密克定理是几何学中关于相交圆的定理。1838年，叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。 1. 定理陈述
三圆定理：设三个圆,交于一点O，而, 分别是和,卡玛斯大货车和, 和的另一交点。设A为的点，直线MA交于B，直线PA交于C。那么B, N,C这三点共线。 逆定理：如果△ABC是三角形，M, N,P三点分别在边AB, BC,CA上，那么三角形△APM, △BMN, △CNP的外接圆交于一点O。
完全四线形定理：如果ABCDEF是，那么三角形△EAD, △EBC,△FAB
△FDC的外接圆交于一点O，称为密克点。
四圆定理：设,为四个圆，和是和的交点，和是和的交点，和是的交点，和是和的交点。那么,,,四点共圆当且仅当,,,四点共圆。
五圆定理：设ABCDE为任意，五点,分别是的交点，那么三角形△ABF, △BCG, △CDH, △DEI. △EAJ的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。
逆定理：设,五个圆的圆心都在圆上，相邻的圆交于上，那么把它们不在上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。
土地登记规则葛尔刚点：△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于F、D、E，则AD、BE、CF三线共点，此点即为葛尔刚点
Newton's Theorem
特指中的牛顿定理
牛顿线：和完全四边形四边相切的有心[1]圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,是完全四边形三条对角线中点所共的线。（涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理) 牛顿定理1：完全两条的延长线的所连的和两条的中点，。这条叫做这个四边形的牛顿线。
四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N
证明：
取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q
牛顿定理1
R,L,Q共线
QL/LR=EA/AB M,R,P共线 RM/MP=CD/DE N,P,Q共线 PN/NQ=BF/FC
三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC
由梅涅劳斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1
由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共 证毕 故牛顿定理1成立
牛顿定理2 圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的，三点共线。
证明： 设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。
牛顿定理2图
，S△BEI=-S△qiushiBIC+S△CEI+S△BCE，而S△DEI=-S△ADE+S△AIE+S△AID。
注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD
即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID，即S△BEI=△北极七鳃鳗DEI，而F是BD中点，由EI过点F即EF过点I，故结论成立。 证毕。
牛顿定理3 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
证明 : 设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H. 首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'. 显然 ∠AHI‘=∠BFI ’
因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'
故 AI'/CI'=AH/CF.
同样可证:AI/CI=AE/CG
又AE=AH,CF=CG.
故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.
从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.
同理可证:直线BD,EG,FH交于一点. 因此 直线AC,BD,EG,FH交于一点. 证毕。
等角共轭点：描述一：三角形内一点P,过A做直线L1与AP关于角A的角平分线对称,同样过B,C分别做L2,L3.这三条直线交于P1,则P1是P的等角共轭点；
描述二：设P、Q是三角形ABC内两点，∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA,满足
题设条件的两点P、Q称为△ABC的等角共轭点。
圆内接四边形与外切四边形
舆情当四边形与其它的知识点综合在一起时，其内容丰富多彩。在本节，我们主要介绍圆内接四边形与外切四边形的内容。
对于圆内接四边形与外切四边形，显然有以下的性质：
1．圆内接凸四边形的对角互补；圆内接接凹四边形的对角相等。
2．圆内接凸四边形的一个外角等于其不相邻的内对角。
3．圆外切四边形的对边之和相等。
命题1 如图，证明 。
证明：根据交比的定义和圆的性质，得
4．托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和等于对角线之积。
证明一 在BD上选一点E，使得∠BAC=∠EAD。
在ΔABC和ΔAED中，
∵ ∠BAC=∠EAD，∠BCA=∠EDA
∴ ΔABC∽ΔAED，
∴ ，即 。 （1）
在ΔABE和ΔACD中，
∵ ∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD
∴ ΔABE∽ΔACD，
∴ ，即 。 （2）
（1）+（2）得
，
即 。
证明二 如图，因为 X(BC, AD) + X(BA, CD)=1，即
由正弦定理得
即 。
5．圆内接凸四边形的密克点在一条对边交点的连线上。
证明：如图，设M是密克点，连CM、EM、FM，那么
∠CME =∠CBA =∠BCA =∠CDF = 1800 – ∠CMF
所以E、M、F共线。
例 圆内接四边形对边交点连线的平方等于由此二点向圆所作切线的平方和。
证明：如图，作四边形ABCD的密克点，即ΔBCE和ΔCDF的外接圆的交点M，则M在EF上。从而有
例1 如图, （CD，PQ）= – 1。
证明：根据命题1知 A(A B，C D) = B(A B，C D)，
即 （PQ，CD）=（QP，CD）。
所以 （PQ，CD）= – 1。
本结论可叙述为：过圆外一点P任作割线PCD，则C、D、P的第四调和点在一条定直线上。
命题2 如图，PC，PD是切线，OP是圆的直径，过Q任作一弦AB，求证：PO平分∠APB。
证明：因为PC，PD是切线，所以 ，
所以O、A、P、B四点共圆，所以
∠APO=∠ABO=∠BAO=∠BPO，
即PO平分∠APB。
例2 过圆内一点P任作直线交圆于A、B两点，则A、B、P的第四调和点Q在一条定直线上。
证明：如图，过H作HQ垂直于OP交AB于Q，那么根据
命题2知HO平分∠AHB，但HQ⊥HP，从而HQ也是∠AHB的平分线。根据角平分线的性质知，
（AB，PQ）= – 1。
所以A、B、P的第四调和点在一条定直线上。
本结论可叙述为：过圆内一点P任作割线PCD，则C、D、P的第四调和点在一条定直线上。
定义 过一点P作直线交圆于A、B，则A、B、P的第四调和点称为P（关于圆）的共轭点。
根据例1和例2知，我们有
定理 点P的共轭点的轨迹l p是一条直线。
注：我们称l p是P的极线，而P称为l p的极点。当点P在圆上时，规定P的极线为过P的切线，而切线的极点就是切点。当点P在圆外时，P的极线就是P的切点弦所在的直线。
例3 设⊙O与直线l相离，过l上的点P作⊙O的切线PA、PB，则切点A、B的连线过定点。
证明：连AB，过O作OH⊥l于H，且交AB于K。
∵ O、A、P、H共圆，
∴ ∠OBK=∠OPA=∠OPB=∠OHB，
∴ ΔOHB∽ΔOBK
∴ OB2=OK?OH，即R2= OK?OH（其中R是⊙O的半径），
从而K是一个定点，即AB过一个定点。
问题探索：（1）本命题可叙述为：共线点的极线共点。
（2）当l与圆相切时，结论是否仍成立？
（3）当l与相交时结论是否成立？
学习港（分析：过O作l的垂线，垂足为H，则O、H、B、
P、A共圆。如图，∠BHK=∠BPO=∠APO=∠ABO，
故∠OHB=∠OBK，从而ΔOHB∽ΔOBK。
所以，即OK为常数。所以P的切点弦通过一个定点。）
（4）在（3）中，当P进入圆的内部时，情形会起什么变化？
例4 过圆外一点H任作一条割线交圆于两点A、B，求证：A、B处的切线的交点P在一条定直线上。
证明：任作一条割线HAB，交⊙O于A、B，过H作切线HC，
C是切点，作CK⊥OH于K，那么
HK?OH=HC2= HA?HB
∴ O、K、B、A共圆，
∵ O、A、P、B共圆，
∴ O、K、B、A、P共圆，
∴ OH⊥KP。
由此即得P在过K且垂直于OH的直线（即H的切点弦）上，所以所有的P共线。
问题探索
（1）本命题可叙述为：共点线的极点共线。
（2）当H点在圆上时，结论是否成立？
（3）当H在圆内时，结论是否成立？
（分析：如图，过H作OH的垂线交圆于C，作C处的切线
交OH的延长线于K，则
，
所以O、A、K、B、P共圆，故PK垂直于OH。但K是固定点，所以P在一条定直线上。）
（4）当HAB与圆相离时，情形会起什么变化？
定理 共线点的极线共点，共点线的极点共线。
定理 过圆的内接四边形一组对边的交点作圆的切线，则两个切点，另一组对边的交点，及对角线的交点，四点共线。
证明：如图，根据完全四边形的调和性可知P的极线就是QR，另一方面，P的极线就是P的切点弦XY。所以Q、R、X、Y共线。
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