No. 4Apr.2021
第4期2021年4月组合机床与自动化加工技术
Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Techninue
文章编号：1001 -2265(2021)04 -0031 -05
DOI : 10.13462/j. .nki. mmtamt. 2021.04. 008
杜义贤】，罗明亮】，付君健1!2，田启华1，周祥曼1，孙鹏飞1
(1.三峡大学机械与动力学院，湖北宜昌443002；2.水电机械设备设计与维护湖北省重点实验 室，湖北宜昌443002) 摘要：为了实现具有较高比表面积的多孔结构拓扑优化，引入局部体积约束对设计域内的材料分布 进行限制，基于改进固体各向同性惩罚模型的变密度法，构造多孔结构周期性约束条件，以结构刚 度最大化为优化目标，建立周期性多孔结构拓扑优化数学模型，采用移动渐近线法求解，得到高比 表面积二维周 期性多孔结构。通过测量优化后多孔结构单胞的表面积，并与无局部体积约束优化 所得多孔结构对比，本方法可通过牺牲较少的结构性能，有效提升周期性多孔结构的比表面积。
关键词：拓扑优化；局部体积约束；高比表面积；多孔结构中图分类号:TH122 ；TG65 文献标识码:A
Topology Optimization of Periodic Porous Structure with a High Specinc Surfacc Area
DU Yi-xian 1, LUO Ming-liang 1 , FU Jun-jian 1,2 ,TIAN Qi-hua 1 , ZHOU Xiang-man 1, SUN Peng-fei 1
(1. Colleee of Mechanicil and Power Engineeang , China Three Go r oes Universith , Yichang Hubei 443002, China ；2. Hubei Key Laboratoa of Hydroelectoc Machinea Design & Maintenancc , Yichang Hubei 443002, China )
Abstrad;: To achieve the topology optimization of porous semctures with a higher speciic surfacc area to volume ratio , the local volume consaamts are inhoduced to limit the material disaiPuhon in the design do main. Based on the variable density method of the modiied solid isotopic penalty model , the
conditions of the periodic porous serncture are conshucted to establish a topology optimizati
on mathematical model of the periodic porous with maximization of sWucWral rigidity. The model is solved to ob tain a two-dimensional periodic porous s W uc W t - with a high speci.Pc surface area by the method of moving asymptotes. By measuring the surface area of the optimized porous unit cel l and comparing it with the oph- miaed poeousseuc'ueewihou'localvolumeconseain s , 'heme'hod can inceease'hespecificsuefaceaeea of'hepeeiodicpoeousseuc'ueee f ecively by saceificing le s seuc'uealpeefoemance.
Key wo U s ： topology optimization ； local volume constmint ； high surface area ； porous stmehre
0引言
周期性多孔结构是功构一体化的优良载体，具有 高比表面积、高比刚度、高比强度、隔热、隔音等特 性［1-2］。在电化学和生物工程领域，周期性多孔结构比
表面积大小对结构性能具有重要影响)例如，在锂电 池领域，电极中含有多孔式的集流体结构，其表面包覆 有活性材料，集流体结构比表面积大小决定活性材料 的分布［3］，对锂离子扩散系数、电子导电率、锂离子存
储空间有重要影响。在化学工程领域，为了增大催化 剂与反应物的接触面积，多孔催化剂载体结构需要有 较高的比表面积⑷。在生物工程领域，较高比表面积
和合适孔径大小的骨支架有利于细胞在其中生长［5］o
因此，比表面积大小是周期性多孔结构重要的工程设 计参数。拓扑优化通过调控结构的参数，将结构参数 与性能联系起来⑷，从而获得高比表面积的拓扑构型)
拓扑优化是周期性多孔结构的重要设计方法［7］) 通过施加周期性边界条件约束，拓扑优化可在设计域 内寻满足目标函数和约束条件的最优材料分布［8］o
提高周期性多孔结构比表面积的拓扑优化设计方法可 分为两类：一类是基于均匀化［9-10］的设计方法；另一类 是基于宏观周期性约束的设计方法［11］)例如，采用均
匀化法计算复合材料的性能参数，实现单胞内材料的 重新分配［12］，有效提高了周期性多孔结构的比表面
积；在单一体积约束下，基于能量均匀化法，对结构等 效属性评＜［13］，可得到具有高比表面积的周期性多孔
收稿日期:2020-09 -22；修回日期:2020-10-23
*基金项目：国家自然科学基金(51775308,51475265)；湖北省教育厅中青年人才项目(Q20201205)；水电机械设备设计与维护湖北省重点实验室开
放基金项目(2020KJX04)
作者简介：杜义贤(1978—)，男，湖北松滋人，三峡大学教授，博士，研究方向为结构拓扑优化、CAD/CAE/CA M 等，(E-maii ) dyx@ ctgu.edu . c ；通
讯作者：付君健(1987—)，男，湖北宜昌人，三峡大学讲师，博士，研究方向为结构拓扑优化、多孔结构设计等,(E-maii ) ft^etgu. edu.
cn o
-32-组合机床与自动化加工技术第4期
结构。但是，采用均匀化方法进行高比表面积性
多孔结构设计，其设来微结胞间
料不连通的问题，不备制造性。此外，将宏观设计
域为若干子区域，利用子结聚构建超单元计国外育儿经
型减少有限元计算量[14'f5]，装子结到高
面积多孔结构。对宏观多孔结构的最
大限制，一高其面积。然而，基于宏观的高面积多孔结构设计方法存在大量问题，不便于计算。
一种高面积多孔结构拓扑化方法，Z部体积 ，使设计域料进一步散，高结构的面积。通过p-orm函数多体积聚为一体积，宏观产生的大量问题，提高拓扑优化的求解效率。数值算例方法的有效性。
1周期性多孔结构的定义
用宏观方法，将整体设计域划分为若干个相同大小的子区域，如图1所示。子域中相同位置单元的相对一致，从而使各子区域相同的拓扑形式，以结构的扌性[11]o元关系的数学式为：
V—V—«••—V
1，2,m，j
&[0，1](-=1,2,…,m；j=1,2,/,”)(1)式中,0-为设计变量，表示-个子区域\个单元的；)为总设计域划分的子
区域个数，”为子区域元数量。
2局部体积约束
假定拓扑优化设计域内材料分布由逻辑值4表示=1或0代表实体单元或孔洞单元。为了限制设计域料积累大的实体区域，弓I部体积约设计域内材料进一散。
—((2)
4=-------(%(2)
乙-Ne
如图2所示,U*是半径为E/的圆形区域内单元集合。式(2),4为局部体积分数，表示实体单元在集合U中的比例;4数值上限为％,%=0.6表示U*集合多有60%体单元，其余为孔洞单元，限制部材料积累成大的实体区域。上述局部体积
散化优化问题，式(2)存在大量，不便于数值运算，为：
niax(4)(%(3)
部体积分数4的最大值小于等于指定的体积分数数值上限％，将大量约束凝聚为单个约束。由于式(3)不可微，不能应用于数化方案，因此引入p-nom函数逼近max函数：
max(4)/114IID=(#4)7(4)式中屮为p-norm函数的控制参数，当p值趋于无限大时，II4IID近似等于mat4)。当P值不是无限大时，为mtx(4)和1141D，将式(3"添加统一约束条
[16]：
(#4)于((#%DF⑸式(5)可重新写为：
(寺#4)D(%⑹
式中,U体设计域元总数量。P越大，每个单元的越强，同时加了问题的非)引入一个数值从0~1连续变化的单元密度0作为拓扑优化设计变量，为元产生的棋盘象[17]，通过局部器计算相邻单元的加权平均对0过：
式中，0*为过滤后的单元密度；；,*为权重因子;F*为单元e附近元素的集合：
F={-||(-(11$(%}⑻式中,％为敏度过，其数值小于图2中集合U*的半径E。；。-和(为单元中心；式(7)中权重因子；-*大小和。,、。*两单元中心距离有关：
元代过程中，为一
元向于0或1，引入Heaviside函数，将过后的
单元密度0。投影可得设计域内材料分布4的数学表式：
4(0)
enh(号)+-*))
2tanh(号)
(!0)
式中，参数3控制阈数，如图3所示。当3越大时，函数越o或1。如应用一个较大3 ，致高度非；因此，从3=1开：代，经过一代次数后，将其数倍，这个过程称为参数扩展，高化求解的收敛性[18]
o
2021年4月杜义贤，等：高比表面积周期性多孔结构拓扑优化-33-
图3不同参数0控制的Heaviside函数
3拓扑优化数学模型
基于改进固体各向同性（Modified Solid Isotropic
Materiai with Penalization,modified SIMP）的变密度法
材料插值模型[19]，建立单元杨氏模量Q数学表达式：
Q（P e）=Q min+4（Q-E m”）!11"
式中,Q为实体单元刚；Q”l为一非常小的数值,
代表孔洞单元刚，以防体刚产生奇异
；7为单元的子，对拓扑优化中具
的单元，使其收敛于指定的上，
从而抑制灰元。任元刚K为：
K=Q（4）H。（12）
式中，际为体单元刚。
引部体积 对设计域内的材料分布进行限
制，基于改进SIMP；型，以元相对0为设
计变量，构造多孔结条件，以结构刚
大化为优化目标，建立拓扑优化数学模型:
find：0=%01j,02j,03，k…，0"}非线性薛定谔方程
（"=1，2，/，）；j=1，2,…，”）
min：c=U T KU
'KU=F
兀1，一一-S
x e&[0，1],V e
(13)
式中,c、K、U-F为整体柔度、刚、位向
量、载荷向量;g（0）为部体积方程，控制结
表面积大小。
4敏度分析
基于式（13）的拓扑优化数学模型，以元相对密
O为设计变量，采用限元移动渐方法[20]
（Method of Moving Asymptotes,MMA）来更新设计变
量，需要计标函数柔度C和局部体积方
程-（0）对设计变量O的一数，用链式法则计算
如下：
坐=#（匹処仝）（⑷
a%0）0J
亟=#（#（胆亟）処"槇）（15）
）0e：红冶*a4）4丿 a J）0J
k&A*
由式（11）、式（13"得：
api=-y p(Q
-Q m)>T k>(16)式（14）、式（15"中其他部分导数为：
a4
j8(1-taiih2(0(0-*)))
(17)
r z
a j2mnh(-2)
a0,,,
a0* #,,"
k&F*
(18)
a-
a p
=扭专#p)p-(19)
a p=1
a p
-#1(20)为保证式（13"中每个子区域第k个单元的密度相等，需要对敏度平均:
)C1,=a c，=…=丄#a_"
a j,a j,aj
,,m车a j,(21) 5数值算例
用悬臂梁和Michell梁拓扑优化算例，分别计算和对、部体积的多孔结
面积，高结面积方法的。在三，面积是指多孔结位质量•有的孔洞总面^[21]，为：面积/体积；面（面积指多孔结位面积的孔洞
为：/面积。材料量Q=1，泊松比＞=0.3，元大小默认为1（位均为无量纲），以结构刚大为目标建化模型，采用MMA 求解。
5.1悬臂梁
图4所示为悬臂梁结构，其设计域竖直方向和水方向的为：P=100,4=200。左侧固，侧点加载一竖直向下的集中载荷F。
限元单元为四节点元，采用200x100网
散设计域，划为4x2大小的子区域，总体体积分数为0.45）
图4悬臂梁结构的设计域示意图
部体积分数上限％=0.6，有、部体积约的多孔结构对比如图5所示，其代过程如图6示）
（a）无局部体积约朿（b）有局部体积约朿
图5
悬臂梁拓扑优化结构对比图
-34-组合机床与自动化加工技术第4期
迭代次数迭代次数
(b)有局部体积约朿
(a)无局部体积约朿
图6悬臂梁拓扑优化迭代曲线
由图5可以，部体积的结构杆
为粗壮；部体积 的结大减小，拓扑优化构型细节特力卩，孔小，孔洞数量增多。图6为悬臂梁拓扑优化迭代，图6a为部体积
的迭代，整个化过程收敛，目标数柔度_最终收敛于129；图6b部体积分数上限％= 0.6、p-norm函数控制参数p为16时的迭代，Hewiside函数控制参数0每代40次数倍，因而标函数每隔40暂的波动，目标数柔度c最终收敛于173。因此，对、部体积的结拓扑型以，部体积的结细杆特加，结构柔度变大，大
社会学三大奠基人
，
高的面积。
多孔结构每个单胞完全一样，为减少计量，测量、对比其单胞的表面积。拓扑优化
型存在孔洞“模糊”、面不光滑的问题，往往不能精确绘制其孔洞，从而测量比表面积。为该问题，采用集方法(Levei Set Method”22-3〕对多孔结构的胞后处理。以胞拓扑构型图的为单位测量孔洞I ，为面积，结见表1。悬臂梁算例中，具有部体积 的拓扑型面积(面积面积成正比)提高300%，方的：
表1悬臂梁单胞拓扑构型对比
部材料体积分数上限％=0.6，有、部体积的多孔结构对比如图8所示，其代过程如图9所示。
(a)无局部体积约朿(b)有局部体积约朿
图8Michell梁拓扑优化结构对比图
(a)部体积)))))(b)部体积
图9Michee梁拓扑优化迭代曲线
由图8可以，在Michell梁算例中，部体积的拓扑构型多的细节特征，孔洞数量增多。图9Michell梁拓扑
优化迭代，无局部体积 的结构柔度c最终收敛于28；有
部体积 的结构柔度c最终收敛于32。g 此，部体积 的结细杆特 加，结柔
大，大，高的面积。胞拓扑构型面积大小具体见表2。Michell梁算
局部体积 约束原始
单胞
集
后处理
表面积
无
有ii419717207
5.2Michell梁
图7所示为Michell梁结构，其设计域竖直方向和方向的为:P=100,4=200。左侧-底部为撑，右侧底部为固撑，底部
加载一竖直向下的集中载荷F。有限元单元为四节点元，采用200x100网散设计域，划分为4x 2大小的子区域，总体体积分数为0.45。例中，的局部体积方拓扑构型的比面积高200%，该方的。
表2Michell梁单胞拓扑构型对比
部体积
约束
无
有
集
胞后处理
面积
4379
13818 6结论
一高面积多孔结拓扑优化方法，通过引部体积 ，使设计域料进一散，对多孔结的大
控制，高结的面积。通过p-noam数多体积聚为单一体积，部体积产生的大量问题，提高拓扑优化的求。用集方对结胞
后处理,
2021年4月杜义贤，等：高比表面积周期性多孔结构拓扑优化-35-
得到光滑边界的拓扑构型，从而在数据分析软件中精确测量了结构的表面积。拓扑优化经典二维数值算例验证了本文方法的有效性。
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