu u )=0.9C [-1,1]I W P ψI W P (u ,v ,w )=2[c o s (αu u )c o s (αv v )+c o s (αv v )c o s (αw w )+c o s (αw w )c o s (αu u )]-[c o s (2αu u )+c o s (2αv v )+c o s (2αw w )
]=2.5C [-1,1]76 第1期 胡传丰，等：基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化
图1 4类T P M S
F i g .1 F o u r t y p
e s o fT P M S 1.3 多孔单元本文基于一个完整周期内4种类型T P M S (图1)设计了如图2所示的4种类型多孔单元.图2 4类T P M S 多孔单元
F i g .2 F o u r t y p
e s o fT P M S p o r o u s e l e m e n t s 图3 多孔单元特征参数C 与材料相对密度ρ的关系F i g .3 R e l a t i o n s h i p b e t w e e n c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r C o
f p o r o u s e l e m e n t a n d r e l a t i v e d e n s i t y ρo fm a t e r i a l 在多孔结构拓扑优化设计中，定义C 值为多孔
单元的特征参数，用于调控多孔单元孔径的大小以
及多孔单元内材料的相对密度.通过数据统计与分
析，发现4种多孔单元的特征参数C 与相对密度ρ
间存在如图3所示的关系.数据拟合结果表明，在
一定误差范围内，特征参数C 与材料相对密度ρ存
在如下关系:
ρ=k 1C +k 2.(6)表2列出了不同多孔单元对应的系数k 1和k 2.
表2 多孔单元特征参数C 与材料相对密度ρ的函数系数
T a b l e 2 F u n c t i o n c o e f f i c i e n t s o f c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r C o f p o r o u s e l e m e n t a n d r e l a t i v e d e n s i t y ρo fm a t e r i a l 多孔单元类型
k 1k 2相关系数P -0.25720.49821.0000D
-0.35210.50001.0000G -0.29340.50001.0000I W P 0.34160.48470.9995
2 基于等几何分析的设计参数化
等几何分析是一种新型的数值计算方法，其将工程结构的几何表示㊁分析及拓扑优化过程紧密结合.相比于传统有限元分析方法，等几何分析方法具有几何精确性和单元间高阶连续性的优点，提高
86 吉林大学学报(理学版) 第59卷
了结构分析的精确性和可信性.结合等几何分析的拓扑优化方法，可有效提高结构分析和拓扑优化的
效率.
2.1 等几何结构分析
等几何分析以等参思想为基础，利用几何模型的样条基函数和控制点替代有限元分析中的单元形函数和节点.图4为双线性(p =q =1)和双二次(p =q =2)等几何单元组成的等几何分析网格.图4 等几何分析网格
F i g .4 I s o -g e o m e t r i c a n a l y s i s g
r i d 进行结构分析时，位移场表示为
U (u ,v )=ðm i =0ðn j =0N i ,p (u )N j ,q (v )U i j ,(7)其中,N i ,p (u ),N j ,q (v )为式(2)中的B 样条基函数,U i j 为控制点处的位移系数.本文利用等几何方法
求解平面应力问题，每个控制点处对应两个方向上的位移量U x ,U y .
线弹性连续体的静力平衡方程可表示为K U =F ,(8)其中K 为整体刚度矩阵,U 为控制点处位移向量,F 为外部载荷向量.整体刚度矩阵K 可由单元刚度矩阵装配得到，表示为
K =ðe ɪΩd K e ,(9
)其中Ωd 为设计域Ω的离散域.单元刚度矩阵为K e =K 00e K 01e K 10e
K 11æèçöø÷e ,(10
邓小弟
)其中K 00e ,K 01e ,K 10e ,K 11e 可利用高斯求积方法计算得到:{K 00e }i 1,i 2=ʏΩe (λ+2μ)∂N i 1∂x ∂N i 2∂x +μ∂N i 1∂y ∂N i 2∂y d Ωe ,{K 01e }i 1,i 2=ʏΩe λ∂N i 1∂x ∂N i 2∂y +μ∂N i 1∂y ∂N i 2∂x d Ωe ,{K 10e }i 1,i 2=ʏΩe
λ∂N i 1∂y ∂N i 2∂x +μ∂N i 1∂x ∂N i 2∂y d Ωe ,{K 11e }i 1,i 2=ʏΩe
(λ+2μ)∂N i 1∂y ∂N i 2∂y +μ∂N i 1∂x ∂N i 2∂x d Ωe ìîíïïïïïïïïïïïï，式中的下标i 1,i 2表示影响该单元Ωe 的控制点索引,λ,μ为L a m é常数，与材料属性相关，计算公式为λ=E ν(1+ν)(1-2ν),μ=E 2(1+ν),E 为材料弹性模量,ν为材料P o i s s o n 比.96 第1期 胡传丰，等：基于等几何分析的参数多孔结构拓扑优化
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