【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。 一、遇45°，135°作等腰直角三角形构造全等
1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1， ∠CPB=135°，求AP的长。
2、如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.
（1）若点P在△ABD外，且∠APB=45°，求PD的长；
（2）若点P在△ABD内，且∠APB=135°，求PD的长.
二、遇60，120作等边三角形构造全等
3、如图，在△ABC中，∠ABC=60中国旱情°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为.
4、如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.
三、将角度分解为60，90或45的特殊角结合全等
eq35、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=，求PB的长。.
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勾股定理与全等构造
【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45，135作等腰直角三角形构造全等
1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1， ∠CPB=135°，求AP的长。
解：将△CPB绕点C旋转，使得BC与AC重合，点P与点D是对应点， ∴PC=DC，∠DCA=∠CBP，
∴∠DCP=∠ACB=90°纸币识别器，
∴△CDP是等腰直角三角形，
∴由勾股定理可知：DP=2，
∵PB=AD=1，
∵∠CPB=∠CDA=135°，∠CDP=45°，
∴∠ADB=90°
∴由勾股定理可求得：AP=3.
2、如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.
（1）若点P在△ABD外，且∠APB=45°，求PD的长；
（2）若点P在△ABD内，且∠APB=135°，求PD的长.
解：（1）如图所示，过点A作AH⊥AP，且使AH=PA=3，连接PH、BH，
∴∠APH=∠AHP=45°，
PH==3，
∵∠HAP=∠BAD=90°，
∴∠HAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB，
即∠HAB=∠PAD，
在△AHB与△APD中，
AH=AP，∠HAB=∠PAD，AB=AD，
∴△AHB≌△APD，
∴HB=PD.
∵∠APB=45°，
∴∠HPB=∠APB+∠APH=90°，
在Rt△HPB中，
HB= ==
∴PD=HB=.
（2）如图所示，作AH⊥AP，且使AH=PA=3，连接PH、BH，
∴∠APH=∠AHP=45°，
PH==3，
同（1）可证△AHB≌△APD，
∴HB=PD.
∵∠APB=135°，
∴∠HPB=∠APB-∠APH=135°-45°=90°，
∴在Rt△HPB中，
HB===
∴PD=HB=.
二、遇60，120作等边三角形构造全等
3、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为.
解：以AB为边作等边三角形AEB，连接CE，如图所示，
∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
AE=AB，∠EAC=∠BAD，AD=AC，
∴△EAC≌△BAD(SAS)，
∴BD=EC，
∵∠EBA=60°，∠ABC=60气凝胶°，
∴∠EBC=120°，
在△EBC中，BC=5，EB=3，多米诺骨牌理论
过点E做BC的垂线交BC于点F，易知∠EBF=60°，∠FEB=30°，
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