盛自强1王悦东2白肖宁1王慎轩2
（1大连交通大学机械工程学院，辽宁大连116028）
（2大连交通大学机车车辆工程学院，辽宁大连116028）
摘要考虑到齿轮的修形参数和性能参数受制造和使用过程中各影响因素的扰动影响，提出了一种基于改进容差模型和模糊理论的动车组传动齿轮稳健修形设计方法。确定了齿轮稳健修形设计中的可控因素与不可控因素，结合正交试验设计与Romax运动仿真获取试验样本点；利用多项式函数拟合传动误差峰峰值的响应面近似模型。在此基础上，引入模糊理论，基于改进容差模型建立齿轮稳健修形优化数学模型，采用NSGA-III算法寻优求解，并将其与其他修形方案进行比较，最后对各修形方案进行仿真验证。结果表明，基于改进容差模型的齿轮稳健修形结果要优于传统容差模型；在基于改进容差模型的齿轮稳健修形设计中考虑模糊因素的影响，不仅改善了齿面偏载情况，还提高了修形结果的稳健性和合理性。 关键词传动齿轮稳健修形容差模型传动误差峰峰值模糊理论
Fuzzy Robust Modification Design of EMU Transmission Gear
Sheng Ziqiang1Wang Yuedong2Bai Xiaoning1Wang Shenxuan2
（1School of Mechanical Engineering，Dalian Jiatong University，Dalian116028，China）
（2College of Locomotive and Rolling Stock Engineering，Dalian Jiaotong University，Dalian116028，China）Abstract Considering that the modification parameters and performance parameters of gear are affected by various influencing factors during manufacturing and operation process，a robust modification design method for EMU transmission gears based on improved tolerance model and fuzzy theory is proposed.The controllable and uncontrollable factors in gear robust modification are firstly determined，and then the sample points are ob‐tained by combining orthogonal experimental design and Romax motion simulation.The polynomial response surface model is used to fit the response surface function of peak-to-peak value of transmission error.On this basis，the fuzzy theory is introduced，the mathematical model of gear modification robust optimization is estab‐lished based on improved tolerance model，the NSGA-III algorithm is used to find the optimal solution，and the comparison with other modification schemes is completed.Finally，the simulation verification of each modifica‐tion scheme is carried out.The results show that the robust modification result based on the improved tolerance model is better than the traditional tolerance model.Considering the influence of fuzzy factors in the design of gear robust mo
dification based on the improved tolerance model，it is not only improves the offset load condition of the tooth surface，but also improves the robustness and rationality of the modification results.
Key words Transmission gear Robust modification Tolerance model Peak-to-peak value of trans‐mission error Fuzzy theory
0引言
齿轮作为高速动车组传动系统的关键部件，主要承担将牵引电机动力经由联轴器传递到轮对，达到驱动车辆的目的。随着高速动车组技术的不断发展，对齿轮传动过程中的振动控制，实现齿轮啮合平稳成为众多工程技术人员关注的焦点。齿轮修形是提高齿轮啮合性能，降低啮合振动的有效手段之一[1]，得到了业界的广泛认可与应用。许多学者对齿轮修形做了大量的研究。Shehata A等[2]通过分析斜齿
文章编号：1004-2539（2021）03-0057-07DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2021.03.010
轮的3个修形案例，得出齿轮微观修形可以有效降低齿轮啮合错位量对齿轮传动平稳性的影响。Baglioni 等[3]研究了齿顶修形对齿轮副传动效率的影响，并提出了两种齿顶修形方法。传统的齿轮修形量多是由经验确定，导致修形结果不理想。为此，王慧敏等[4]以齿轮传动误差和齿面接触强度为目
标，通过有限元分析寻最佳修形量，取得了满意的修形结果。但是，上述分析方法计算成本很高，并且需要人工多次手动调节啮合位置进行有限元分析，极大地影响齿轮设计效率。针对有限元法确定修形量的不足，杨丽等[5-6]基于代理模型与智能优化算法计算齿轮最佳修形参数，相比有限元法极大地提高了计算效率。上述学者的研究补充和发展了齿轮修形理论，但忽略了加工和使用过程中不可控因素对修形齿轮啮合性能稳健性的影响。为此，Ding等[7]基于非线性区间优化算法求得最佳的齿轮加工机床设置参数，提高了修形后弧齿锥齿轮齿面接触性能的稳健性。Artoni 等[8]从齿轮修形参数的角度出发，通过基于概率的稳健设计方法得到了圆柱齿轮的稳健修形设计参数，降低了齿轮啮合性能对安装偏差和输入转矩的敏感性。Ghribi等[9]提出了一种齿轮齿廓稳健修形设计方法，减小了修形齿轮传动误差的波动量。
动车组传动齿轮的啮合平稳性对列车运行的安全性和舒适性至关重要，因此，开展传动齿轮的稳健修形设计具有重要意义。实际齿轮修形过程中存在大量模糊因素，而大多数学者则忽略了模糊因素对稳健修形结果的影响，导致优化结果不能准确地反映工程实际[10]。因此，在前述稳健修形优化的基础上，本文中提出一种基于改进容差模型和模糊数学理论的齿轮模糊稳健修形设计方法。由于齿轮传动误差峰峰值对齿轮副的振动和噪声有着直接的影响，传动误差峰峰值越大，则齿轮装置的振动和噪声越显著[11]，故本文中将以齿轮传动误差峰峰值为稳健修形优化目标，采用双向修形方式并结合响应面代理模型，构建传动齿轮的模糊稳健修形优化设计模型，利用NSGA-III算法求取齿轮修形量的稳健设计解。
1齿轮模糊稳健修形方法
1.1螺旋线修形与齿廓修形
齿轮修形本质是依据齿轮副啮合过程中的弹性变形量去除齿面上的一部分材料，以降低轮齿弹性变形量和齿轮制造安装误差所带来的影响，提升齿轮的啮合平稳性[12]。按修形方向划分，齿轮修形通常分为螺旋线修形和齿廓修形。考虑到加工工艺特性以及节约修形成本，一般只对小齿轮修形[13]，故本文中将选取动车组主动传动齿轮的受载齿面为修形对象，进行齿轮修形设计。
1.1.1螺旋线修形
赫冀成螺旋线修形主要是为了改善由轴、齿轮箱和轴承弹性变形等因素引起的齿轮齿面载荷偏载现象，使齿轮齿向载荷分布更加均匀。螺旋线修形有齿端修薄和螺旋线鼓形修形两种方式。齿端修薄示意图如图1（a）、图1（b）所示，δ为齿端修薄修形量（μm）。规定沿着齿宽方向，在z轴负方向去除材料，齿端修薄修形量为正，反之为负。图1（c）为螺旋线鼓形修形示意图，γ为螺旋线鼓形修形量（μm）
。
（a）齿端修薄（正）（b）齿端修薄（负
）
（c）螺旋线鼓形修形
图1螺旋线修形示意图
桡骨
Fig.1Schematic diagram of spiral line modification 1.1.2齿廓修形
齿轮在啮合过程中轮齿所受载荷会发生突变现象，引起轮齿发生弹性变形，进而导致齿轮啮合干涉。齿廓修形则是根据弹性变形情况从齿面去除部分材料，使齿轮的实际啮合线与理论啮合线保持一致，进而实现齿轮传动的平稳性。齿廓修形有齿顶修缘和齿根修形两种方式。齿顶修缘是将齿顶干涉部分去除，齿根修形则是将齿根部分发生干涉的材料修去。考虑到齿根修形会对齿轮齿根的强度造成影响[14]，故本文中采用齿顶修缘的方式进行齿廓修形。齿顶修缘示意图如图2所示。ζ为齿顶修缘修形量（μm）。
图2
齿顶修缘示意图
Fig.2Schematic diagram of tooth top trimming
1.2基于改进容差模型的齿轮模糊稳健修形1.
2.1
改进容差模型
基于容差模型稳健设计方法的基本思想是考虑设
计过程中的可控因素与不可控因素的变化对产品质量特性的影响，求出使产品质量特性波动尽可能小的稳健设计解。查阅文献[15]，齿轮稳健修形设计过程中的可控因素选为x =[δ，γ，ζ]=[x 1，x 2，x 3]，由于齿轮安装偏置距e 和齿轮材料的弹性模量E 在制造和安装过程中难以控制，因此，不可控因素定为z =[e ，E ]=[z 1，z 2]。此处，齿轮安装偏置距e 表示齿轮安装中心线至指定安装基准点的距离，其示意图如图3
所示。
图3
齿轮安装偏置距示意图
Fig.3
Schematic diagram of the gear installation offset
齿轮的传动误差峰峰值与修形过程中的可控因素和不可控因素之间为非线性函数关系，可将该非线性函数转化为线性或二次函数的泰勒近似式，并做1阶近似，则非线性函数f =f (x ，z )的近似式可表示为
f =f (x ˉ，z ˉ)+∑i =1m
(||||∂f ∂x i x ˉ，z ˉ)(x i -x ˉi )+∑i =1q
(||||∂f ∂z i x ˉ，
z ˉ)(z i -z ˉi )（1）
式中，m 为可控因素的数量；q 为不可控因素的数量；x
ˉ和z ˉ分别为可控因素与不可控因素的均值向量。假设齿轮修形过程中的可控因素与不可控因素互为统计独立，则对式（1）求其期望值可得
μf (x ，z )=f (x
ˉ，z ˉ)+12∑i =1m (||||∂2f ∂x 2i x ˉ，z ˉ)σ2x i
+12∑i =1q (||||∂2
f ∂z 2i x ˉ，
z ˉ)σ2z i
（2）
对式（1）求其方差为
σ2
关于审理行政赔偿案件若干问题的规定
f
=∑i =1m
(||||∂f ∂x i x ˉ，z ˉ)2σ2x i
+∑i =1
q
(||||∂f ∂z i x ˉ，z ˉ)2σ2
z i
（3）
式（2）、式（3）中，σ2x i
、σ2
z i
分别为可控因素和不
可控因素的方差。
基于容差模型构建稳健优化设计模型为min σ2f (x ，z )s.t.μg j
(x ，z )+kσg j
(x ，z )≤0
j =1，2，⋯，n
(μf (x ，z )-y 0)2
-ε≤0x L ≤x ≤x U
（4）
式中，σg j
(x ,z )为第j 个约束函数标准差；g j (x ，z )为第j
个约束函数；n 为约束函数的个数；k 为常数，一般取值为3；y 0为齿轮传动误差峰峰值的目标值；x U 、x L 分别为可控因素的上、下边界；ε为一较小的数，
计算中可取为0.05。
基于容差模型的稳健优化设计方法的本质是利用多目标优化方法中的ε约束法[16]，将齿轮的传动误差峰峰值的方差作为主目标，其均值转化为约束，进而将多目标优化问题转化为单目标问题求解。相关研究证明[17]，系列地改变ε值可以得到一个非劣解集，这意味着在采用式（4）进行稳健设计时，可能会由于ε选值的单一性而丢失大量有效解，导致优化的结果不能客观地反映工程实际。针对上述容差模型稳健设计方法的缺陷，本文中将齿轮传动误差峰峰值的均值与方差同时作为求解目标，则基于改进容差模型的稳健设计模型可表述为
min [σ2f (x ，z )，μf (x ，z )]
<μg j
(x ，z )+kσg j
(x ，z )≤0
j =1，2，⋯，n
x L ≤x ≤x U
（5）
1.2.2
构建齿轮模糊稳健修形设计模型
考虑到齿轮修形过程中的加工制造水平、装配
水平和齿轮坯料质量等因素的模糊性对式（5）中稳健优化设计模型的边界约束的影响，引入模糊理论，构建基于改进容差模型的齿轮模糊稳健修形设计模型，可描述为
min [σ2f (x ，z )，μf (x ，z )]
<
μg j
(x ,z )+kσg j
(x ,z )≤0j =1，2，…，n （6）
x ~L ≤x ≤x ~U
式中，x ~U 、x ~L 分别为经过模糊处理后的边界约束上、下限。本研究取x 的隶属度函数为中间型梯形分布，其表达式为
μ(x )=ìíîï
ïïïïïïïïï0x ≤-x
l
x --x l -x u --x
l -x l
≤x ≤-x u
1
-x u
≤x ≤-x l
x ˉu -x x ˉu -x ˉl x ˉl ≤x ≤x ˉu 0
x
ˉu ≤x （7）
式中，-x u
和-x l
分别为x 的下界值的上、下限；x
ˉu 和x ˉl 分别为x 的上界值的上、下限。
齿轮稳健修形优化过程中的影响因素与响应之间的关系为复杂非线性，其数学关系无法利用解析式表示。因此，本文中采用响应面代理模型对齿轮修形参数与传动误差峰峰值之间的函数关系进行近似。构建响应面代理模型时，一般选用多项式响应面拟合未知函数，其表达式为
y =∑i =1
p
a ii x 2
i
+∑i >j
p
a ij x i x j +∑i =1
p
a i x i +a 0
（8）
式中，p 为设计变量的个数；a 0为常数项；a ii 、a ij 和a i 均为待定系数。
基于改进容差模型的齿轮模糊稳健优化设计方法流程如图4
所示。
图4
齿轮模糊稳健修形设计方法流程
Fig.4
Flow chart of gear fuzzy robust modification design method
2实例分析
2.1
齿轮副建模及其仿真分析
某型动车组传动齿轮副参数如表1所示。基于
Romax Designer 17.0软件平台建立该齿轮副仿真模型，如图5所示。在建立的仿真模型的基础上，对动车组齿轮副的齿面微观几何进行仿真分析。齿轮副正常运行工况下的输入功率为615kW ，主动轮转向如图5所示，转速为4200r/min 。通过图5所示仿真
模型得到未修形齿轮的传动误差和齿面载荷分布分
别如图6和图7所示。
表1
齿轮副参数
Tab.1Gear pair parameters
名称齿数齿宽/mm
压力角/（°）模数/mm 螺旋角/（°）弹性模量/GPa
泊松比精度等级
主动轮3568
206
17.52060.36从动轮8570
分析图6可知，修形前齿轮传动误差峰峰值为
0.3785μm 。由图7中可以直观地看出，未修形的齿轮齿面存在偏载现象，严重影响齿轮寿命，有必要
对齿轮进行修形设计。
图5
传动齿轮副仿真模型
Fig.5
Simulation model of transmission gear pair 图6齿轮未修形传动误差
Fig.6
Transmission error of unmodified gear
图7主动轮未修形齿面载荷分布
Fig.7
Load distribution on unmodified tooth surface of driving gear
2.2
齿轮模糊稳健修形优化设计2.2.1
响应面代理模型建立
响应面法是以试验设计为基础的一种统计处理
技术，本文中采用正交试验设计获取拟合响应面代理模型的样本点。齿轮稳健修形过程中的可控因素取三水平值，不可控因素取两水平值，水平值的选
取原则参考文献[18]88-107和文献[19]，各因素水平值如表2所示。考虑到为拟合响应面模型提供充足的样
本点，选用L36(22×33)正交表，部分正交试验样本点如表3所示。采用最小二乘法对获取的样本点拟
合，得到可控因素、不可控因素与传动误差峰峰值
之间的响应面模型，可表示为
f
p(x，z)=-1.0513x1+0.2754x2-0.0022x3+
0.0020z1-7.9897×10-10z2+0.0084x21-
8.3044×10-5x22-1.9999×10-5x23+
2.8138×10-5x1x2+0.0001x1x3+
0.0061x1z1-1.2329×10-9x1z2+
1.0055×10-5x2x3-0.0001x2z1+
2.5847×10-11x2z2+1.2775×10-5x3z1-
3.6574×10-11x3z2+
4.0990×10-12z1z2-
0.3739（9）
表2各影响因素水平值
Tab.2Level of each influencing factor
水平值
1 2 3
可控因素
齿端修薄修
形量δ/μm
-0.0646
-0.0546
-0.0446
螺旋线鼓形
修形量γ/
μm
0.7276
1.7276
2.7276
齿顶修缘修
形量ζ/μm
0.7395
0.8395
0.9395
不可控因素
齿轮安
装偏置
距e/mm
165
175
—
弹性模
量E/GPa
198
210
—
表3正交试验所得样本点
Tab.3Sample points from orthogonal test
序号1 2 (36)
δ/μm
-0.0646
-0.0546
···
-0.0446
γ/μm
0.7276
1.7276
···
1.7276
ζ/μm
0.7395
0.8395
···
0.9395
e/mm
165
165
···
175
E/GPa
198
198
···
210
传动误差峰
峰值/μm
0.1528
0.4101
···
0.4257选用确定性系数R2对式（9）进行精度检验，计算
出式（9）的确定性系数为0.9952，表明该模型的精度足够高，可以近似表示修形参数、不可控因素与传动误差峰峰值之间的数学映射关系。
2.2.2模糊稳健优化模型
取各修形参数的容差为其名义值的1%[18]231-233，由式（2）、式（3）和式（9）所示可以求出传动误差峰峰值f p(x,z)的均值μf p(x,z)和方差σ2f p(x,z)。考虑齿轮的齿面接触强度约束g1(x,z)和齿根弯曲强度约束g2(x,z)，得到齿轮稳健修形优化模型为
min[σ2f p(x，z)，μf p(x，z)]
<μg j(x，z)+kσg j(x，z)≤0j=1，2
-5≤x1≤5；0≤x2≤5；0≤x3≤5（10）考虑到模糊因素对修形结果的影响，在式（10）中引入模糊理论。齿轮修形参数的隶属函数为中间型梯形分布，其中，过渡区间的上、下限通过扩增系数法确定。本文中过渡区间的上扩增系数取1.2，下扩增系数取0.95。扩增系数后各参数上、下界值如表4所示。利用最优水平截集法将此模糊约束转化为常规约束是求解此类模糊问题的主要措施[20]。最优水平截集对应最佳水平值λ*。通常利用二级模糊综合评判求解λ*。主要步骤如下：
（1）建立影响因素集及其隶属表。
（2）确定备择集λ为
λ={0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0}
表4扩增系数后各参数过渡区间取值
Tab.4Transition interval value of each parameter after
amplifying coefficient
爆震伤
参数
李汝革x1/μm
x2/μm
x3/μm
上界值
上限
9.6
7.2
6.6
下限
5
5
4
下界值
nap积分
上限
-4.5
0.5
0.6
下限
-4.8
0（3）为准确反映出各影响因素对最佳水平值的影响程度，确定因素权重集为W=（0.6，0.3，0.1）。依据影响因素集及其隶属表可以计算出因素等级权重集W u（u=1，2，3）。
（4）建立每个影响因素的评判矩阵M u，即可获取一级模糊综合评判集T u=W u·M u。
（5）由T u构成二级模糊综合评判矩阵M。通过模糊处理获得二级模糊综合评判集T=W·M。
（6）计算最佳水平值λ*，其计算式为
λ*=∑l=110T lλl/∑l=110T l（11）式中，T l为T中的第l个元素；λl为λ中的第l个元素。最终计算得出最佳水平值λ*=0.696。利用式（12）将模糊约束转化为普通约束。
{x≤xˉU-λ*(xˉU-xˉL)
x≥-x L+λ*(-x U--x L)（12）式中，xˉU为修形参数上界值的上限；xˉL为修形参数上界值的下限；-x U
为修形参数下界值的上限，-x L为修形参数下界值的下限。引入模糊理论后，构建齿轮模糊稳健修形优化模型为
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