邵林 陈春霞 李坪
摘要：本文通过道格拉斯生产函数及全微分方程的应用，完美解释了产品表面价值、实际价值、物价指数增长率之间的关系。很好的解决了在道格拉斯生产函数模型下企业应雇佣多少工人能使利润最大这一实际问题。 关键词：道格拉斯生产函数；全微分方程；利润
引言
通过对经济增长模型的学习，我们深入了解了道格拉斯生产函数模型，对此我们考虑到产品的表面价值不止与产品实际价值有关系，还与当时的物价指数有关，因而我们假设产品的表面价值，实际价值可编程控制
和物价指数之间满足，并对的相对增长率作了深入探究。 通过对的相对增长率的探究，我们要解决一个常见的实际问题，即企业雇佣多少工人可使企业利润最大。要解决这一实际问题，我们需要道格拉斯生产函数模型，可以假设：雇用工人数目为，每个工人工资，企业的利润简化为从产品的收入中扣除工人工资和固定成本。从而雇佣工人与企业利润之间的关系可通过常微分方程的思想解决。
1 道格拉斯生产函数
道格拉斯生产函数反应了产量，资金和劳动力之间的关系。对研究企业最优化生产具有重要意义。
用、、分别表示某一地区部门在时刻的产值、资金和劳动力，他们的关系可以一般地记作
其中待定函数，对于固定的时刻，上述关系可写作
为寻求的函数形式，引入记号
是每个劳动力的产值，是每个劳动力的投资，如下的假设是合理的：随着的增加而增加，但增长速度递减，进而简化地把这个假设表示为
显然函数满足上面的假设，常数可看成技术的作用，因此的具体形式为
这就是经济学中著名的道格拉斯生产函数，它更为一般的形式为：
2 道格拉斯生产函数的应用
在经济增长模型中，为了适用于不同的对象可将产量函数折算成现金，仍用表示。考虑到物价上升因素我们记物价上升指数为，则产品的表面价值、实际价值和物价指数之间满足
（1）导出的相对增长率之间的关系，并做出解释。
（摩门教2）设雇用工人数目为，每个工人工资，企业的利润简化为从产品的收入中扣除工人工资和固定成本.利用道格拉斯生产函数讨论，企业应雇佣多少工人能使利润最大。
针对问题（1），我们可以利用全微分方程求解。济南1875
由我们可得全微分方程
等式两边同时除以，可得：
即产品的表面价值增长率等于实际价值增长率与价格指数增长率之和。
针对第（2）问，我们可以利用道格拉斯生产函数作如下假设：
1、产品的表面价值、实际价值和物价指数之间满足
2、企业的费用只有工人的工资及固定成本两部分组成；企业的总收入就等于企业的总产量。
3、为了适用于不同的对象，我们假设可将产量函数折算成现金，仍用表示；
从而可以建立如下模型：
若固定成本为,则企业利润为电子测距仪。因为，，代入后表为的函数:
—时刻的劳动力个数
—时刻工人的工资
—固定成本
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—投入资金
—产品的实际价值
—产品的物价指数
对求一阶导的，令其等于0，得
，
对求二阶导得
沈长富，
为整数，,显然的二阶导小于0，
故使得目标函数取得最大值。
即当雇佣时，企业利润最大。
参考文献：
[1] 姜启源，谢金星.数学模型[M]. 高等教育出版社.2011年3月
[2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2009年7月
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